DIRECCION GENERAL DE EDUCACION TECNOLOGICA INDUSTRIAL DIRECCION TECNICA SUBDIRECCION ACADEMICA DEPARTAMENTO DE PLANES PROGRAMAS DE ESTUDIO

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1 DIRECCION GENERAL DE EDUCACION TECNOLOGICA INDUSTRIAL DIRECCION TECNICA SUBDIRECCION ACADEMICA DEPARTAMENTO DE PLANES Y PROGRAMAS DE ESTUDIO GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA GUIA DE ESTUDIO CICLO FEBRERO JULIO

2 1. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRIA EUCLIDIANA. 1.1 CONCEPTOS BASICOS Geometría: Es la ciencia que estudia las propiedades de las formas o figuras. Para su estudio se divide en: Geometría plana: La que estudia a las figuras en dos dimensiones. Geometría del espacio: La que estudia a las figuras en tres dimensiones. Geometría analítica: La que analiza algebraicamente a las figuras geométricas sobre un sistema de coordenadas. Geometría descriptiva: La que estudia los cuerpos por sus proyecciones sobre los planos Medir: Es encontrar la relación que existe entre dos magnitudes en donde una de ellas se considera como unidad. 1.2 PROPOSICIONES VERDADERAS Proposición: Definición: Clasificación: Es una verdad demostrada o que no necesita demostración que implica una descripción clara y precisa. Por ejemplo: Los ángulos opuestos por el vértice son aquellos en que los lados de uno son prolongaciones de los lados del otro. Las proposiciones se clasifican en: Axioma: Es una proposición sencilla tan evidente por sí misma que no requiere demostración. Por ejemplo: El todo es mayor que cualquiera de sus partes. Postulado: Es una proposición cuya verdad se admite sin demostración y que sirve de base para razonamientos posteriores. Por ejemplo: Por dos puntos dados puede hacerse pasar sólo una recta. Lema: Proposición que sirve de base a la demostración de un teorema. Es como un teorema preliminar a otro que se considera más importante. Teorema: Es una proposición que exige demostración y consta de un conjunto de razonamientos lógicos que conducen a la evidencia de la verdad de la demostración, partiendo de axiomas o de otros teoremas ya demostrados, mediante reglas de inferencia aceptadas. En el enunciado de un teorema se distinguen dos partes: hipótesis y tesis. La hipótesis es una suposición y la tesis es lo que se quiere demostrar. Hipótesis: Proposición cuya verdad o validez no se cuestiona en un primer momento, pero que permite iniciar una cadena de razonamientos que luego puede ser adecuadamente verificada. Tesis: Proposición que se quiere demostrar mediante razonamientos. Conclusión. Corolario: Proposición que es consecuencia inmediata de un teorema, cuya demostración requiere poco o ningún razonamiento nuevo. 2

3 Teoría: o o 2 RECTA. 2.1 Definiciones: Hipótesis cuyas consecuencias se aplican a toda una ciencia o a parte muy importante de ella. Cada una de las relaciones existentes entre los diversos elementos que intervienen en un fenómeno. Ley: Regla y norma constante e invariable de las cosas, nacida de la causa primera o de las cualidades y condiciones de las mismas Línea: Sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión: la longitud Recta: Línea que tiene todos sus puntos en una misma dirección. 2.2 Clasificación: Líneas: Las líneas se clasifican en: Recta, Curva, Quebrada y Mixta. Rectas: Las rectas pueden ser: Paralelas, Perpendiculares, Oblicuas y Convergentes divergentes. 3 ÁNGULOS. 3.1 Definición. Es la abertura comprendida entre dos rectas que se cortan en un punto. Las rectas son los lados del ángulo y el punto donde se cortan es su vértice. 3.2 Clasificación de los ángulos: Por su medida: Se clasifican en: Agudo: El que es menor que un ángulo recto. Recto: El ángulo formado por dos semirrectas perpendiculares entre sí. Obtuso: El que es mayor que un ángulo recto. Colineal o llano: El que es igual a dos ángulos rectos. Es aquel en que los lados son prolongación el uno del otro, formando una línea recta. Entrante: El que es mayor que dos ángulos rectos, pero menor que cuatro. Perígono o perigonal: El que es igual a cuatro ángulos rectos. 3

4 3.2.2 Por su posición: Se clasifican en: Adyacentes: Los ángulos que tienen un lado común y son exteriores uno del otro. Complementarios: Ángulos adyacentes que suman un ángulo recto. Suplementarios. Ángulos adyacentes que suman dos ángulos rectos. Conjugados: Ángulos adyacentes que suman cuatro ángulos rectos. Ángulos que forman un perígono. Opuestos por el vértice: Dos ángulos que tienen un vértice común y cuyos lados de uno son la prolongación de los lados del otro. Consecutivos: Dos ángulos se llaman consecutivos cuando tienen un lado común que separa a los otros dos lados. 3.3 ACTIVIDAD I. EJERCICIOS Ángulos complementarios. Ejemplo: Determinar el valor del ángulo, si el ángulo =37º Solución: + = 90º; = 90º = 90º 37º; = 53º Determinar el valor del ángulo que se solicita: = 26º =? = 40º =? = 13º =? = 32º =? = 36º =? Ángulos suplementarios. Ejemplo: Determinar el valor del ángulo, si el ángulo =85º Solución: + = 180º; = 180º = 180º 85º; = 95º Determinar el valor del ángulo que se solicita: = 28º =? = 43º =? = 17º =? = 72º =? = 56º =? Ángulos conjugados. Ejemplo: Determinar el valor del ángulo, si el ángulo =135º Solución: + = 360º; = 360º = 360º 135º; = 225º Determinar el valor del ángulo que se solicita: = 26º =? = 40º =? = 13º =? = 32º =? = 36º =? 4

5 3.4 Medidas de ángulos. Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma como unidad. Existen tres sistemas de medición que son: Sistema sexagesimal. Basado en la división de la circunferencia en 360 partes iguales. Cada división de la circunferencia se llama grado. Un ángulo de un grado tiene el vértice en el centro del círculo y sus lados pasan por dos divisiones consecutivas. Cada grado se subdivide en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Es el sistema más utilizado Sistema centesimal. Basado en la división de la circunferencia en 400 partes iguales. Cada división de la circunferencia se llama grado centesimal. Un ángulo de un grado centesimal tiene el vértice en el centro del círculo y sus lados pasan por dos divisiones consecutivas. Cada grado se subdivide en 100 minutos y cada minuto en 100 segundos Sistema circular o cíclico. Basado en la medida comparativa de un arco de círculo al radio del mismo. La unidad de este sistema es el radián. Un radián es el ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia y tiene como vértice el centro del círculo Relación entre los sistemas sexagesimal y circular o cíclico. Debemos considerar los siguientes puntos: En un círculo el ángulo perigonal equivale a cuatro rectos o 360º, en el sistema sexagesimal. El perímetro del círculo es la circunferencia cuya longitud es 2r, donde r es el radio del círculo. El ángulo en radianes en el sistema circular es la razón entre el arco de círculo a su radio, por lo que el ángulo perigonal dividido por el radio equivale a 2r/r = 2 radianes. La relación entre ambos sistemas para un ángulo perigonal es la siguiente: 360º = 2 radianes. De esta relación se tiene que 180º = radianes. En consecuencia podemos determinar qué: o 1 radián = 180º/ y o 1º = radianes/ ACTIVIDAD II. EJERCICIOS. Conversión de ángulos entre sistemas de medida De ángulos en grados sexagesimales a ángulos en radianes en fracción común: Ejemplo: Convertir el ángulo = 92º a radianes en fracción común. Solución: Puede aplicarse una regla de tres: 180º : : x radianes y despejar x. Se debe reducir la fracción a su mínima expresión. * 92 * rad 46 xrad 180 Convertir los ángulos siguientes: rad rad º º º 70 76º 28 90º 5

6 3.5.2 De ángulos en radianes en fracción común a ángulos en grados sexagesimales: 3 Ejemplo: Convertir el ángulo rad a grados sexagesimales. 2 Solución: Puede aplicarse una regla de tres: 180º : : radianes x y despejar x. 3 3 * rad * 180 rad 180 x rad Convertir los ángulos siguientes: De ángulos en grados sexagesimales a ángulos en radianes en fracción decimal: Ejemplo: Convertir el ángulo = 92º a radianes en fracción decimal. Solución: Puede aplicarse una regla de tres: 180º : : x radianes y despejar x. rad En esta conversión se utiliza el valor numérico de = (redondeado a cuatro cifras decimales). * 92 * rad 92* x rad rad Convertir los ángulos siguientes: 90 70º º º º º De ángulos en radianes en fracción decimal a ángulos en grados sexagesimales: Ejemplo: Convertir el ángulo = radianes a grados sexagesimales. Solución: Puede aplicarse una regla de tres: 180º : : radianes x y despejar x. rad rad * * 180 x rad Convertir los ángulos siguientes: rad 6

7 4 TRIÁNGULOS. 4.1 Definición. Es la porción de plano limitado por tres rectas que se cortan dos a dos. El triángulo es una superficie plana trilateral; es decir, tiene tres lados y por lo tanto tres ángulos y tres vértices. 4.2 Clasificación de los triángulos: Por sus lados: Se clasifican en: Por sus ángulos: Escaleno: El que tiene tres lados desiguales. Isósceles: El que tiene dos lados iguales. Equilátero: El que tiene tres lados iguales. Acutángulo: El que tiene tres ángulos agudos. Recto: El que tiene un ángulo recto y dos ángulos agudos. Obtusángulo: El que tiene un ángulo obtuso y dos ángulos agudos Rectas notables del triángulo: Las rectas notables de cualquier triángulo son: Medianas. Mediatrices. Bisectrices. Alturas. Los puntos donde se cortan las rectas notables en un triángulo son: Baricentro. Circuncentro. Incentro. Ortocentro. 4.2 ACTIVIDAD III. TRAZO DE LAS RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO. Traza los puntos y rectas notables que se piden, utilizando compás y escuadras: Alturas y ortocentro. 7

8 4.2.2 Mediatrices y circuncentro Bisectrices e incentro Medianas y baricentro 4.3 Teoremas relativos a los triángulos Teorema 1. La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es igual a dos ángulos rectos Teorema 2. La suma de los tres ángulos exteriores de todo triángulo es igual a cuatro ángulos rectos Teorema 2. Un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos internos que no le son adyacentes. 4.4 Teorema de Pitágoras: Un teorema importante para el cálculo de la longitud de los lados de un triángulo rectángulo es el teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo el cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos. La ecuación de este teorema es: c 2 = a 2 + b 2. A partir de esta ecuación puede calcularse cualquiera de los lados si se conoce la longitud de los otros dos. 8

9 4.4 ACTIVIDAD IV. CÁLCULO DE LOS LADOS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO. 4,4,1 Ejemplos: 1.- Calcular la hipotenusa si los catetos miden: b = 4 cm, a = 3 cm. Solución: La fórmula a aplicar es: c a b c a b cm 2.- Calcular el cateto b si la hipotenusa c = 5 cm y el cateto a = 3 cm. Solución: La fórmula a aplicar es: c a b se debe despejar el cateto b: b c a b c a cm Determina el valor de la hipotenusa: Ejercicio A Ejercicio B a =? a =? b = 10 b = 8 c = 7 c = Determina el valor del cateto opuesto: Ejercicio A Ejercicio B x =? x =? y = 9 y = 10 z = 10.3 z= Determina el valor del cateto adyacente: Ejercicio A Ejercicio B a = 8 a = 11 b = 11 b = 15 c =? c =? 9

10 5 POLÍGONOS. 5.1 Definiciones. Polígono. El polígono es una porción de plano limitado por líneas rectas. Diagonal de un polígono. La diagonal de un polígono es el segmento de recta que une un vértice con otro que no le es consecutivo. Ángulos internos de un polígono. Son los ángulos formados por dos lados consecutivos. Ángulos externos de un polígono. Son los ángulos adyacentes a los ángulos interiores, obtenidos prolongando uno de los lados en un mismo sentido. 5.2 Clasificación de los polígonos: Por el número de lados: Número de lados Nombre Número de lados Nombre Número de lados Nombre 3 Triángulo 9 Eneágono 15 Pentedecágono 4 Cuadrilátero 10 Decágono 16 Hexadecágono 5 Pentágono 11 Endecágono 17 Heptadecágono 6 Hexágono 12 Dodecágono 18 Octadecágono 7 Heptágono 13 Tridecágono 19 Eneadecágono 8 Octágono 14 Tetradecágono 20 Icoságono Otras clasificaciones son: Polígono equilátero. Polígono equiángulo. Polígono convexo. Polígono cóncavo. Polígono regular. Polígono regular. 5.3 Diagonales y ángulos internos y externos de un polígono. Desde cada vértice de un polígono se pueden trazar diagonales a los vértices restantes, excepto al anterior y al posterior. Existen fórmulas para determinar el número de diagonales trazadas a partir de un vértice, así como el número de triángulos internos que se forman con esas diagonales. También existen fórmulas para determinar la medida de los ángulos internos, la suma de todos ellos, y los ángulos externos de un polígono. 5.4 Fórmulas para determinar los ángulos internos y externos, diagonales de un polígono Suma de los ángulos internos. La suma de los ángulos internos es: Σi = 180º (n - 2) Ángulo interno. El valor de cada ángulo interno es: Suma de los ángulos externos. La suma de los ángulos externos (Σe) siempre es igual a 360º Ángulo externo. El valor de cada ángulo externo es: Diagonales que pueden trazarse desde un vértice. i = 180º (n 2) / n e = 360º/n. El número de diagonales desde un vértice es: n d = n 3 10

11 5.4.6 Número total de diagonales que pueden trazarse desde todos los vértices. El número total de diagonales desde todos los vértices es: N d = n(n 3)/2 5.5 ACTIVIDAD V. DIAGONALES Y ÁNGULOS INTERNOS Y EXTERNOS DE UN POLÍGONO. EJERCICIOS Ejemplos: 1.- Calcular la suma de los ángulos internos y el valor de un ángulo interno de un hexágono. Solución: Para la suma de los ángulos internos la fórmula a aplicar es: Σi = 180º (n 2); el número de lados es n = 6 Σi = 180º (6 2) = 180º (4) = 720º. Para el ángulo interno la fórmula a aplicar es: i = 180º (n 2) / n i = 180º (n 2) / n; i = 180º (6 2) / 6 =180º (4) / 6 = 720º / 6 = 120º 2.- Calcular el valor del ángulo externo de un hexágono. Solución: La fórmula aplicar es: e = 360º/n; el número de lados es 6 e = 360º/6 = 60º 3.- Calcular el número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice y el número total de diagonales en un hexágono. Solución: Para el número de diagonales de un vértice la fórmula a aplicar es: n d = n 3; el número de lados es 6 n d = 6 3 = 3 diagonales. Para el número total de diagonales la fórmula a aplicar es: N d = n(n 3)/2, el número de lados es 6 N d = 6(6 3)/2 = 6(3)/2 = 18/2 = 9 diagonales Calcula la suma de los ángulos internos de un octágono: Calcula la suma de los ángulos internos de un pentadecágono: Cuántos lados tiene un polígono regular cuyos ángulos interiores suman 2340º? (de la fórmula en el inciso despeja la literal n). Cuántos lados tiene un polígono regular cuyos ángulos interiores suman 1620º? Cuántos lados tienen los polígonos regulares cuyos ángulos interiores suman: a) 1440º? R= b) 1980º? c) 1080º? R= Calcula el valor de un ángulo interno del eneágono Calcula el valor de un ángulo interno del heptágono: Calcula el valor de un ángulo interno del: a) pentágono. b) octágono. c) dodecágono. Cuántos lados tiene un polígono regular donde uno de sus ángulos interiores mide108º? (de la fórmula en el inciso despeja la literal n). Cuántos lados tiene un polígono regular donde uno de sus ángulos interiores mide147º 16 22? 11

12 Cuántos lados tiene un polígono regular donde uno de sus ángulos interiores mide135º? Cuánto mide un ángulo exterior de un decágono? Cuánto mide un ángulo exterior de un heptágono? Cuántos lados tiene un polígono regular donde uno de sus ángulos exteriores mide 40º? (de la fórmula en el inciso despeja la literal n). Cuántos lados tiene un polígono regular donde uno de sus ángulos exteriores mide 32º 43 38? Cuántas diagonales se pueden trazar de cada vértice del octágono? Cuántas diagonales se pueden trazar de cada vértice del triángulo? Cuántas diagonales se pueden trazar en un octágono? Cuántas diagonales se pueden trazar en un tridecágono? 5.6. Área de un polígono La fórmula para determinar el área de un polígono regular de n lados de longitud l y apotema a es: A = n l a/ ACTIVIDAD VI. EJERCICIOS. Cuál es el área de un decágono cuyo apotema mide 5cm y cuyo lado mide 4.14 cm? Cuál es el área de un pentágono cuyo apotema mide 8 cm y cuyo radio mide 9.9 cm? 6 CIRCUNFERENCIA. 6.1 Definiciones. Se llama circunferencia al conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de otro punto llamado centro. El círculo es el conjunto de los puntos interiores a la circunferencia. Para representar a la circunferencia o a un círculo se usa el símbolo Las rectas de una circunferencia son: radio, arco, cuerda, flecha, diámetro, secante y tangente ACTIVIDAD VII. ESQUEMA. En la siguiente circunferencia traza lo que se te pide: a) Radio b) Diámetro c) Cuerda d) Arco e) Flecha f) Tangente g) Secante 12

13 7 TRIGONOMETRÍA. 7.1 Definiciones. Trigonometría. Es la rama de la geometría métrica que se ocupa de la medida de los elementos del triángulo. El desarrollo de ésta estuvo asociado al estudio de las relaciones entre lados y los ángulos de un triángulo. Ciencia que estudia las relaciones que ligan los lados y los ángulos de un triángulo. Medida de los triángulos. Funciones trigonométricas. Son las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. 7.2 Funciones trigonométricas en de los triángulos rectángulos. Las funciones trigonométricas de un triángulo rectángulo son 6: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Estas funciones se definen en forma general para los ángulos agudos del triángulo rectángulo. Los lados del triángulo rectángulo reciben nombres específicos como sigue: Hipotenusa: Es el lado opuesto al ángulo recto. Catetos: Son los lados que forman el ángulo recto Dado el triángulo rectángulo ABC, las funciones se definen como sigue: cateto opuesto a sen A hipotenusa h cateto opuesto a tan A cateto adyacente b hipotenusa h sec A cateto adyacente b cateto adyacente cos A hipotenusa cateto adyacente cot an A cateto opuesto csc A hipotenusa cateto opuesto h a b h b a Ejemplos de aplicación: 1.- Recargamos una escalera de 5 m hasta lo alto de una pared de 3m, cuál será el ángulo que forma la escalera con el suelo? Solución: Con los datos dibujamos un esquema como sigue: Datos: h = 5m (hipotenusa) (escalera) a = 3m (cateto opuesto) (pared) A =? Fórmula: a sen A h Sustitución: 13

14 3m sen A m Utilizando la calculadora con la función inverso de seno 0.6 (sin -1 ) se obtiene el ángulo A 36º 52' 11" 2.- Un árbol proyecta una sombra de 20m y un cable amarrado desde la punta del árbol hasta la punta de la sombra mide 45m. Qué ángulo forma el cable con el piso?, cuánto mide el árbol? ACTIVIDAD VIII. EJERCICIOS. Datos: h = 45m (hipotenusa)(cable) b = 20m (cateto adyacente)(sombra) A =? a =? Fórmula: b cos A h Sustitución: 20 m cos A m Utilizando la calculadora con la función inverso de cos (cos -1 ) se obtiene el ángulo A 63º 36' 43" Para calcular la altura a se utiliza la función seno y se despeja a: a sen A a h sena h a h sena h sen 63º 36' 43" m a h sen 63º 36' 43" m a m Resolver los siguientes ejercicios utilizando la función sen A. a) Una cuerda de 12 m está amarrada en lo alto de un poste de 6m. La cuerda se estira perfectamente y se amarra en el suelo hasta donde da. qué ángulo forma la cuerda con el suelo? b) Un árbol mide 15m, y de la punta sale un cable que se amarra al suelo hasta que forma un ángulo de 38 con el suelo. cuánto mide el cable? (despeja el lado requerido de la función sen A). 14

15 7.2.4 ACTIVIDAD IX. ENCONTRAR EL ÁNGULO EN LOS SIGUIENTES TRIÁNGULOS, UTILIZANDO LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Ejemplo. sen = 8/12.8 = cos = 10/12.8 = tan = 8/10 = Todas dan el mismo ángulo Ejercicios. a) b) =? R : =? R: y =? R: ACTIVIDAD X. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS Calcular el valor natural de los ángulos siguientes: a) sen 43º 40 b) cos 54º 10 c) tan d) cot 85 e) csc 123 f) sec Dado el valor de la función trigonométrica, calcula el ángulo al cual corresponde: a) sen x = R: x =? b) csc y = R: y =? c) cos A = R: A =? d) cot C = R: C =? e) tan z = R: z =? f) sec = R: =? Resolver los siguientes problemas, utilizando las funciones trigonométricas. 1.- Un rectángulo mide 21 cm de largo por 13 cm de ancho. Calcula la longitud de la diagonal y el ángulo formado por ésta y el mayor de sus lados. R : D =? =? 15

16 2.- Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores de un triángulo isósceles, si su base mide 3.25 cm y su altura 1.15 cm? R : a =? b =? c =? 3.- Calcula la secante de un ángulo de 34? 4.- Si el seno de un ángulo es , cuál es la cosecante?? 5.- En un triángulo rectángulo un ángulo mide 40, y el cateto opuesto mide 8 cm. determina los otros ángulos y lados. 6.- En un triángulo rectángulo la cotangente de un ángulo es 1.462, y el cateto adyacente mide 10 cm. determina los otros ángulos y lados. 16