SGUICES023MT22-A16V1. SOLUCIONARIO Generalidades y Ángulos en la Circunferencia

Transcripción

1 SGUIES03MT-16V1 SLUINRI Generalidades y Ángulos en la 1

2 TL E RREIÓN GUÍ PRÁTI GENERLIES Y ÁNGULS EN L IRUNFERENI Ítem lternativa 1 SE E SE omprensión omprensión E SE 1 3 SE 4 SE 5 SE

3 1. La alternativa correcta es. SE El perímetro de la circunferencia de radio 6 cm es Perímetro r 1 cm Utilizando este perímetro como el perímetro de un cuadrado de lado a, se tiene Perímetro uadrado = Perímetro 4 a 1 1 a 3 4 Luego, la diagonal del cuadrado mide: iagonal a 3 cm Por lo tanto, la diagonal del cuadrado, en las condiciones dadas, mide 3 cm.. La alternativa correcta es E. SE Se tiene una circunferencia de radio r y diámetro d. l duplicar el radio de la circunferencia este es r, entonces I) Verdadera, ya que el diámetro original mide r (recordar que el diámetro mide el doble que el radio) y el de la circunferencia con radio aumentado mide 4r. II) Verdadera, ya que el perímetro original mide πr y el de la circunferencia con radio aumentado mide III) Verdadera, ya que el área original mide área es r π 4r π 4 π r, siendo el doble respecto a la original. r, al duplicar el radio se tiene que el, siendo cuatro veces el valor del área original. Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas. 3

4 3. La alternativa correcta es. omo el radio mide 8 cm, y a la vez, es el diámetro de la circunferencia menor, se tiene que el radio mide 4 cm. El área achurada se calcula como la diferencia entre las áreas de los círculos Área círculo mayor = π () Área círculo menor = π ( ) = π 8 = 64 π = π 4 = 16 π Luego, Área achurada = Área círculo mayor Área círculo menor = 64 π 16 π = 48 π Por lo tanto, el área achurada mide 48π cm. 4. La alternativa correcta es. Es posible establecer una proporción entre la longitud del arco y el ángulo del centro r 360 l onde r es el radio de la circunferencia, l es la longitud del arco y α es la medida del ángulo del centro correspondiente al arco. Entonces, despejando l y reemplazando los valores conocidos, se tiene que l l l π r α 360º π º 8π º Por lo tanto, la longitud del arco mide 8 π 3 cm. 4

5 5. La alternativa correcta es. El triángulo tiene los tres lados iguales, luego es equilátero. Por lo tanto, cada uno de sus ángulos interiores mide 60. Entonces, el área achurada se calcula como: Área achurada = Área triángulo 3 Área sector circular Área achurada = Área achurada = Área achurada = (lado) π (radio) 360º 3 π º π 3 α Por lo tanto, el área achurada mide π 3 cm. 6. La alternativa correcta es. El perímetro de la circunferencia se plantea: Perímetro = π radio. omo el perímetro 4 π mide 4π, entonces el radio mide = cm. E π Entonces, el largo del rectángulo EF mide 4 cm y su ancho mide cm. El área del rectángulo se calcula Área = largo ancho = 4 = Por lo tanto, el área del rectángulo mide 8 cm. F 5

6 7. La alternativa correcta es. omprensión La medida del ángulo del centro es igual al doble del ángulo inscrito que subtiende del mismo arco. Por lo tanto, si el mide 50, entonces el mide 50 º = La alternativa correcta es. 50º 5º La medida del ángulo del centro es igual al doble del ángulo inscrito que subtiende el mismo arco. Luego, si el mide 50, entonces el 50 º mide = 5. 30º En un triángulo, la suma de dos ángulos interiores es igual al ángulo exterior no adyacente a ellos. Por lo tanto, la medida del ángulo α es α = + = 5º + 30º = 55º 5º α 9. La alternativa correcta es. Notar que, si un triángulo dentro de la circunferencia está formado por dos radios, entonces será isósceles o equilátero, dependiendo de la medida de sus ángulos interiores. En este caso, el triángulo es isósceles en, ya que y son radios, luego = 4º y arco = 84º. Entonces, el arco y el del centro tienen la misma medida, que es de 84º. (bservación: esta es una de las formar de resolver el problema). 84º 4º 4º 6

7 10. La alternativa correcta es. omo es diámetro, entonces el arco mide 180 El mide 30, luego, el arco del que subtiende, mide 60 Luego, se tiene que rco = rco + rco = = 40 10º 30º 60º (bservación: Recordar que los arcos en la circunferencia se leen de forma antihoraria) 11. La alternativa correcta es. omprensión Se tiene que PRQ y PSQ subtienden del arco PQ, entonces tienen la misma medida y además miden la mitad de la medida del arco PQ. También, PQ tiene la misma medida que el arco PQ por ser ángulo del centro que subtiende de este arco. Entonces I) Verdadera, por lo expuesto anteriormente. II) Falsa, pues PRQ mide la mitad de PQ y no el doble. III) Falsa, pues el arco para que esta igual sea correcta es PQ. Por lo tanto, solo la afirmación I es verdadera. 7

8 1. La alternativa correcta es. Se tiene que el E subtiende arco E, como es un ángulo del centro, entonces el arco E mide 0. 30º Se tiene que el subtiende arco, como es un ángulo inscrito, entonces el arco mide 60. 0º El arco E es igual a la suma de la medida de los arco E y, entonces el arco E mide 80. x E Finalmente, el ángulo x es inscrito y subtiende del arco E, luego mide la mitad de este arco, es decir x = La alternativa correcta es. Notar que la intersección E no es el centro de la circunferencia. omo los y subtienden del arco, entonces ambos tienen la misma medida, es decir, = = 0. omo el E es adyacente con el E, entonces son suplementarios, luego E + E = 180 E = 180 E = E x onsiderando los ángulos interiores del triángulo E, se tiene que E + E + E = x = 180 x = 60 Por lo tanto, la medida de x es 60º. 8

9 14. La alternativa correcta es. omo el subtiende del diámetro, entonces mide 90. omo = + = = = 40 Ya que el triángulo es isósceles en, se tiene que = = º 40º Por lo tanto, la medida del ángulo α es 40º. 15. La alternativa correcta es E. En la figura, mediante el teorema de la suma de la medida de los ángulos internos de un triángulo, es posible determinar que el H mide 45 y el FG mide 30 Por ser ángulos opuestos por el vértice, se tiene que H = = 45 y FG = = 30. l trazar la recta auxiliar (recibe este nombre por no aparecer explícitamente en la figura original) se generan los triángulos y, ambos isósceles en. Por este motivo, se tiene que = = 45 y que = = 30. Entonces mide 75 y tiene como ángulo del centro a = x, luego x = = 75º = 150º Por lo tanto, la medida del ángulo x es 150º. 45º 30º x 30º 45º 9

10 16. La alternativa correcta es. El E es adyacente a un ángulo de 16, por lo tanto mide 54 (ángulos adyacentes suman 180 ). l trazar la recta auxiliar, correspondiente al radio de la circunferencia, se tiene que es perpendicular a la recta FE en, luego, por teorema del radio y la tangente, E mide 90. α F 36º 54º E 16 El triángulo es isósceles en, luego =. Por teorema del ángulo exterior, + = 36, como ambos deben tener igual medida, entonces = = 18 Por lo tanto, la medida del ángulo α es 18º. (bservación: hay formas alternativas de resolver el problema en el triángulo, sin embargo, es necesario conocer el teorema del radio y la tangente, además de reconocer el radio auxiliar, para poder resolver este ejercicio). 17. La alternativa correcta es En la figura del problema se presentan múltiples ángulos inscritos. Se tiene que la medida de un arco es el doble de la medida del ángulo inscrito que subtiende de él. Las medidas de cada arco se esquematizan en la figura adjunta. Entonces arco + arco + arco + arco E + arco E = α β = 360 α + β = α + β = 10 α + β = 60 E β 100º α o 80º 50 60º 10

11 onsiderando la constante de proporcionalidad k y que α : β = : 1, se tiene que α = k y que β = k. Reemplazando estos valores, se tiene omo β = k, entonces, β = 0. α + β = 60 k + k = 60 k = La alternativa correcta es. omo el triángulo PQT es isósceles en Q, entonces TPQ = QTP = 40º. ado que PQ // RS, entonces PSR y SPQ son ángulos alternos internos, entonces, PSR = SPQ = 40º R P 40º x 40º Q S 40º T La medida de un ángulo del centro es el doble de la medida del ángulo inscrito, si ambos subtienden del mismo arco, entonces Por lo tanto, el ángulo x mide 80º. PSR = PR 40º = x 80 = x 19. La alternativa correcta es. omo es diámetro de la circunferencia, entonces el arco mide 180º. Luego arco + arco = arco (x + 40º) + (x + 0º) = 180 3x + 60º = 180º 3x = 10º x = 40º x + 0º = 60º 30º x + 40º = 10º 11

12 Entonces, arco = (x + 0º) = 40º + 0º = 60º La medida de un arco es igual al doble del ángulo inscrito que subtiende. Luego, si el arco mide 60, entonces = 30º. onsiderando la constante de proporcionalidad k y que : = : 1, se tiene que = k = 30 y, por ende, = k = 60. Entonces, mide La alternativa correcta es. SE omo y son adyacentes, entonces son suplementarios. Luego, dado que = 10, entonces = 60. F omo E = 100 y = 60, entonces E = ( ) = º 10º 40º Luego E I) Verdadera, ya que arco = = 60º = 10º Luego arco = 360 arco = = 40. II) Verdadera, ya que arco E = E = 40º = 80º. III) Verdadera, ya que arco E = ( E) = 100º = 00º. Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas. 1

13 1. La alternativa correcta es. La medida de un arco es igual al doble del ángulo inscrito que subtiende. Luego: arco = α y arco = β La medida de un ángulo interior es igual al promedio de los arcos que subtiende. Luego: P β 30º α E 70º α β arco arco E β 70º 70º = β + α (1) La medida de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia positiva de los arcos que subtiende. Luego: arco arco P β 30º 30º = β α () Para determinar el valor de α se pueden restar las ecuaciones (1) y (), entonces (β + α) (β α) = β + α β + α = 40 α = 40 α = 0 Por lo tanto, el ángulo α mide 0º. 13

14 . La alternativa correcta es. omo es un hexágono regular, entonces todos los arcos generados tendrán la misma medida, es decir arco F = arco = arco = arco = arco E = arco EF = 60 Luego Por lo tanto, el doble de x es 50. x + 10 = 60 x = 50 x = 5 3. La alternativa correcta es. SE La medida de un arco es igual al doble del ángulo inscrito del que subtiende. Luego: arco = = 40º = 80º 60º 10º 80º 40º 100º arco = = 30º = 60º En un triángulo, la suma de dos ángulos interiores es igual al ángulo exterior no adyacente a ellos. Luego, como = 30, entonces = 80º 30º = 50º. 50º 80º 30º Entonces, arco = = 50º = 100º. omo el ángulo completo mide 360º, y arco + arco + arco = 40º, entonces arco = 360º 40º = 10º. Luego: I) Verdadera, ya que: arco = arco + arco = 10º + 60º = 180º. Entonces, el arco corresponde a un semicírculo. Luego, corresponde a un diámetro de la circunferencia. II) Falsa, ya que arco = arco + arco = 100º + 10º = 0º 14

15 Entonces, el arco no corresponde a un semicírculo. Luego, no corresponde a un diámetro de la circunferencia. III) Verdadera, ya que dos ángulos inscritos que subtienden el mismo arco son iguales. Luego, = = 50º. Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas. 4. La alternativa correcta es. SE (1) rco E = 50º. on esta información, es posible determinar la medida del ángulo, ya que la medida de un arco es igual al doble del ángulo inscrito que subtiende. Luego, E = 5º, como es rectángulo en, entonces = 65º. () Ángulo E = 65º. on esta información, es posible determinar la medida del ángulo, ya que como E = y E =, entonces E. Luego, = E = 65º. Por lo tanto, la respuesta es: ada una por sí sola. 5. La alternativa correcta es. SE (1) = 40º. on esta información, es posible determinar la medida del ángulo x, ya que se puede determinar el ángulo y con ello x. () = 100º. on esta información, es posible determinar la medida del ángulo x, ya que aplicamos ángulo inscrito y del centro. Por lo tanto, la respuesta es: ada una por sí sola. (bservación: el procedimiento es análogo al realizado en el ejercicio 15). 15