C u r s o : Matemática ENSAYO UNIVERSIA Nº 3 MATEMÁTICA

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1 u r s o : Matemática ENSYO UNIVERSI Nº MTEMÁTI

2 PSU MTEMÁTI INSTRUIONES ESPEÍFIS. Esta prueba consta de 70 preguntas. Usted dispone de horas y 5 minutos para responderla.. continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios.. Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala. 4. ntes de responder las preguntas N 64 a la N 70 de esta prueba lea atentamente las instrucciones que aparecen a continuación de la pregunta N 6. ESTS INSTRUIONES LE FILITRÁN SUS RESPUESTS SÍMOLOS MTEMÁTIOS < es menor que es congruente con > es mayor que es semejante con es menor o igual a es perpendicular a es mayor o igual a es distinto de ángulo recto // es paralelo a ángulo trazo log logaritmo en base 0 pertenece a φ conjunto vacío x valor absoluto de x [x] función parte entera de x

3 . - (6 ) = ) ) ) 7 D) -7 E) : - = ) ) 8 ) 0 D) - 8 E) -. (5 ) + (5 ) (5 4) + (5 5) = ) -70 ) -5 ) 5 D) 70 E) Una máquina entrega un primer vaso de jugo ingresando 4 fichas, y por cada uno de los siguientes vasos de jugo, se deben agregar fichas más. Entonces, cuántos vasos de jugo entrega la máquina al ingresar 40 fichas? ) 0 ) 9 ) 8 D) 7 E) 6

4 5. La quinta parte de 5 7 es ) 5 6 ) 5 ) D) E) En la figura, se muestra una secuencia de triángulos equiláteros que se forman duplicando el lado del triángulo anterior. Si el lado del triángulo mide cm, cuál será la medida del lado del triángulo 8? ) ) 4 ) 6 D) 8 E) 8... fig. 7. El orden creciente de los números a =, b = y c = 0 es ) a, b, c ) a, c, b ) b, c, a D) b, a, c E) c, a, b 8. De un grupo de 8 estudiantes, la mitad estudia matemática, un cuarto estudia biología, un séptimo está leyendo y el resto está conversando. uántas personas conversan? ) ) 4 ) 7 D) 4 E) 8 4

5 9. Si x es un número real, entonces cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) siempre un número real? I) x II) III) x 5 x ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo I y II D) Sólo I y III E) Sólo II y III 0. La razón entre los alumnos científicos y humanistas en un colegio es :, respectivamente. Si el total de alumnos del colegio es.500, entonces el número de alumnos humanistas es ) 00 ) 600 ) 900 D).00 E) ninguna de las anteriores.. El 400% de 0,5 es ) 0,00 ) 0, ) D) 0 E) 00. Se realizó una encuesta a.500 estudiantes de una universidad. De ellos el 80% practica algún deporte y de éstos el 5% practica fútbol. Entonces, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) 00 estudiantes practican fútbol. II) Hay más de.000 personas que practican algún deporte. III) El número de no deportistas supera al número de los que practican fútbol. ) Sólo I ) Sólo I y II ) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III 5

6 . uál(es) de los siguientes números es (son) divisor(es) de ( 7 + )? I) II) 6 III) 9 ) Sólo I ) Sólo I y II ) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III 4. Si m = 0, entonces m - = ) 0 9 ) 0-9 ) 0 7 D) 0-7 E) 0 5. Un tipo de bacteria se triplica cada horas. Si en el laboratorio hay una muestra con de estas bacterias, cuál es la cantidad de bacterias al cabo de p días? ) p ) p ) p + D) p E) p + 6. En el número telefónico de 7 dígitos abcde, donde a, b, c, d y e son números consecutivos, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) a = 4 II) El último dígito puede ser 8. III) c puede ser 6 ó 7. ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III 6

7 7. Una automotriz vende un total de 50 vehículos, de los cuales 0 son autos y el resto camionetas. Si el valor de cada camioneta es un 00% mayor que el de un auto, y al terminar la venta de todos los vehículos se reúnen $ M, cuál es la expresión que representa el valor de cada camioneta? ) $ M 0 ) $ M 0 ) $ M 5 D) $ M 70 E) $ M 5 8. l invertir P pesos a un interés compuesto del 0% semestral, qué capital final se obtendrá, en pesos, al cabo de años? ) P,4 ) P(,4) ) P(,04) 4 D) P(,) E) P(,) 4 9. En un preuniversitario hay a alumnos y m son mujeres, entonces cuál es el porcentaje de alumnos hombres? ) ) ) D) E) a m a % a 00 m % 00(a m) a % 00(a m) m % 00m a m % 7

8 0. 4 = x x ) ) ) D) E) x 4 x x x 4 x x 4 x x. Se define la operación p q = pq q. Entonces, ( ) 4 = ) 8 ) 9 ) D) 6 E) 4. Las ciudades y se encuentran a.00 km de distancia. Si rmando parte de hacia en su moto a una velocidad constante de 00 km, y José parte al mismo h tiempo desde la ciudad hacia, en su auto a una velocidad constante de 60 km h, al cabo de cuántas horas rmando y José se encontrarán? ) 5 ) 0 ) 5 D) 0 E) 5. La suma de los contenidos de tres recipientes: x, y, z es de 5 litros. Si a x se le sacan 4 litros, a y se le agregan 4 litros y a z se le agregan 6 litros, los tres recipientes quedan con igual contenido. Entonces, cuánto era el contenido inicial de y? ) litros ) 4 litros ) 5 litros D) 6 litros E) 7 litros 8

9 4. Si x = y 5 x =, entonces 5 x + es igual a ) 5 ) 0 ) 45 D) 60 E) Si 5 x 5 x = 0, entonces el valor de x es ) ) ) D) - E) - 6. uál(es) de las siguientes ecuaciones representa(n) a la recta que pasa por el punto (0,6)? I) y = 6 II) y = x + 6 III) y = x 6 ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III 7. Si x y = es la ecuación de una recta paralela a la recta cuya ecuación es ax + y =, entonces el valor de a es ) - ) - ) D) E) 8. El triángulo de vértices (-,), (,) y (,) es un triángulo ) equilátero. ) isósceles acutángulo. ) rectángulo escaleno. D) escaleno no rectángulo. E) isósceles rectángulo. 9

10 9. Dada la función f(x) = x a + 4. Si f() = 6, entonces f() = ) 7 ) 6 ) 5 D) 4 E) 0. La función f, representada en el gráfico de la figura, es ) f(x) = -x + ) f(x) = -x + 4 ) f(x) = - x + 4 D) f(x) = - x + E) f(x) = -4x + 4 f y 4 fig. x. El costo de facturación de la cuenta de la luz es lineal. l consumir 5 kw, se paga $ 6.00, y al consumir 8 kw se paga $ Entonces, cuál es el cargo fijo de la cuenta de luz? ) $.800 ) $.600 ) $.400 D) $.00 E) $.400. Si x 5y = z x, con x z > 0, entonces z = ) 5 y 5 ) y ) 0y D) 5y E) ninguna de las anteriores. 0

11 . Si a >, entonces ( a ) - = ) a + ) - a ) a D) E) a + a a 4. La expresión a a es equivalente a ) a ) ) D) a + - a a E) a 5. on respecto a la función f(x) = x 5x + se puede afirmar que ) su vértice está en el origen. ) abre sus ramas hacia arriba y la ecuación del eje de simetría es x = 5. ) abre sus ramas hacia abajo e intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0, ). D) su vértice está en el punto (-5, ). E) todas las afirmaciones anteriores son falsas. 6. Si log 6 = log 6, entonces x = x 4 ) 4 ) 0 ) - D) - E) -

12 7. Si cada lado de un cuadrado disminuye cm, el área resultante es 8 cm. Entonces, cuál es el perímetro del cuadrado original? ) cm ) 4 cm ) 6 cm D) 44 cm E) 48 cm 8. Si la diagonal de un cuadrado mide d cm, entonces su perímetro es ) 4d cm ) d cm ) d cm d D) cm E) d cm 9. En un rectángulo cuyo largo es el doble de su ancho, la suma de sus diagonales es 4 5 cm. Luego, el perímetro del rectángulo es ) 6 cm ) cm ) 6 5 cm D) 5 cm E) no se puede determinar. 40. En la circunferencia de centro O de la figura, α = 70º. Entonces, = ) 0º ) 0º ) 50º D) 60º E) 70º O α fig.

13 4. En la circunferencia de centro O de la figura 4, D y se intersectan en O. uál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) α + β + γ + δ = 60º II) // D III) α + β = γ + δ ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III α β O γ δ D fig El cuadrado D de la figura 5, está inscrito en la circunferencia de centro O. Entonces, α + β = ) 5º ) 5º ) 05º D) 90º E) 45º D α E O β fig En la figura 6, D es un cuadrado y E es un triángulo equilátero. Entonces, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) α + β > γ II) El complemento de β es igual a 0º. III) β = α D γ fig. 6 ) Sólo I ) Sólo III ) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III α β E 44. En el triángulo de la figura 7,. Si = 6 cm, cuánto mide el perímetro del? ) cm ) 5 cm ) 6 + cm D) + 6 cm E) ( + ) cm 60º fig. 7

14 45. En el triángulo de la figura 8, el ángulo D mide 60º, = 8 cm y = 6 cm. Entonces, el área del triángulo es ) 48 cm ) 6 cm ) 4 cm D) cm E) 6 cm fig. 8 D 46. En el triángulo de la figura 9, se sabe que D =, además =, = 6 y D = 5. uál es el perímetro del triángulo D? ) 7,5 ) 8,5 ) 9,5 D) 0,5 E),5 D fig En la figura 0, es un triángulo rectángulo en. Si el área del es 54 cm y : = : 4, entonces = ) cm ) 4 cm ) 5 cm D) 6 cm E) 7 cm fig El perímetro de un rectángulo es x. Si su ancho es x, el área del rectángulo mide ) x ) 5x ) D) E) x 5x 5x 4 4

15 49. En el cuadrado D de lado 5 cm de la figura, EFGD y HIJ son cuadrados de lado cm y cm, respectivamente. Entonces, el área del rectángulo KIG es ) cm ) 8 cm ) 9 cm D) cm E) 6 cm E D F K G J I fig. H 50. En el triángulo de la figura, se sabe que = 0 y = 5. Entonces, la medida de la altura D es ) 9 ) ) 6 D) 8 E) 5 D fig. 5. En un sistema de coordenadas se dibuja un triángulo equilátero de lado 4 cm, donde (0,0) y (4,0). Entonces, cuál(es) de los siguientes pares ordenados puede(n) corresponder al vértice? I) (, ) II) (, - ) III) (, 4) ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III 5. El área de un triángulo cuyos lados miden 0 cm, 0 cm y 6 cm, es ) 8 cm ) 6 cm ) 48 cm D) 60 cm E) 96 cm 5

16 5. En el triángulo de la figura, D y E son transversales de gravedad. Qué porcentaje representa el área de la región achurada con respecto al área del triángulo? ) 5% ),% ) 40% D) 50% E) 66,6 % fig. D E 54. Si la medida de cada una de las aristas de un cubo aumenta en un 0%, entonces cuánto aumenta su volumen? ) 0% ) % ) 0% D) 60% E) 7,8% 55. Si un cilindro tiene una altura a y radio basal b y un segundo cilindro tiene altura a y radio basal b, entonces la razón de sus volúmenes es ) : 8 ) : 4 ) : D) : E) ninguna de las anteriores. 56. Si el punto (4,) se gira en 90º, en sentido antihorario y con centro en el origen, se obtiene el punto cuyas coordenadas son ) (4,-) ) (-4,) ) (,4) D) (-,4) E) (,-4) 6

17 57. La figura 4 muestra dos caballetes, y, que sostienen un tablón. Si mide 0 cm, mide 47 cm y el tablón forma un ángulo de 0º respecto a la horizontal, entonces cuál de las siguientes expresiones representa la longitud del tablón? ) ) ) 7 cos 0º 7 tg0º 7 sen 0º D) 7 tg 0º E) 7 sen 0º fig En el gráfico de la figura 5, se muestra el número de hermanos que tienen los 40 alumnos de 4º medio. uál es el porcentaje de alumnos que tiene, a lo más, tres hermanos? Nº de alumnos ) 5% ) 5% ) 7,5% D) 6,5% E) 75% fig Nº de hermanos 59. Para comprar un regalo, 0 amigos aportaron dinero como muestra la tabla de la figura 6. uál es la media aritmética de los aportes? ) $ ) $ ) $ 9.00 D) $ E) $.500 portes Nº de personas $ $ $.000 $ fig En la aplicación de un ensayo de lenguaje para los dos cuartos medios de un colegio, el 4º, con 0 alumnos, obtuvo un promedio de 60 puntos, y para el 4º, con 0 alumnos, su promedio fue de 600 puntos. uál fue el promedio del total de alumnos de ambos cursos en dicho ensayo? ) 65 puntos ) 66 puntos ) 67 puntos D) 68 puntos E) 69 puntos 7

18 6. En cada una de dos cajas, y, hay bolitas numeradas con los números 4, 5 y 6. Si se extrae al azar bolita de cada caja, cuál es la probabilidad de que la suma de ambas sea mayor a 9? ) ) ) D) E) l tirar simultáneamente dos dados, cuál es la probabilidad de obtener una suma mayor o igual a 0? ) ) ) D) E) En un curso de 0 alumnos, se sabe que hombres usan lentes, que mujeres no usan lentes. Si los hombres en total son 7, cuál es la probabilidad de escoger un alumno al azar, que sea mujer y use lentes? ) ) ) D) E)

19 Evaluación de Suficiencia de Datos Instrucciones Para las Preguntas N 64 a la N 70 En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones () y () son suficientes para llegar a esa solución. Usted deberá marcar la letra: ) () por sí sola, si la afirmación () por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación () por sí sola no lo es. ) () por sí sola, si la afirmación () por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación () por sí sola no lo es. ) mbas juntas, () y (), si ambas afirmaciones () y () juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente. D) ada una por sí sola, () ó (), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta. E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución. Ejemplo: P y Q en conjunto tiene un capital de $ , cuál es el capital de Q? () Los capitales de P y Q están en razón de :. () P tiene $ más que Q. ) () por sí sola ) () por sí sola ) mbas juntas, () y () D) ada una por sí sola, () ó () E) Se requiere información adicional En este ejemplo, usted puede observar que con los datos proporcionados en el enunciado más los indicados en la condición () es posible llegar a la solución, en efecto: P : Q = :, luego (P + Q) : Q = 5 :, de donde $ : Q = 5 : Q = $ Sin embargo, también es posible resolver el problema con los datos proporcionados en el enunciado (P + Q = $ ) y en la condición () (P = Q + $ ). Por lo tanto, usted debe marcar la clave D. ada una por sí sola, () ó (). 9

20 64. En el triángulo de la figura 7, se puede determinar la medida de α si : () γ = 80º () α : β = : γ fig. 7 ) () por sí sola ) () por sí sola ) mbas juntas, () y () D) ada una por sí sola, () ó () E) Se requiere información adicional α β 65. En la figura 8, D es un trapecio. Se puede determinar su área si : () El trapecio es isósceles y el lado D = 0 cm. () La mediana MN = 4 cm y H = 6 cm. ) () por sí sola ) () por sí sola ) mbas juntas, () y () D) ada una por sí sola, () ó () E) Se requiere información adicional M D H N fig En la figura 9, es un triángulo equilátero de lado 6 cm y los puntos, y D son colineales. Se puede determinar el área del triángulo D si : () El trazo D mide cm. () El trazo D mide 8 cm. fig. 9 ) () por sí sola ) () por sí sola ) mbas juntas, () y () D) ada una por sí sola, () ó () E) Se requiere información adicional D 67. En el rectángulo PQRS de la figura 0, PQ = 6 cm y QR = 8 cm. Se puede determinar el área de la región achurada si : () Los triángulos PQT y RUQ tienen igual área. () T y U son los puntos medios de los lados SP y SR, respectivamente. ) () por sí sola ) () por sí sola ) mbas juntas, () y () D) ada una por sí sola, () ó () E) Se requiere información adicional T S P U R Q fig. 0 0

21 68. En la figura, es un triángulo equilátero de lado 6 cm. Se puede determinar el área de la región achurada si : () D, E y F son puntos medios. () DEF es acutángulo. fig. ) () por sí sola ) () por sí sola ) mbas juntas, () y () D) ada una por sí sola, () ó () E) Se requiere información adicional D E F 69. Si f(x)= ax +, se puede determinar f() si : () f(0) = () f(a) = a + ) () por sí sola ) () por sí sola ) mbas juntas, () y () D) ada una por sí sola, () ó () E) Se requiere información adicional 70. Una recta intersecta a los ejes coordenados en los puntos y. Se puede determinar la pendiente de la recta, si : () Las coordenadas del punto son (6,0) y las del punto son (0,-). () Las coordenadas del punto medio del trazo son (,-). ) () por sí sola ) () por sí sola ) mbas juntas, () y () D) ada una por sí sola, () ó () E) Se requiere información adicional