Si A B C D todos ellos pertenecientes a una misma circunferencia con AD BC,

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1 9.0 EJERCICIOS RESUELTOS Ilustración N Si A B C D todos ellos pertenecientes a una misma circunferencia con AD BC, entonces, AB. CD i. A B C D Hipótesis ii. A, B, C, D ε C(O, R) Tesis iii. AD BC AB CD. Determinemos AC, definición de segmento.. Designemos AMDy BNC, definición de arcos. 3. m ( B A C ) m ( BNC ), teorema medida del ángulo inscrito. 4. m ( ACD ) m ( AMD), razón anterior. 5. AMD BNC, de iii) teorema relaciones cuerdas versus arcos. 6. m ( AMD) = m ( BNC ), de 5 definición arcos congruentes. 7. m ( B A C ) = m ( ACD ), transitividad 6,3 y AB CD, de 7, teorema de los ángulos alternos internos. Nota. Resolver el problema anterior bajo la siguiente situación desde luego con las mismas hipótesis.

2 Ilustración N Si ABCD es un trapecio con AB CD y A, B, C, D ε C(O, R), entonces, ABCD es un trapecio isósceles. Hipótesis Tesis AD BC i. ABCD trapecio. ii. AB CD. Determinemos. AB DC, de ii). iii. A, B, C, D ε C(O, R) AQD y BSC, designación de arcos. 3. AQD BSC, teorema arcos comprendidos entre rectas paralelas. 4. AD BC, teorema relaciones arcos versus cuerdas. 5. ABCD es un trapecio isósceles, de i) y 4 definición trapecio isósceles. Ilustración N 3 Demuestre que todo paralelogramo inscrito en una circunferencia es un rectángulo Hipótesis i. C(O, R) π ii. ABCD es un paralelogramo. iii.. A, B, C, D ε C(O, R)

3 Tesis: ABCD es un rectángulo.. A C y B D ; de ii) propiedad por equivalencia del paralelogramo.. m ( A ) + m ( C ) = 80 ; de ii) y iii) segundo criterio para un cuadrilátero cíclico. 3. m ( B ) + m ( D ) = 80 ; la misma razón anterior. 4. m ( A ) = 80 ; sustitución de en. 5. m ( A ) = 90 ; despejando en m ( B ) = 90 ; procedimiento análogo de y m ( C ) = 90 ; de 5 y 6 en. 8. ABCD es un rectángulo; de 5,6, y 7 propiedad por equivalencia del rectángulo. Ilustración N 4 Demuestre que si C(O, R) C(O, R ) tangentes en T; A, C ε C(O, R) y B, D ε C(O, R ); AB CD = {T}, entonces, AC BD. Hipótesis i. C(O, R) C(O, R ); C(O, R), C(O, R ) π ii. C(O, R) C(O, R ) = {T} Tesis: AC BD. iii.a, C ε C(O, R) iv. B, D ε C(O, R) v. AB CD = {T}

4 . Existe TW única, TW π, TW punto de una recta en un plano dado.. Determinamos AC y BD ; definición de segmento. OO ; perpendicularidad única levantada por un 3. m ( ACT ) m ( ANT ); teorema medida ángulo inscrito. 4. m ( BDT ) m ( TMB); la misma razón anterior. 5. Existe al menos Z, tal que T esta entre W y Z; por qué? 6. ATW BTZ ; por qué? 7. m ( ATW ) m ( ANT ); teorema medida ángulo semi-inscrito en C(O, R). 8. m ( BTZ ) m ( TMB); misma razón anterior en C(O, R ). 9. m ( ANT ) = m ( TMB); 6, 7 y 8 transitividad. 0. m ( ACT ) = m ( BDT ); 9, 3 y 4 transitividad.. AC BD ; de 0 propiedad de la medida y teorema s A.I. Ilustración N 5 Demuestre que si desde el punto medio M de un arco AB se trazan dos cuerdas MC y MD que intersecan a AB en los puntos H y K respectivamente, entonces HKDC es inscriptible. i. C(O, R) π ii. A, B ε C(O, R) Hipótesis iii. M punto medio de AB iv., MC MD cuerdas v. MC AB = {H} vi. MD AB = {K}

5 Tesis: HKDC está inscrito en una circunferencia.. AM MB ; de iii) definición punto medio de un arco.. Determinemos CD ; definición de segmento. 3. m ( CDM ) m ( MAC); teorema medida ángulo inscrito en un arco. 4. m ( CHB ) [m ( CDB ) + m ( AM )]; teorema medida ángulo con un vértice en el interior de la circunferencia. 5. m ( CDM ) + m ( CHB ) [m ( MAC) + m ( CDB ) + m ( AM )]; suma de 3 y [m ( MAC) + m ( CDB ) + m ( AM )] = [m ( MAC) + m ( CDB ) + m ( MB )] ; sustitución de en 5. [m ( MAC) + m ( CDB ) + m ( MB )] = [medida arco total de C(O, R) ] ; postulado suma medida de arcos. [medida arco total de C(O, R) ] = (360) = m ( CDM ) + m ( CHB ) = 80 ; transitividad 5, 6, 7 y HKDC es inscriptible; de 9 teorema segundo criterio de inscriptibilidad en un cuadrilátero convexo. Ilustración N 6 En una circunferencia de centro O se traza una cuerda CD de longitud igual al radio y paralela al diámetro. AB Por Dse traza una perpendicular que corta a AB en E y a la circunferencia en F. Se une F al punto medio F de CD cortando a AB en K. Demostrar que:

6 a) El arco DB es congruente con el arco b) E es el punto medio de OB c) K es el punto medio de FH BF ) Como toda recta que pasa por el centro de una circunferencia y es perpendicular a una cuerda, biseca la cuerda y al arco entonces: DB BF DE EF )FD CD porque AB DC y DF AB OH CD porque toda recta que pasa por el centro de una circunferencia y por el punto medio de una cuerda, es perpendicular a la cuerda. HOED es un rectángulo por ser un cuadrilátero equiángulo, por qué?. HD = OE = CD = r por que son lados opuestos del rectángulo y de la hipótesis. Luego E es punto medio de OB = r 3) HO = DE por ser lados opuestos de HOED. HOK FEK. Por qué? HK KF por ser lados homólogos en triángulos congruentes. Luego K es punto medio de HF. Lo es de OE?