Preguntas propuestas. Aptitud Académica Matemática Cultura General Ciencias Naturales

Transcripción

1 reguntas propuestas ptitud cadémica atemática ultura General iencias aturales

2 IVEL ÁSIO Geometría Áreas de regiones circulares ) p ) 2 π 1. En el gráfico mostrado, ==4. Halle el área de la región sombreada. ) π 2 ) p E) 6p 6. alcule el área de la región sombreada si y son puntos de tangencia. ) p ) 2p ) 4p ) 8p E) 16p 2. Halle el área del círculo circunscrito a un triángulo equilátero cuyo lado mide 6 u. ) p u 2 ) 6p u 2 ) 9p u 2 ) 12p u 2 E) 6p u 2. Halle el área del círculo limitado por la circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo recto en, tal que ==2. E) 2( 2 2) ) 2 2 ) 4 2 ) 2 2 ) En el gráfico mostrado,, y son puntos de tangencia y E=10. Halle el área de la región sombreada. ) p ) 6p ) 9p ) 12p E) 18p E ( ) πr ) 2 ) πr ) πr Se muestra un pentágono y cinco sectores circulares de radios iguales a 2 u. Halle la suma ) VVV ) FFF ) FFV de áreas de dichos sectores. ) VFF E) VVF 2 45º ) πr ( E) πr 2 + 2) 2 7. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Un segmento es un conjunto convexo. II. Un triángulo es un conjunto no convexo. III. La recta es un conjunto convexo. ) VVV ) VVF ) VFF ) VFV E) FFF 8. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Un polígono convexo es un conjunto convexo. II. Un hexágono regular es un conjunto convexo. III. Toda región poligonal es un conjunto convexo. R

3 IVEL ITEREIO 12. Se muestra un cuadrado cuyo lado mide 6. Halle el área de la región sombreada. 9. Halle la razón de áreas del círculo circunscrito a un triángulo rectángulo, y el círculo cuyo diámetro tiene por extremos el baricentro y ortocentro de dicho triángulo rectángulo. ) 2 ) 4 ) 9 4 ) 6 π ) 6 + π ) + π ) π E) 12 2π ) 9 E) En la figura, T es punto de tangencia. alcule el área de la región sombreada si R=2 2. IVEL VZO T R ) 4 ( π ) ) 4 ( π 2) ) 2 π 1. En un triángulo rectángulo recto en, =12 y =1. Halle el área de la región circular limitada por la circunferencia exinscrita relativa a. ) 4p ) 6p ) 9p ) 12p E) 6p 14. Halle la razón de áreas de los círculos inscritos en un triángulo equilátero y un cuadrado si dichos polígonos son isoperimétricos. E) 4 4π ) 2 4π 11. En el gráfico mostrado,, y son puntos de tangencia, L// y =. Halle el área de la región sombreada. ) 4 ) ) 2 ) 9 16 E) 8 9 ) π 4 L ) π 2 ) π Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Si se omite un punto del perímetro de un círculo, el conjunto resultante es convexo. II. Si le omitimos una diagonal a una región cuadrangular, el conjunto resultante es siempre no convexo. III. La intersección de dos conjuntos no convexos siempre resulta un conjunto no convexo. ) π 4 E) 5 π 4 ) VVV ) VFV ) VFF ) FFF E) FFV

4 IVEL ÁSIO Geometría del espacio I ) FFF ) FVF ) FVV ) VVV E) FFV 1. Indique de forma ordenada el valor de verdad (V) o falsedad (F) respecto a los siguientes enunciados. I. or un punto pasan infinitos planos. II. or un punto pasan infinitas rectas. III. Tres puntos siempre determinan un plano. ) VVV ) VVF ) FFV ) VFF E) FFF 2. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) I. os rectas siempre determinan un plano. II. on n puntos en el espacio, se pueden formar n(n ) planos. III. os rectas paralelas a un mismo plano siempre determinan un plano paralelo al anterior. ) VVV ) VFF ) VVF ) VFV E) FFF. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) I. Un punto y una recta siempre determinan un solo plano. II. Si dos rectas son alabeadas, siempre determinan un solo plano. III. Si dos rectas son secantes a un mismo plano y forman ángulos de igual medida con dicho plano, entonces son paralelas entre sí. 5. Respecto a dos planos paralelos, indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. Todos los segmentos perpendiculares a dichos planos son congruentes entre sí. II. Todas las rectas contenidas en uno de ellos son paralelas a las rectas contenidas en el otro plano. III. Si un plano secante las corta, las intersecciones serían rectas paralelas. ) VVV ) VFV ) VFF ) FFF E) VVF 6. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. Si tenemos una recta incluida en un plano y una recta secante al mismo, entonces las rectas siempre son alabeadas. II. Si tenemos dos planos secantes y se traza un tercer plano secante a uno de ellos, entonces es secante al otro. III. os rectas secantes determinan un plano. ) FFF ) FFV ) FVV ) VVV E) VVF 7. Se muestra // y es secante a los planos paralelos. Halle x ( ). ) VVV ) VVF ) VFV ) FFF E) FVV 10x 4. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) I. Tres puntos siempre determinan un plano. II. Si una recta es paralela a un plano, será paralela a todas las rectas contenidas en dicho plano. III. Los ángulos determinados por dos rectas paralelas con un plano son de igual medida. 8x ) 5º ) 9º ) 10º ) 20º E) 18º 4

5 8. Se muestran los planos paralelos, y Q, además, =, =4 y =9. Halle. Q L 1 L 1 L 2 H x β L 2 α Q ) 2 ) 2 2 ) ) 2 E) 6 IVEL ITEREIO 9. e las siguientes proposiciones, indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. Si dos planos resultan no ser paralelos, entonces serán necesariamente secantes. II. Si un plano es secante a otros dos planos paralelos, entonces las intersecciones son paralelas. III. La intersección de tres planos puede resultar un punto. ) FVV ) VFV ) VVV ) FFV E) VVF ) 100º ) 120º ) 160º ) 150º E) 15º 12. el gráfico, H// // Q, L=2(Q), =8(QR) y =. alcule. Q Q R H ) ) 5 ) 6 ) 9 E) 8 L 10. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. El plano es un conjunto convexo. II. Si dos rectas determinan un conjunto convexo, entonces dichas rectas son secantes. III. La intersección de tres planos es un conjunto convexo. ) FFF ) FVV ) VVF ) FVF E) VFV 11. Según el gráfico, Q es secante a los planos paralelos H y en L 1 y L 2, respectivamente, a+b=200º. alcule x si Q. 5 IVEL VZO 1. e las siguientes proposiciones, indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. Tres rectas paralelas entre sí pueden determinar tres planos. II. Si L es secante a un plano, entonces toda recta contenida en dicho plano será alabeada con L. III. Si dos planos contienen a dos rectas alabeadas, entonces siempre son secantes. ) VVF ) VFV ) FVV ) VFF E) FFF

6 14. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. os rectas secantes, que son paralelas a un plano, determinan un plano que es paralelo al plano inicial. II. or un punto exterior a un plano se puede trazar una recta paralela a dicho plano y solo una. III. Tres rectas paralelas siempre están contenidas en el mismo plano. ) FFV ) VFV ) VVV ) VVF E) VFF 15. etermine el valor de verdad (V) o falsedad (F) I. Una cuaterna armónica determina un plano. II. Los excentros de todo triángulo siempre determinan un plano. III. En una circunferencia, toda recta secante y el centro determinan un plano. IV. En todo triángulo, la recta de Euler determina con cada vértice un plano. ) FFVF ) FVFV ) FVFF ) VFVF E) VVFV 6

7 IVEL ÁSIO Geometría del espacio II ) 0º ) 7º ) 45º ) 15º E) 60º 1. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) I. La proyección de un segmento sobre un plano siempre es otro segmento. II. La proyección de un plano sobre otro plano puede ser una recta. III. La proyección de un triángulo sobre un plano siempre es otro triángulo congruente al anterior. ) VVV ) FVF ) FVV ) VVF E) VFF 2. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) I. Si toda recta pasa por el pie de una recta perpendicular a un plano, será perpendicular a esta última. II. Toda recta proyectada sobre un plano resulta otra recta siempre. III. Si se proyecta un ángulo sobre un plano, puede resultar una recta. ) VVV ) VFF ) VFV ) FFV E) FFF. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) I. Si dos triángulos se intersecan en solo tres puntos, son coplanares. II. Si los radios de dos circunferencias determinan un ángulo recto, entonces las circunferencias son ortogonales. III. os ángulos suplementarios son coplanares. ) VVV ) FFV ) VFF ) FVV E) FFF 4. El cateto de un triángulo rectángulo isósceles se encuentra contenido en el plano H, además la medida del ángulo entre dicho plano y el otro cateto es 45º. alcule la medida del ángulo entre el plano H y la hipotenusa Las proyecciones ortogonales de sobre un plano y una recta perpendicular a dicho plano miden 8 y 15. Halle. ) 7 ) 2 ) 17 ) 5 E) Si y forman ángulos con el plano, cuyas medidas son 5º y 0º, además, =10 y =8, calcule la distancia del punto medio de hacia el plano. ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 E) 9 7. Se sabe que I es el incentro del y =. Halle I si =4. 7º ) 10 ) 11 ) 2 ) 1 E) 14 I 8. En un triángulo se traza la altura H y L perpendicular al plano que lo contiene, tal que L=H; =5; H=6 y =7. alcule el área de la región triangular LH. ) 2 6 ) 5 26 ) 4 1 ) 9 E) 2 9

8 IVEL ITEREIO IVEL VZO 9. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) I. La proyección ortogonal de una región cuadrada sobre un plano, puede ser un segmento. II. La proyección ortogonal de una circunferencia sobre un plano es siempre una elipse. III. Las proyecciones de dos rectas alabeadas sobre un plano pueden ser secantes. ) VVV ) FFF ) VFV ) FVV E) VVF 10. Sea O el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo equilátero. demás, se traza perpendicular al plano del triángulo. Si la medida del ángulo es 45º, halle la medida del ángulo entre O y el plano del. ) 0º ) 7º ) 60º ) 5º E) 45º 11. En un triángulo se traza perpendicular a su plano, tal que ==8, =6 y =7. Halle la medida del ángulo entre y el plano si es bisectriz interior. ) 0º ) 7º ) 45º ) 5º E) 60º 12. En el lado de un paralelogramo se ubica el punto y luego se traza Q perpendicular al plano del paralelogramo. Si es punto medio de, tal que m =90º; =4; =Q= y =2, calcule la medida del ángulo entre y Q. ) 7º ) 45º ) 0º ) 60º E) 5º/2 1. etermine el valor de verdad (V) o falsedad (F) I. Si dos rectas son perpendiculares a una tercer recta, entonces dichas rectas deberán ser perpendiculares entre sí. II. Si dos rectas son perpendiculares, entonces sus proyecciones ortogonales sobre un plano serán perpendiculares si y solo si ambas rectas son paralelas a dicho plano. III. or un punto exterior a un plano se puede trazar un solo plano perpendicular a dicho plano. IV. Si una recta no es perpendicular a un plano, entonces no será perpendicular a ninguna recta contenida en dicho plano. ) FFVF ) FVFF ) FFFF ) FVFV E) FFFV 14. Se tiene un triángulo de incentro I contenido en un plano. demás, se traza I perpendicular a dicho plano. Si =5, =7, =6, =4, halle el área de la región. ) 2 ) 6 ) 4 ) 6 E) En un cuadrado se trazan en el mismo semiespacio y Q perpendiculares al plano que contiene al cuadrado, tal que Q=2() y Q es el diámetro de una semicircunferencia tangente a. alcule la medida del ángulo entre Q y Q. ) 0º ) 45º ) 60º ) 5º/2 E) 5º 8

9 Geometría del espacio III IVEL ÁSIO 1. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Un ángulo diedro es un conjunto convexo. II. Un solo segmento puede ser perpendicular a dos rectas alabeadas. III. os rectas alabeadas pueden encontrarse en dos planos paralelos. ) VVV ) VVF ) VFV ) VFF E) FVV 2. etermine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. or un punto exterior a una recta se puede trazar más de un plano perpendicular a dicha recta. II. or un punto exterior a una recta se puede trazar un solo plano paralelo a dicha recta. III. Si dos rectas no son secantes, entonces siempre existirá una recta perpendicular a ambas rectas. IV. Si dos rectas son paralelas a un plano, dichas rectas serán paralelas entre sí. ) VFVF ) FVVF ) FFVF ) VFFF E) FFVV. el gráfico mostrado, O es perpendicular al plano del cuadrado en su centro O. Si =2(O), calcule la medida del diedro entre las regiones y. 4. Se tienen los triángulos equiláteros y ubicados en diferentes planos, tal que 2()=(), calcule la medida del diedro. ) 0º ) 60º ) 90º ) 120º E) 150º 5. Se muestra un triángulo equilátero y una semicircunferencia ubicados en planos perpendiculares, =6 y m = 120º. Halle la distancia entre O y. ) 1 ) 2 ) ) /2 E) O 6. La figura mostrada representa un libro cerrado donde y indican las esquinas de la tapa inferior. Se considera como el punto medio del borde de la tapa superior siendo 2(L)=. Qué ángulo debe girar la tapa superior para que sea triángulo equilátero? L O ) 0º ) 7º ) 45º ) 5º/2 E) 60º 9 ) 100º ) 120º ) 90º ) 95º E) 150º

10 7. En la figura, 5()=6(F); el ángulo entre L y el plano EF mide 7º. alcule la medida del ángulo entre L y el plano. ) 0º ) 5º ) 45º ) 7º E) 60º 8. Se tienen las regiones rectangulares y EF que determinan un diedro de medida 120º. Si =6 y =F=, calcule E. ) 6 ) 7 ) 8 ) 6 E) 6 IVEL ITEREIO 9. El cuadrado y el rectángulo están contenidos en planos perpendiculares. Si ==, calcule la medida del ángulo entre y. F E L 10. Una hoja rectangular es doblada por la diagonal, lo que determina un ángulo diedro de medida q. Si =a y =b, calcule la distancia de al plano. ) 2 absen θ 2 2 a + b ) absen θ 2 2 a + b ) absen θ 2 2 a + b absen θ ) a + b E) 4 absen θ 2 2 a + b 11. Se tiene un cuadrante O (O=O). En se ubica y se traza perpendicular al plano del cuadrante. Si O=4, la distancia de hacia O es y la medida del ángulo entre O y el plano del cuadrante es 45º, calcule la medida del diedro O. ) 7º ) 45º ) 5º ) 127º/2 E) 60º 12. Los cuadrados y se ubican en planos perpendiculares =2. Halle la distancia entre y. ) 2 ) 2 2 ) 2 ) 1 E) 2/ 2 IVEL VZO 1. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) I. Si un plano interseca a una cara de un ángulo diedro, entonces, necesariamente intersecará a la otra. II. Si un segmento contenido en un plano tiene igual longitud con su proyección sobre otro plano dado, entonces dichos plano son paralelos. III. Las medidas de los ángulos entre una recta contenida en el plano bisector de un diedro y las caras de dicho diedro son iguales. ) 0º ) 45º ) 7º ) 15º E) 5º ) FFV ) FVF ) FVV ) VFV E) FFF 10

11 14. En la figura, las regiones rectangulares se encuentran en planos perpendiculares. Si Q= y =, calcule x. Q 15. El producto entre la distancia de OS y con la longitud de O es 12. alcule el área de la región. θ O x θ θ 26º0 S ) 0º ) 7º ) 45º ) 5º E) 60º ) 12 ) 18 ) 24 ) 6 E)

12 Ángulo triedro IVEL ÁSIO 1. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) I. Un ángulo triedro es un conjunto convexo. II. La intersección de un ángulo triedro y un plano, secante es una región triangular. III. Si un triedro es trirrectángulo, la medida de sus diedros es igual a 90º. ) VVV ) VVF ) VFV ) FFV E) FVF 2. En un triedro, la medida de dos caras son 100º y 120º. Halle el máximo valor entero de la tercera cara. ) 100º ) 101º ) 119º ) 129º E) 19º. Halle el máximo valor entero de la medida de una de las caras de un triedro equilátero. ) 59º ) 61º ) 119º ) 121º E) 14º 4. Se muestra un ángulo triedro O -, O=O==4 y O= 10. Si G es el baricentro de la región O y G es perpendicular a dicha cara, halle x. ) 0º ) 7º x ) 45º ) 5º E) 60º O 5. En un triedro O -, m O=m O=45º y m O=5º. alcule la medida del diedro O. G 6. En un triedro isósceles O -, m O=90º y la suma de medidas de las otras dos caras es igual a 120º. alcule la medida del ángulo que forma O con el plano que contiene a la cara O. ) 0º ) 7º ) 45º ) 5º E) 60º 7. En un ángulo triedro O-, m O=7º y m O=5º. Luego se traza un plano secante perpendicular a O en el punto, y que corta a O y O en Q y R, respectivamente. Si O=12, halle Q+R. ) 15 ) 17 ) 27 ) 25 E) 0 8. En un triedro isósceles O-, m O=90º, la proyección ortogonal de sobre la cara O es, tal que O= 2, O=7. Halle m. ) 17º ) 147º ) 164º ) 167º E) 14º IVEL ITEREIO 9. Se muestra un triedro birrectángulo O -, a+b=90º, O=k. Halle el área de la región OL. O 60º ) k 2 ) k 2 2 ) k 2 α L β ) 0º ) 7º ) 45º ) k2 E) k2 ) 5º E) 60º 4 12

13 10. En un triedro trirrectángulo, ===6. Halle el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo. ) 2 ) ) 2 ) 6 E) Se tiene un triedro trirrectángulo O-, se ubican, y sobre O, O y O, respectivamente, tal que =1, =15 y =14. Halle la distancia de O hacia. ) 14 ) 2 ) 5 ) 2 5 E) Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) I. Si un triedro es equilátero, la medida de sus caras es 60º. II. Si un triedro es trirrectángulo, sus caras miden 90º. III. Si un triedro es trirrectángulo, la medida de sus diedros es 90º. ) VVV ) FFF ) VFF ) FVV E) FFV IVEL VZO 1. Indique la proposición incorrecta. I. En un triedro isósceles, a las caras congruentes se oponen diedros congruentes. II. En un triedro equilátero, las caras pueden ser iguales a los diedros. III. En un triedro isósceles, el pie de la altura trazada de un punto de la arista adyacente a las caras iguales hacia la cara opuesta pertenece a la bisectriz de esta última cara. ) solo I ) I y II ) solo III ) todas E) ninguna 14. En el gráfico mostrado O - es un triedro, H=1, O= y H= 2; además, H es perpendicular a la cara O. alcule la medida del diedro O. O H 15º ) arcos(1/) ) 0º ) 5º/2 ) 7º E) 45º 15. Si O- es un triedro trirrectángulo, O=, m O=60º, I es el incentro del O cuyo inradio mide 2, halle la medida del diedro entre las regiones I y O. O ) 0º ) 7º/2 ) 7º ) 45º E) 60º I 1

14 nual UI Áreas de regiones circulares E E E E 15 - Geometría del espacio I E E E E E Geometría del espacio II E E 15 - Geometría del espacio III 01 - E E Ángulo triedro E 02 - E 05 - E E E