lado s, entonces DA=s, ED=s/2 y AE Entonces, por semejanza tenemos que

Transcripción

1 PROBLEMA Dado un cuadrado ABCD, llamamos E al punto medio del lado CD. Unimos A con E; desde B trazamos la perpendicular a AE y esta corta a AE en F. Probar que CF=CD. Solución 1 Como ABCD es un cuadrado, entonces loa ángulos FAB y DAE son complementarios y por lo tanto los ángulos FAB y AED son iguales y los triángulos rectángulos FAB y DEA son semejantes. Por lo tanto, si llamamos a la longitud del 5 s lado s, entonces DA=s, ED=s/ y AE Entonces, por semejanza tenemos que FA AB FA s s FA DE EA s 5 s 5 Trazamos la perpendicular desde F a CD, y corta a este lado en G. También son semejantes los 5 s s 3s triángulos GFE y DAE, por lo que FE ; por lo tanto: 5 5 3s GF FE GF 5 3s GF. Del mismo modo DA AE s 5 s 5 3s EG 10 s 3s 4s Finalmente, aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo CGF, donde CG, 10 5 Tenemos que CF Solución 3s 4s s 5 5. Por lo tanto CF s CD.

2 Como los ángulos BFE y ECB son rectos, el cuadrilátero BFEC es cíclico. Entonces si BC s, s CE, 3s EF, 5 s FB y 5 s 5 BE. Así, por el teorema de Ptolomeo tenemos que: CF BE BC EF CE FB, es decir: s 5 3s s s CF s 5, y de aquí CF s CD 5 Solución3 Siguiendo con lo que hemos visto en los casos anteriores, los triángulos ADE y BCE son iguales y ambos semejantes al triángulo BFA. Así los ángulos AED, BEC y BAF son iguales. Y los ángulos complementarios también: AED=BEC=BAF=FBC. Como los ángulos BEC Y FBC son iguales, entonces las cuerdas que los subtienden son iguales, esto es CF BC ; y como es un cuadrado CF CD Solución 4 Si reflejamos por el punto E el triángulo AED obtenemos el triángulo HEC, donde H es el punto de la prolongación de AE que corta a la recta BC. Ahora el triángulo BFH es rectángulo, por lo tanto se puede inscribir en una circunferencia de diámetro BH. Por lo tanto, el radio de la circunferencia que es s será igual CF BC CH s, y por tanto CF CD. Solución 5 Sea J el punto medio de AB y la recta CJ corta a BF en K. CJ y EA son BK BJ rectas paralelas, con lo que BF y CJ son perpendiculares y 1 KF JA Por lo tanto BK KF. Ya tenemos suficiente información para ver que los triángulos CKF y CKB son idénticos. Por tanto CF BC

3 Solución 6 Si continuamos con la idea de la última solución, vemos que si empezamos con un cuadrado y unimos A con el punto medio de CD, B con el punto medio de AD, C con el punto medio de AB y D con el punto medio de BC. Así se genera un cuadrado en el interior. Y con una retícula podemos ver con una demostración sin palabras que el lado CF BC Teorema de Ptolomeo En un cuadrilátero cíclico, la suma de los productos de lados opuestos es igual al producto de sus diagonales. Demostración clásica: Elegimos E de modo que el ángulo ABE sea igual al ángulo DBC

4 Recíprocamente, vamos a probar que si ac + bd = mn, entonces el cuadrilátero ABCD es cíclico. Se construye el ángulo ABE igual al ángulo CBD y se determina BE tal que AE AB. CD BD AE AB BE Entonces los triángulos ABE y BCD son semejantes y se tiene que. Por lo CD BD BC tanto los triángulos ABD y BEC son semejantes porque tienen lados proporcionales que comprenden ángulos iguales. Entonces EC BC AD BD AB CD BC AD Por lo tanto AE y EC, y en consecuencia BD BD AB CD BC AD AE EC, pero como AB DC BC DA AC BD, se tiene que BD BD AE EC AC, lo cual indica que AEC es una línea recta, y esto implica que BAD BCD CED DEA 180º y el cuadrilátero es cíclico.

5 La demostración visual que he visto en Cut The Knot es la siguiente: Unas aplicaciones muy conocidas: Ejemplo 1. Dado un pentágono regular ABCDE, hallar la razón AC/AB. Solución.

6 Consideremos el pentágono de la figura, y llamemos a al lado del pentágono y b a la longitud de sus diagonales. Consideremos el pentágono con su circunferencia circunscrita. Si nos fijamos, tenemos muchos cuadriláteros cíclicos en la figura, todos ellos son iguales. Escojamos el cuadrilátero ABDE para trabajar. Entonces, aplicando el teorema de Ptolomeo tenemos que: ab aa bb, Resolviendo la ecuación en b a a 5, se tiene queb ; puesto que a y b son medidas b 1 5 positivas se tiene que: a Ejemplo. Sean D, E y F los pies de las alturas del triángulo ABC. Probar que las alturas del triángulo ABC son las bisectrices del triángulo DEF. Solución. Como los ángulos AFH y AEH son rectos, el cuadrilátero AFHE es cíclico y se puede inscribir en una circunferencia de diámetro AH. Por lo tanto, los ángulos FAH y FEH son iguales. Análogamente, en el cuadrilátero CDHE tenemos que los ángulos DCH y DEH son iguales. Pero en los triángulos rectángulos ABD y CBF, los ángulos FAH y DCH miden 90º B, por lo que los ángulos FAH y DCH son iguales. Se sigue que los ángulos FEH y DEH son iguales; es decir BE es la bisectriz de DEF. CEVIANAS Dado un triángulo equilátero ABC se une cada vértice con un punto del lado opuesto, de modo que cada punto divida al lado en la razón 1:. De esta manera se genera en el interior otro triángulo equilátero DEF. Encuentra la razón de las áreas de los dos triángulos. Suponemos por comodidad que el lado AB mide 3 unidades, llamamos a=dc =EB =FA, b=fc=db=ea y l la longitud del lado del triángulo DEF. Los triángulos BAB y BDC son semejantes, y se tiene que: a b 1 3 3a b y b 1 3 BB ' BB ' l a l b Los triángulos EBA y B BC también son semejantes, y por lo tanto. De las dos relaciones tenemos que l b. Por lo tanto la razón de los lados es BB ' BB '.

7 3 3 1 Por el Teorema de Pitágoras BB ' 7 Es decir, la razón de las áreas es [ DEF] 1 [ ABC] 7 Una primera generalización: En un triángulo equilátero ABC se une cada vértice con un punto del lado opuesto de forma que divida a ese lado en la razón 1:k, de esta manera se obtiene un triángulo equilátero DEF en el interior. Calcula la razón de las áreas. Razonando de manera igual que en el caso anterior, ponemos por comodidad que el lado del ( k 1) triángulo equilátero sea 1+k y obtenemos que la razón pedida es: k k 1. Un ejemplo para k=3 Para un triángulo cualquiera, esto también es cierto: BA' Sea ABC un triángulo cualquiera, elegimos el punto A sobre el lado CB de modo que k CA', CB ' AC ' y análogamente los puntos B' sobre AC y C sobre AB de modo que k. Se trazan AB ' BC ' los segmentos CC, BB y AA que delimitan en su interior un triángulo A 1 B 1 C 1. Calcular la razón entre las áreas de los triángulos ABC y A 1 B 1 C 1. Para resolver este problema utilizaremos varias veces que si dos triángulos tienen la misma altura, entonces la relación de las áreas es igual a la de las bases; o bien que si tienen la misma base, la relación de las áreas es la de las alturas.

8 Para empezar llamaremos s al área del triángulo pequeño AB C 1. El área del triángulo B C 1 C será ks, y la del AC 1 C la suma s ks Los dos triángulos AC 1 C y AC 1 B comparten la base AC 1, luego el AC 1 B tiene área k( s ks) ks k s. Simplemente sumando nos queda que el triángulo ABB tiene área s ks k s Los triángulos BB A y BB C comparten altura, luego el BB C tiene área k( s ks k s) ks(1 k k ) Y el triángulo ABC tendrá de área S s(1 k)(1 k k ) El triángulo central A 1 B 1 C 1 tendrá un área S ' que se puede obtener restando al área total S la de los tres triángulos ABC 1, BCA 1 y CAB 1, las tres iguales a sk ( k). Es decir: S' S 3 sk ( k) s(1 k)(1 k k) 3 sk ( k) sk ( 1) (1 k) Y por lo tanto S' s( k 1) (1 k) ( k 1) S s k k k k k (1 )(1 ) (1 )