PROPORCIONES Y SEMEJANZA. LA RAZON entre dos cantidades es el cociente indicado entre ellas, la razón de a y b se escribe b. a b.

Transcripción

1 Proporciones y Semejanza 1 PROPORCIONES Y SEMEJANZA LA RAZON entre dos cantidades es el cociente indicado entre ellas, la razón de a y b se escribe b a y se lee: a es a b. PROPORCION: Es la igualdad de dos razones. a b c d, y se lee: a es a b como c es a d. a y c se llaman antecedentes, b y d se llaman consecuentes. c y b se llaman medios; a y d se llaman extremos. Cualquier elemento se llama cuarta proporcional entre las otras tres. Cuando los medios o los extremos son iguales, se llama media proporcional. x y z x, x es la media proporcional entre y z; ; 6 es la media proporcional entre 1 y 3 PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES: 1. PROPIEDAD FUNDAMENTAL: En una proporción se cumple que el producto de los extremos es igual al producto de los medios. a c 4 a b c d; b d En una proporción se pueden intercambiar los medios o los extremos y se obtiene otra proporción a c a b ; b d c d a c d c ; b d b a En cada proporción se pueden invertir sus elementos y nos da otra proporción. a c b d ; b d a c a c a b c d ; b d b d a c a b c d ; b d b d a c e a c e a 6. k k b d f b d f b

2 Proporciones y Semejanza TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA PROPORCIONALIDAD. Si se traza una paralela a un lado de un triangulo, determina segmentos proporcionales en los otros dos lados. HIPOTESIS: DE AB A D C y B E C TESIS: CD CE DA EB 1. Sobre CD se toman n segmentos congruentes de longitud a y sobre DA se toman m segmentos congruentes de longitud a. Se trazan paralelas por esos puntos a AB 3. En CE se determinan n segmentos s de longitud b y en EB se determinan m segmentos congruentes de longitud b. 4. CD n a; DA m a; CE n b; EB m b 5. CD n a n DA m a m 6. CE n b n EB m b m 7. CE DA EB 1. Construcción. Construcción 3. De. Teorema fundamental de las paralelas 4. De 1 y 3. Adición de segmentos 5. De 4 6. De 4 CD 7. De 5 y 6. Propiedad transitiva. COROLARIO 1: CA CB DA CE COROLARIO : CA CB DA EB TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR) Si una recta corta a dos lados de un triangulo y determina segmentos proporcionales en los otros dos lados, entonces la recta es paralela al tercer lado. (Consultar su demostración)

3 Proporciones y Semejanza 3 TEOREMA DE THALES Si tres o mas rectas paralelas son cortadas por dos transversales, entonces los segmentos de una transversal son proporcionales a sus correspondientes en la otra. HIPOTESIS: m n s t1 y t son transversales TESIS: AB DE BC EF 1. Trazamos C K F. 3. EL KF DE DL EF KL DK t 1, tal que B L E y 1. Construcción. De 1 y de hipótesis 3. De. Teorema fundamental de la proporcionalidad en DKF 4. ABLD y BCKL son paralelogramos 4. De hipótesis y de 1. Definición de paralelogramo 5. AB = DL y BC = KL 5. De 4. Los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes DE AB 6. Sustitución de 5 en 3 EF BC BC AB 7. De 6. Propiedad de las proporciones. EF DE TEOREMA En todo triangulo la bisectriz de un ángulo interno divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados adyacentes. HIPOTESIS: CD es bisectriz del ángulo ACB A D B TESIS: AD DB AC BC 1. Por B se traza BE, tal que BE DC ; 1. Construcción

4 Proporciones y Semejanza 4 BE y AC se cortan en E. AD DB. De 1. Teorema fundamental de las AC CE proporciones en ABE De 1. Por ser alternos internos entre paralelas De 1. Por ser correspondientes entre paralelas De Hipótesis. CD es bisectriz De 3, 4 y 5. Propiedad transitiva 7. CE BC 7. De 6. En un triangulo a ángulos s se oponen lados congruentes AD DB 8. Sustitución de 7 en 8. AC BC TEOREMA: La bisectriz de un ángulo exterior de un triangulo no isósceles, divide a la prolongación del lado opuesto al ángulo en segmentos proporcionales a sus lados adyacentes. HIPOTESIS: CP es bisectriz del ángulo exterior BCE TESIS: AP AC BP BC 1. Se traza BD PC, que corta a AC en D 1. Construcción. AP AC. De 1. Teorema fundamental de la BP DC proporcionalidad en ACP De 1. Por ser alternos internos entre paralelas De 1. Por ser correspondientes entre paralelas De hipótesis. PC es bisectriz De 3, 4 y 5. Propiedad transitiva 7. DC BC 7. De 6. En un triangulo a ángulos s se oponen lados congruentes 8. AP AC 8. Sustitución de 7 en 9. BP BC AP BP 9. De 8. Propiedad de las proporciones. AC BC

5 Proporciones y Semejanza 5 1) EJERCICIOS DE BD BA (De hipótesis por formar ángulos correspondientes congruentes) BE 4 x x 96 x 96 AB 4 6 BC x 4 AC ) Con las siguientes longitudes: BC = 1; EC = 9; AB = 14; BD = 5, será ED AC? Si fueran paralelas se debería cumplir que BA BC 14 1, lo cual es falso porque no se cumple BD BE 5 1 que producto de medios es igual a producto de medios y por lo tanto ED no es paralelo a AC 3) TESIS: a b a b DC ; EC b c c b A continuación se da la demostración, colocar las razones

6 Proporciones y Semejanza 6 BD AB 1. DC AC BD DC AB AC. DC AC a c b 3. DC b 4. DC( b c) a b a b 5. DC b c BE EC 6. AB AC BE AB 7. EC AC BE EC AB AC 8. EC AC a c b 9. EC b 10. EC( c b) a b a b 11. EC c b SEMEJANZA DE POLIGONOS. Dos polígonos son semejantes si entre sus vértices existe una correspondencia tal que los ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales. A A'; B B'; C C'; D D'; E E' AB BC CD DE EA k A' B' B' C ' C ' D' D' E ' E ' A' Donde k, se llama constante de proporcionalidad Se escribe ABCDE A B C D E ; se lee: semejante a SEMEJANZA DE TRIANGULOS. Dos triángulos son semejantes si tienen igual forma. En los triángulos semejantes se cumple que los ángulos correspondientes son congruentes y lados correspondientes son proporcionales.

7 Proporciones y Semejanza 7 A D; B E; C F AB AC BC DE DF EF La semejanza es una relación de equivalencia, o sea que cumple: 1. Propiedad reflexiva: ABC ABC. Propiedad simétrica: ABC DEF DEF ABC 3. Propiedad transitiva: ABC DEF y DEF PQR, entonces ABC PQR Las seis condiciones dadas en la definición de triángulos semejantes se pueden reducir a tres TEOREMA DE SEMEJANZA A A A Si dos triángulos tienen sus ángulos respectivamente congruentes entonces son semejantes. HIPOTESIS: A R; B S; C T TESIS: ABC RST 1. Sean D y E, puntos sobre CA y CB, 1. Construcción tales que CD TR y CE TS. C T. De hipótesis CDE R 4. De 3. Son ángulos correspondientes en triángulos s 5. R A 5. De hipótesis 6. CDE A 6. De 4 y 5. Propiedad transitiva 7. DE AB 7. De 6. Por formar con una transversal ángulos correspondientes congruentes. 8. CD CE 8. De 7. Teorema fundamental de la CA CB proporcionalidad 9. TR TS 9. Sustitución de 1 en 8. CDE TRS 3. De 1 y. L A L CA CB 10. De igual modo, tomando F y G en AB y BC, tal que BF SR y BG ST, puede demostrarse que 10.

8 Proporciones y Semejanza 8 AB CB RS TS (hágalo) RS TS AB CB TR TS RS 11. De 9 y CA CB AB 1. A R; B S; C T 1. De hipótesis 13. ABC RST 13. De 11 y 1. Definición de triángulos semejantes. COROLARIO 1. Si dos triángulos tienen dos ángulos congruentes entonces son semejantes (A A) COROLARIO. Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo congruente entonces son semejantes. COROLARIO 3. Las alturas correspondientes de dos triángulos semejantes tienen la misma razón que la de dos lados correspondientes. CE TH AC RT AB RS BC ST COROLARIO 4. Si se traza una recta paralela a un lado de un triangulo se determina otro triangulo semejante al primero. Si DE AB, entonces ABC DEC TEOREMA DE SEMEJANZA L A L Si en dos triángulos dos lados correspondientes son proporcionales y los ángulos comprendidos entre ellos son congruentes, entonces los triángulos son semejantes. HIPÓTESIS: CA CB NE NL C N TESIS: ABC ELN

9 Proporciones y Semejanza 9 1. En CA y en CB, existen los puntos D y 1. Construcción E tales que CD NE y CE NL. C N. De hipótesis De hipótesis CDE ELN 3. De 1 y. L A L CA CB NE NL 5. CA CB 5. Sustitución de 1 en 4 CD CE 6. DE AB 6. De 5. Reciproco del teorema fundamental de la proporcionalidad 7. CDE ABC 7. De 6. Una recta paralela a un lado de un triangulo, determina un triangulo semejante al primero. 8. ABC ELN 8. Sustitución de 3 en 7. COROLARIO Si en dos triángulos rectángulos los catetos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes. EJERCICIO HIPÓTESIS: AF, BD, CE son alturas. TESIS: ABC FCD FEB ADE 1. C C 1. Propiedad reflexiva. CFA y CDB son rectángulos. De hipótesis. Definición de altura 3. CFA CDB 3. De 1 y. Por tener un ángulo agudo congruente 4. CD BC 4. De 3. Si son semejantes los lados CF AC correspondientes son proporcionales 5. FCD ABC 5. De 1 y 4. Por teorema de semejanza L A L 6. A A 6. Propiedad reflexiva 7. CAE y DAB son rectángulos 7. De hipótesis. Definición de altura. 8. CAE DAB 8. De 7 y 6. Por tener un ángulo agudo congruente AB AD 9. De 8. Por ser lados correspondientes de 9. AC AE triángulos semejantes 10. ABC ADE 10. De 6 y 9. Teorema de semejanza L A L

10 Proporciones y Semejanza B B 11. Propiedad reflexiva 1. AFB y CBE son rectángulos 1. De hipótesis. Definición de altura y de triangulo rectángulo. 13. AFB CBE 13. De 11 y 1. Por tener un ángulo agudo congruente De 13. Por ser lados correspondientes en triángulos semejantes. 15. ABC FEB 15. De 11 y 14. Teorema de semejanza L A L CB AB EB FB 16. ABC FCD FEB ADE 16. De 5, 10 y 15. Propiedad transitiva NOTA: El triangulo DEF se conoce con el nombre del triangulo del pedal. TEOREMA DE SEMEJANZA L L L Si en dos triángulos sus lados correspondientes son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes. CA AB HIPOTESIS: FD DE TESIS: ABC DEF BC EF 1. En CA existe un punto G, tal que 1. Construcción CG FD y en CB existe H, tal que CH FE. Se traza GH. Construcción CA BC 3. De hipótesis 3. FD EF 4. GH AB 4. De 3. Reciproco del teorema fundamental de la proporcionalidad 5. CGH CAB 5. De 4. Una recta paralela a un lado de un triangulo determina un triangulo semejante al primero. CA AB 6. De 5. Los lados correspondientes son CG GH proporcionales CA AB 7. Sustitución de 1 en 6. FD GH CA AB 8. De hipótesis. FD DE AB AB 9. Sustitución de 7 en 8. GH DE

11 Proporciones y Semejanza AB GH 10. De 9. Propiedad de las proporciones. AB DE 11. De GH GH DE DE 1. CGH DEF 1. De 11 y 1. L L L 13. ABC DEF 13. Sustitución de 1 en 5. COROLARIO 1. Si dos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa y un cateto respectivamente proporcionales, entonces son semejantes. COROLARIO. Si dos triángulos isósceles tienen un ángulo cualquier respectivamente congruente, entonces son semejantes. EJERCICIOS RESUELTOS DATOS: ABC DEA es rectángulo en es rectángulo en C E HALLAR el valor de x. ABC DEA por ser rectángulos con un ángulo agudo congruente (A A) x 10 0x 160 x ) HIPÓTESIS: A CBD TESIS: BD DC AD 1. A CBD. 1. De hipótesis 3. D D 3. Propiedad reflexiva 4. ADB BDC 4. De 1 y. A A 5. BD DC 5. De 3. Por ser lados correspondientes en triángulos AD BD semejantes 6. BD DC AD 6. De 4. Propiedad de las proporciones.

12 Proporciones y Semejanza 1 3) HIPOTESIS: ABC HFE AD y HL son medianas TESIS: AD HL BC FE 1. B F 1. De hipótesis. ABC HFE. BC. De hipótesis. D y L son puntos medios BD BC BD FE FL FE FL 3. AB BC 3. De hipótesis. Los lados correspondientes en HF FE triángulos semejantes son proporcionales 4. AB BD 4. Sustitución de en 3 HF FL 5. AB BD 5. De 4. Simplificación HF FL 6. ABD HFL 6. De 1 y 5. Semejanza L A L 7. AD AB 7. De 6. Lados correspondientes en triángulos HL HF semejantes son proporcionales 8. AB BC 8. De hipótesis. Lados correspondientes en triángulos HF FE semejantes 9. AD BC 9. De 7 y 8. Propiedad transitiva HL FE 4) Si dos triángulos isósceles tienen un ángulo cualquiera respectivamente congruente, entonces son semejantes. 1. CA CB HIPÓTESIS: A D ABC es isósceles con CA CB DEF es isósceles con FD FE TESIS: ABC DEF 1. De hipótesis. A B. En un triangulo a lados congruentes se oponen ángulos congruentes. 3. FD FE 3. De hipótesis 4. D E 4. De 3. En un triangulo a lados congruentes se oponen

13 Proporciones y Semejanza 13 ángulos congruentes. 5. A D 5. De hipótesis 6. A B D E 6. De, 4 y 5. Propiedad transitiva 7. ABC DEF 7. De 6. A A II CASO: HIPÓTESIS: C F ABC DEF TESIS: ABC DEF es isósceles con CA CB es isósceles con FD FE De hipótesis. m ( A) = m ( B). De1. En un triangulo a lados congruentes se oponen ángulos congruentes 3. m ( A) + m ( B) + m ( C) = 180º 3. En un triangulo la suma de los ángulos interiores es 180º 4. m( A) + m( C) = 180º 4. Sustitución de en 3 5. FD FE 5. De hipótesis. 6. m ( D) = m ( E) 6. De 5. Ver la razón. 7. m ( D) + m ( E) + m ( F) = 180º 7. En un triángulo la suma de los ángulos interiores es 180º 8. m ( D) + m( F) = 180º 8. Sustitución de 6 en 7 9. m( A) + m( C) = m ( D) + m( F) 9. De 4 y 8. Propiedad transitiva 10. m ( C) = m ( F) 10. De hipótesis 11. m ( A) + m ( C) = m ( D) + m ( C) 11. Sustitución de 10 en 9 1. m ( A) = m ( D) 1. De 11. Propiedad cancelativa. CA CB 13. m ( A) = m ( D) 13. De ABC DEF 14. De 13 y 10. A A 4) Se da un triangulo ABC, con P punto medio de AB, N punto medio de BC y M punto medio de CA. Demostrar ABC NMP. AYUDA: Demostrar que CMPN es un paralelogramo y recordar que en un paralelogramo los ángulos opuestos son congruentes. Demostrar que MNPA es un paralelogramo y recordar que en un paralelogramo los ángulos opuestos son congruentes.

14 Proporciones y Semejanza 14 RELACIONES MÉTRICAS EN UNA CIRCUNFERENCIA. TEOREMA Si dos cuerdas se cortan dentro de una circunferencia, el producto de las medidas de los segmentos de una cuerda es igual al producto de las medidas de los segmentos de la otra. HIPOTESIS: AB y CD son cuerdas que se cortan en E TESIS: AE EB DE EC 1. Se trazan AD y CB 1. Construcción.. Por estar inscritos en el mismo arco BD 3. B D 3. Por estar inscritos en el mismo arco AC C A 4. CEB AED 4. De y 3. A A CE EB 5. De 4. Lados correspondientes en triángulos semejantes 5. AE DE 6. AE EB CE DE 6. De 5. Propiedad de las proporciones. DEFINICIÓN: SEGMENTO DE UNA SECANTE BC : Segmento externo de la secante : Segmento interno de la secante AB TEOREMA: Si se trazan una tangente y una secante desde un mismo punto exterior a una circunferencia la medida del segmento tangente es media proporcional entre las medidas de la secante y su segmento externo. HIPÓTESIS: PA Tangente. PC secante a la circunferencia y la corta en B y C. TESIS: PA PC PB PA 1. Se trazan AC y AB. m C m arcoab 3. m BAP m arcoab 1. Construcción. Por ser un ángulo inscrito. 3. Por ser un ángulo semiinscrito.

15 Proporciones y Semejanza m( C) = m( BAP) 4. De y 3. Propiedad transitiva. 5. m( P) = m( P) 5. Propiedad reflexiva 6. CAP ABP 6. De 4 y 5. A A De 6. En triángulos semejantes los lados correspondientes son proporcionales PA PB PC PA TEOREMA: Si se trazan secantes desde un mismo punto exterior a una circunferencia, el producto de una secante por su segmento exterior es igual al producto de la otra secante por su segmento exterior. La demostración se deja como tarea. HIPÓTESIS: PA y PC TESIS: PA PB PC PD son secantes PA corta a la circunferencia en B y A PC corta a la circunferencia en D y C EJEMPLO Se traza el radio OF. OA = OF = 0B = X OD = x 4 FD DB AD DC ( x x 4) (x 4) 40 Y resolviendo la ecuación se llega a x = 7 PROYECCIONES: La proyección de un punto a una recta es el pie de la perpendicular trazada del punto a la recta. La proyección de un segmento sobre una recta, es otro segmento sobre la recta, obtenido de las proyecciones de los extremos del segmento.

16 Proporciones y Semejanza 16 CD es la proyección de AB sobre recta m EL es la proyección de EN sobre la recta n La proyección de AC sobre AB prolongación de AB ) es AH (sobre la RELACIONES METRICAS EN EL TRIANGULO TEOREMA DE PITAGORAS: En todo triangulo rectángulo el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. HIPÓTESIS: ABC es rectángulo en C AB c; BC a; AC b TESIS: c = a + b 1. Se traza la altura CH sobre la 1. Construcción hipotenusa.. El complemento de es A. De 1. Por ser ángulos agudos del triangulo rectángulo CHA 3. El complemento de B es A 3. De Hipótesis. Por ser ángulos agudos del triangulo rectángulo CHA 4. ACH B 4. Por tener el mismo complemento, el A

17 Proporciones y Semejanza CHA CHB 5. De 4. Por ser rectángulos con un ángulo agudo congruentes Propiedad Reflexiva. 7. CHA ABC 7. De 1 y de hipótesis y de 6. Por tener un ángulo agudo congruente A A 8. CHA ABC CHB 8. De 5 y 7. Propiedad transitiva. 9. b c m b 9. De 8. Por ser lados correspondientes en los triángulos ABC y CHA 10. b = cm 10. De 9. Propiedad de las proporciones 11. De 8. CHA ABC CHB 11. a c n a 1. a = nc 1. De 11. Propiedad de las proporciones 13. a + b = cm + nc 13. Adición de 10 y a + b = c(m + n) 14. De 13. Factor común 15. a + b = c 15. De 14. Adición de segmentos. COROLARIOS: 1. En un triangulo rectángulo la altura trazada sobre la hipotenusa, divide al triangulo en dos triángulos semejantes entre si y semejantes al original.. La altura trazada sobre la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que determina sobre ella. 3. Todo cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. 4. La razón de los cuadrados de los catetos es igual a la razón de sus proyecciones sobre la hipotenusa 5. La altura sobre la hipotenusa es cuarta proporcional entre los lados del triangulo. AH CB AC AB 6. El cuadrado de la longitud de un cateto es igual al cuadrado de la hipotenusa menos el cuadrado del otro cateto. TEOREMA En cualquier triangulo, el producto de un lado por su altura correspondiente, es igual al producto de otro lado por su altura correspondiente. HIPÓTESIS: CE altura sobre AB, AD altura sobre CB, CE = h1, AD = h, AB = c, CB = a TESIS: c h1 a h

18 Proporciones y Semejanza ADB y CEB son rectángulos. 1. De hipótesis. Definición de altura.. Propiedad reflexiva 3. ADB CEB 3. De 1 y. Por ser triángulos rectángulos con un ángulo agudo congruente De 3. Lados correspondientes en triángulos semejantes son proporcionales a c B h h 1 B 5. c h1 a h 5. De 4. Propiedad de las proporciones TEOREMA En un triangulo acutángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos dos veces uno de ellos por la proyección del otro sobre el. HIPÓTESIS: ABC es acutángulo. AD = m, proyección de AC sobre AB DB = n, proyección de BC sobre AB TESIS: a b c cm 1. a = h + n 1. Pitágoras en CDB. a = h + (c m). De 1 y de hipótesis. Resta de segmentos. 3. a = h + c cm + m 3. De. Algebra 4. b = h + m 4. Teorema de Pitágoras en CDA 5. a = b + c cm 5. Sustitución de 4 en 3. TEOREMA: En un triangulo obtusángulo, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados mas dos veces uno de ellos por la proyección del otro sobre el. TESIS: b a c c BD La demostración se deja como tarea.

19 Proporciones y Semejanza 19 TEOREMA DE LA MEDIANA En un triángulo, el cuadrado de la medida de la mediana trazada sobre un lado es igual a la semisuma de los cuadrados de los lados que salen del mismo vértice de la mediana menos la mitad del tercer lado al cuadrado. HIPÓTESIS: CD es la mediana sobre el lado AB CD x; AC b; BC a; AB c; HD n TESIS: x a b c ( ) Si el ángulo CDB es obtuso, entonces el ángulo CDA es agudo c c c En el triángulo CDB, tenemos que a x ( ) ( ) n a x cn (1) por el teorema 4 del triángulo obtusángulo c c c En el triángulo CDA, tenemos que b x ( ) ( ) n b x cn () por el teorema 4 del triángulo acutángulo c c Sumando las igualdades (1) y () llegamos a: a b x a b x a b c x Pasando el a dividir al lado izquierdo, llegamos a 4 a b c x ( ) DEFINICIÓN: Se llama ceviana en un triángulo al segmento de recta que une un vértice de un triángulo con un punto del lado opuesto del triángulo, por ejemplo la mediana es una ceviana muy especial, puesto que va al punto medio del lado opuesto. D es un punto cualquiera del lado AB del triangulo es una ceviana CD

20 Proporciones y Semejanza 0 TEOREMA DE STEWART Este teorema establece una relación entre la longitud de los lados de un triángulo y la longitud de una ceviana. Su nombre se debe al matemático escoces Matthew Stewart, quien demostró este teorema en 1746 HIPÓTESIS: CD x es una ceviana AD m: DB n; HD d; AC b; AB c; BC a TESIS: a mb n x c cm n En el triángulo CDB, tenemos: En el triángulo CDA, tenemos: Multiplicamos la igualdad 1 por m: Multiplicamos la igualdad por n: a x n nd (1) b x m md () a m x m n m mnd b n x n m n mnd (3) (4) Sumamos las igualdades 3 y 4 a mb n x m x n n m m n mnd mnd Simplificando queda a mb n x m x n n m m n Factorizando a la derecha: a m b n x ( m n) nm( n m) Pero n m c De donde nos queda: a mb n x c cmn Este teorema se puede utilizar para demostrar el teorema anterior o sea el teorema de la c mediana, teniendo en cuenta que mn

21 Proporciones y Semejanza 1 1) EJERCICIOS RESUELTOS TESIS: a b n m DEMOSTRACION: 1. a = h + n 1. Teorema de Pitágoras en. b = h + m. Teorema de Pitágoras en 3. a - b = h + n (h + m ) 3. Igualdad 1 menos igualdad. 4. a - b = n m 4. De 3. Álgebra. CDB CDA ) HIPÓTESIS: cualquiera CE h es altura CD d es mediana n es la proyección de CD CDA es obtuso A D - E B ABC sobre AB TESIS: b a c n DEMOSTRACION: 1. AD = DB = c. 1. De hipótesis D es punto medio por definición de mediana. b = (AD) + d + (AD).n. Relaciones métricas en el triangulo obtusángulo ADC c c c 3. Sustitución de 1 en. 3. b d n b d c n 4 4. a = (DB) + d (DB).n 4. Relaciones métricas en el triangulo acutángulo DCB c c c 5. Sustitución de 1 en a d n a d c n 4 6. b a c n 6. Igualdad 3 menos la igualdad 5.

22 Proporciones y Semejanza 3) HIPÓTESIS: CAB rectángulo en A AD CB; DF AB; DE CA CE p; FB q; AC b; AB c TESIS: b c 3 3 p q 1. En DE p 1. En un triangulo rectángulo la altura sobre DE p AE DE la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que determina sobre ella.. En DF q. En un triangulo rectángulo la altura sobre DF Q AF DF la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que determina sobre ella. 3. DE p AE 3. División de 1 y. DF q AF 4. DE FA 4. De hipótesis por ser perpendiculares a la misma recta AC. 5. CA DF 5. De hipótesis por ser perpendiculares a la misma recta AB 6. EDFA es un paralelogramo. 6. De 4 y 5. Definición de paralelogramo. 7. AE = DF; AF = DE 7. De 6. En un paralelogramo los lados opuestos son congruentes DE p DF DE p DE p 8. Sustitución de 7 en 3 y álgebra. 3 DF q DE DF q DF q 9. El complemento de 3 es 1 9. En un triangulo rectángulo los ángulos agudos son complementarios 10. El complemento de es En un triangulo rectángulo los ángulos agudos son complementarios De 9 y 10. Por tener el mismo complemento. 1. ADB ADC 1. De 11. Triángulos rectángulos con un ángulo agudo congruente. 13. DE b 13. En dos triángulos semejantes la razón DF c entre dos alturas correspondientes es igual a la razón de dos lados correspondientes. 3 3 b p b p 14. Sustitución de 13 en c q c q CDA: AE ADB: AF

23 Proporciones y Semejanza 3 4) HIPÓTESIS: es rectángulo en FLDE es un cuadrado de lado x, inscrito en el triangulo. AH h; BC a; AB c; AC b AH BAC es altura; B F H L C A TESIS: a h a h x Nota: En la demostración no se olvide de utilizar el teorema: En dos triángulos semejantes la razón entre dos alturas correspondientes es igual a la razón de dos lados correspondientes. 5) Si en un triangulo rectángulo, x y son las medidas de los catetos y z es la medida de la altura correspondiente a la hipotenusa, demostrar que: x y z EJERCICIOS SOBRE SEMEJANZA Y RELACIONES METRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA Y EN EL TRIANGULO. 1.. HIPÓTESIS: CD es bisectriz de AP CD; BQ CD C P D Q TESIS: AD DB AC BC ACB NOTA: Esta es otra forma de demostrar el teorema de la bisectriz interior de un ángulo de un triangulo. DE AC a. Si EB = AD; AB = 6; CE = 8; Hallar DB b. Si DB = 7; EB = AD; CE = 14; Hallar CB c. Si CB = 4; EB = AB; DB = 4; Hallar AB 3. HIPOTESIS: ABCD es un trapecio con AB CD. Las diagonales se cortan en O. TESIS: OC OA OD OB

24 Proporciones y Semejanza 4 4. HIPÓTESIS: ABC es isósceles con CA CB EF CB; ED AC 5. TESIS: AD EF ED BF HIPOTESIS: A D B; CD es bisectriz de m ACB m A TESIS: AC b; AB c; BC a c a ab ACB 6. HIPÓTESIS: A CBD TESIS: AB CB AD DB 7. HIPÓTESIS: B F CAB y HL AD EHF son medianas TESIS: AD BC HL FE 8. Si QR MN completar: PM PQ QM a) b) c) PQ PM PM PR PQ PN d) e) f) RN PR PM 9. Demostrar que el triangulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados de un triángulo dado es semejante al triangulo dado.

25 Proporciones y Semejanza Las longitudes de los lados de un triangulo son 15, 0, y 8. Cuáles son las longitudes de los segmentos en que la bisectriz del ángulo mayor divide al lado opuesto?. Contestar la misma pregunta para el caso del ángulo menor. 11. Demostrar que las bisectrices de dos ángulos correspondientes cualesquiera de triángulos semejantes están en la misma razón que los lados correspondientes. 1. Se da un paralelogramo ABCD. Una recta que pasa por B corta a AC en E, a DC en G y a la prolongación de AD en F. Demostrar: 1) AEF CEB ) EB es media proporcional entre EG y EF. 13. Se da un triangulo rectángulo ABC con CD como altura a la hipotenusa AB. Demostrar que: AC BC = AD BD 14. Para cuales conjuntos de longitudes será ED AC 15. HIPÓTESIS: ABC es rectángulo en C EFHD es un cuadrado TESIS: EDA CHD FBH 16. HIPÓTESIS: AE y BD son alturas TESIS: 1) AEC BDC ) ACB ECD 3) AC DC BC CE

26 Proporciones y Semejanza HIPÓTESIS: DF AB; CB AB; CE DF; AC CD TESIS: 1) DEC ABC AB DC ) DE AC 18. HIPÓTESIS: AB DE es bisectriz de ; C B F CF CAF TESIS: CB AC DE AE 19. HIPÓTESIS: ABC rectangulo en A AD bisectriz de CAB EB AD AC b; AB c TESIS: BE c b c AD b c HIPÓTESIS: ABC rectángulo en A TESIS: AF es bisectriz KB AF b c AF b c HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo MF AD; ME AB ; A M C TESIS: ME AD MF AB AYUDA: Trazar ML AB y HM AD

27 Proporciones y Semejanza 7. HIPOTESIS: ADEF es un cuadrado TESIS: x a 9 es rectángulo AB 4 a; AC 3 a; CE x CAB F es punto medio de AB 3. HIPOTESIS: ABCD es un trapecio con AD = DC = a; m( A) = 60 DN NC; AM MB; AB 3a NM y : CB x TESIS: x a 3; y a 4. HIPOTESIS: BC a; AC b; BA c BE y AD son medianas perpendiculares. TESIS: c a b a) Si m = 5; h = 15; hallar el valor de a, b, c, n b) Si b4 3, m 4; hallar el valor de a, c, h, n. c) Si c6, m 4 ; hallar el valor de a, b, h, n. d) Si b3 10, n 13 ; hallar el valor de a, c, h, m. e) Si b = n = 8; hallar el valor de a, c, h, m.

28 Proporciones y Semejanza 8 7. DATO: CAD CBA HALLAR el valor de x AC es bisectriz de DAB. AD 4; AB 5; AE 0; BE 16; DC x? Se da un triangulo ABC, se traza la mediana CD. CDB es agudo. Si AC = 7, AB = 8, CD = 5.15, HALLAR el valor de BC.

29 Proporciones y Semejanza En cada una de las figuras, hallar los triángulos semejantes: CDB BDA AD es un diametro BA es tangente en A 34. HIPÓTESIS: AB es un diámetro A O B D DE DA TESIS: ADE ACB Desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan una tangente PT y una secante que corta a la circunferencia en los puntos R y S. Demostrar que PT PS PR

30 Proporciones y Semejanza Sea ABC un triangulo isósceles con BA BC y D un punto de AC tal que AC 3 AD. Se traza por D la perpendicular a AC que corta a al lado AB en E y a la prolongación de CB en F. Demostrar que DE EF 38. ABC es un triangulo inscrito en una circunferencia, la bisectriz del ángulo C corta al lado AB en D y su prolongación corta a la circunferencia en P. Demostrar que CACB AD DB CD SOLUCIÓN DEL 38: Colocar las razones. 5. CD DP AD DB 6. CACB CD AD DB ACD PCB. A P 3. ADP PBC CA CD CA CB CD CP 4. CP CB CACB CD CD DP CACB CD CD DP ABCD es un rectángulo. Se trazan las bisectrices de los cuatro ángulos del rectángulo. 1) Demostrar que EFGH es un cuadrado ) Si AB 7 cm y BC 3 cm. Hallar el perímetro del cuadrado EFGH 40. Las bases mayor y menor de un trapecio miden 0 y 1 cm. respectivamente. Por un punto de uno de los lados no paralelos se traza un segmento paralelo a las bases. El segmento divide a los lados en la razón. Calcular la longitud del segmento. 3 Se traza AC que corta a EF en R. DE CF de hipótesis EA FB 3

31 Proporciones y Semejanza 31 1 AD 1 ER AD EA 1 ER DE ER DC ADC AER ER EA ER EA ER EA 3 Resolviendo 1 ER, se tiene que ER 3 0 BC 0 RF BC FB 0 RF CF RF AB ABC RFC RF FB RF FB RF FB 3 Resolviendo 0 RF, se tiene que RF 1 RF De donde se tiene que EF ER Sea ABCD un rectángulo tal que AB = y BC = 5. Sea P un punto interior al rectángulo de modo que CPD = 90 y CP = DP. Hallar la longitud de PA. 4. Sea ABCD un rectángulo tal que AB = cm y BC = 1 cm. Sea M el punto medio de CD Hallar la distancia de M a la recta AC 43. Se da un triangulo ABC inscrito en una circunferencia. Se traza la bisectriz CD que corta a AB en D y a la circunferencia en E. Demostrar que el producto de los lados que forman el ángulo C es igual al cuadrado de la bisectriz mas el producto de los segmentos determinados por ella sobre el lado AB. AYUDA. Demuestre primero que: ADC EBC y después que CDA BDE. Tener en cuenta que CE = CD + DE. 44. O es el centro de la circunferencia, AB es un diámetro y M un punto de la prolongación de AB, se trazan las tangentes MN y MP a la circunferencia, la cuerda NP corta al diámetro en CA MA C. Demostrar que CB MB. Demostración: Se trazan los segmentos AN y NB. (Construcción auxiliar)

32 Proporciones y Semejanza 3 1.m(arco NB)=m(arco BP) 1. De hipótesis, si una recta que pasa por el centro de una circunferencia es perpendicular a una cuerda, entonces biseca a la cuerda y al arco. m( m( arcobp ). Por ser un ángulo inscrito. CNB) 3. m( m( arconb) 3. Por ser un ángulo inscrito. BNM) 4. CNB BNM 4.De 1, y 3, propiedad transitiva es bisectriz de 5.De 4 definición de bisectriz CB MB 6.De 5, teorema de la bisectriz interior de un ángulo 6. CN MN de un triangulo. 7.El triangulo ANB es rectangulo 7.De hipótesis, por estar inscrito en una semicircunferencia. es altura sobre la 8.De hipótesis. hipotenusa. 9. CAN CNB 9.De 8, en un triangulo rectángulo la altura sobre la hipotenusa determina dos triángulos rectángulos semejantes. CA CN AN 10.De 9, lados correspondientes en triángulos 10. CN CB BN semejantes 11. m( m( arconb) 11.Por ser un ángulo inscrito NAM) 1. m( NAM ) m( BNM ) 1.De 11 y 3, propiedad transitiva 13. NMA NMA 13. Propiedad reflexiva 14. ANM NBM 14.De 13 y 1, A-A AN MA MN 15. De 14, lados correspondientes en triángulos 15. BN MN MB semejantes CN MN 16. Propiedad de las proporciones 16. De 6: CB MB AN MA MN CN 17. De 15 y 16, propiedad transitiva 17. BN MN MB CB De 17, 16 y 10, propiedad transitiva AN MA MN CN CA CN BN MN MB CB CN CB De 18 y propiedades de las proporciones MN CA MN CN MB CA MB CN De 19 y propiedades de las proporciones MA CN MN CN MA CB MN CB MA CA 1. De 19 y 0, propiedad transitiva y algebra 1. MA CB MB CA MB CB 5.NB 8.NC CNM

33 Proporciones y Semejanza CD = 9 cm., DB = 16 cm., AD = x, AB es un diámetro Hallar el valor de x 46. T es un punto de tangencia AB = 4 cm., BD = 1 cm., A B D AT = x. Hallar el valor de x. 47. MB = x, AB = 3x, CM = 5 cm., NB = 3 cm. Hallar el valor de x. 48. AM = 4 cm., MN = 5 cm., AB = x, AB = BC, CD = x, TD = a Calcular el valor de a y de x. 49. ABCD es un rectángulo M es el punto medio del lado AB CE DM DE = 4 cm., EM = 3 cm., EC = x Hallar el valor de x AYUDA: Trazar CM

34 Proporciones y Semejanza Triangulo ABC rectángulo en C es altura sobre la hipotenusa AM MD HD = cm., DB = x Hallar el valor de x. CH 51. M es el punto medio del lado AB AB = 1 cm., AC = 6 cm., CB = 8 cm., HM = x Hallar el valor de x 5. Hallar el valor de x, el ángulo ACB es obtuso 53. Los lados de un triángulo acutángulo, miden 13, 14 y 15 cm., hallar el valor de la altura relativa al lado que mide 14 cm. 54. Los lados de un triángulo, miden 3, 8 y 10 cm., hallar el valor de la mediana relativa al lado que mide 10 cm. 55. Demostrar el teorema de Apolonio HIPÓTESIS: CM es mediana 36. TESIS: c a b ( mc )

35 Proporciones y Semejanza ABCD es un rectángulo, DF = 7, FE = 3, CF = x, E es punto medio, hallar el valor de x 57. Triángulos ABC y AEF son rectángulos, E es punto medio de la altura BD, B E D, DF =, FC = x. hallar el valor de x 58. El triángulo ABC está inscrito en la circunferencia de centro D, CE es una altura. Demostrar que Ayuda: Observar que A y CDB subtienden el mismo arco CB. 59. El triángulo ABC está inscrito en la circunferencia de centro D, CE h es una altura. Demostrar que AEC FBC y que a b h ( R) Donde R es el radio de la circunferencia

36 Proporciones y Semejanza HIPÓTESIS: AB BC BD AC BE es la bisectriz de DBC TESIS: BEA es isósceles 61. En el ejercicio anterior si tenemos que AD x, DE 4, EC 5 Hallar el valor de x 6. AB 4; BC x; AD 6; DE 8; FD DB BG a Hallar el valor de x y de a 63. Hallar el valor de x, si CD es mediana AC 9; BC 13; CD AB x 64. En una circunferencia de centro K, se traza la cuerda AB, se toma un punto C sobre, de tal manera que AC CK 4 cm. Si AB 9 cm. Hallar BK 65. Se da un triángulo ABC, con AB 8 cm. y la altura CD 6cm E es punto medio de AD y F es el punto medio de BC Calcula la longitud del segmento EF. AB

37 Proporciones y Semejanza 37 SOLUCIÓN: Por E se traza una paralela a la altura CD y corta al lado AC en G, G será punto medio de AC puesto que nos dicen que E es punto medio de AD del triángulo ADC y hay un teorema que dice que si se traza una paralela a un lado de un triángulo por el punto medio de un lado, pasa por el punto medio del otro lado. CD 6 EG 3 Por el teorema de la paralela media en un triángulo. AB 8 Trazamos el segmento GF y se tiene que GF 4 y por el teorema de la paralela media en un triángulo CDA GEA porqué? y también EGF GEA porqué? y como el ángulo CDA es recto por definición de altura, entonces el triángulo EGF es rectángulo y aplicando el teorema de Pitágoras en este triángulo, se llega a GF AB EF Se inscribe un triángulo equilátero en una circunferencia de radio R. Se traza la cuerda que corta a BC en Q y a AC en M, tal que BC PN y MN PQ. Hallar el radio de la circunferencia SOLUCIÓN Sea MB a y AM b QP 1 y MN m( B) 60 m( QMB) 30 QB a Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo MQB se tiene que MQ a 3 Por el teorema de las cuerdas tenemos que AM MB NM MP ab ( MQ 1) PN ab ( a 3 1) ab a 3 1 (1) AB BC a b (Por ser el triángulo ABC equilátero), entonces CQ a b puesto que QB a Por el teorema de las cuerdas tenemos que CQQB NQ QP ( a b) a ( a 3) 1 a ab a 3 () Reemplazando la igualdad (1) en (), tenemos que a a 3 1 a 3 a 1 a =1 a 1 Reemplazando este valor en la igualdad (1), tenemos que 1b 3 1 y por lo tanto AB BC CA (1) 3 1 3

38 Proporciones y Semejanza 38 Y como el lado de un triángulo rectángulo es igual a Tenemos que: 3 3 R 3 R Racionalizando queda R En un triángulo ABC se tiene que AB 8; BC 10; AC 1. Se traza la ceviana BR, tal que 68. Los lados de un triángulo son AB 17, AC 13; BC 4. Si los puntos M y N dividen al lado BC RC 3. Calcular la longitud de la ceviana BR. (Ayuda, aplicar el teorema de Stewart) en tres segmentos congruentes, hallar las longitudes de las cevianas AM y AN Solución: AM x; AN y R 3 Aplicamos el teorema de Stewart (17) 16 (13) 8 x x x 11 x x11 Aplicar nuevamente el teorema de Stewart para hallar el valor de la ceviana AN

39 Proporciones y Semejanza Se da un triángulo ABC, CD, AE, BF son las medianas del triángulo, si CD 15; BF 1; AE 9, hallar la longitud del lado AB del triángulo. Las medianas de un triángulo se cortan en un punto que se llama baricentro y aplicando un teorema ya demostrado, tenemos que: CG CD 10 GD 5 3 GB BF 8 3 GA AE 6 3 GD es mediana en el triángulo AGB y por el teorema de la longitud de la mediana, tenemos: GA GB AB GD ( ) AB 4 AB AB AB 100 AB El triángulo ABC es rectángulo en C, CD es una altura, BC BE, CB BE Demostrar 1) ACF EFB ) ADC CDB 3) DF es bisectriz de CDB 71. En un triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa mide 4 centímetros y determina sobre la hipotenusa segmentos que están en la razón de 1 a. Hallar la medida del cateto mayor.

40 Proporciones y Semejanza En un rombo la suma de las medidas de las diagonales es 70 centímetros y el radio de la circunferencia inscrita al rombo mide 1 centímetros. Encontrar la medida del lado del rombo. Las diagonales de un rombo se bisecan Sea AF FC x y FD FB y, entonces se tiene que x y 70 x y 35 (ecuación 1) ADF CDF Porque en un trapecio las diagonales son bisectrices. E es un punto de tangencia, por lo tanto FE CD (un radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia) DF AF Porque las diagonales de un rombo son perpendiculares y por lo tanto los triángulos AFD y FED son rectángulos y son semejantes Por qué? AF FD AD x y AD EF DE DF 1 DE y x AD xy 1 AD (ecuación ) 1 y Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo DFA, se tiene que AD x y (ecuación 3) Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación 1, se tiene que ( x y) (35) x xy y 15 (ecuación 4) Sustituyendo la ecuación y 3 en la 4, nos queda AD 4AD 15 AD 4AD 15 0 Resolvemos esta ecuación de segundo grado, y llegamos a que AD 5 Por lo tanto el lado del rombo es 5 centímetros. 73. ABCD es un trapecio con AD BC. Las diagonales son perpendiculares AD AC 4 BD 3 Calcular la base menor BC Sugerencia: Por B trazar una paralela a la diagonal AC que corta a la prolongación de la base AD en E y sea AE x

41 Proporciones y Semejanza 41 DETERMINAR SI LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES SON VERDADERAS O FALSAS 1. Toda Proporción tiene 4 términos diferentes. ( ). Si dos triángulos tienen dos lados correspondientes congruentes, entonces sus ángulos correspondientes opuestos son congruentes. ( ) 3. Si dos triángulos tienen sus ángulos correspondientes congruentes, entonces sus lados correspondientes son congruentes. ( ) 4. Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes congruentes, entonces sus ángulos correspondientes son congruentes. ( ) 5. Dos triángulos isósceles son semejantes si tienen un ángulo respectivamente congruente. 6. La altura correspondiente a la hipotenusa de un triangulo es media proporcional entre los segmentos que determina sobre la hipotenusa. ( ) 7. Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. ( ) 8. Si una recta divide proporcionalmente a dos de los lados de un triangulo, es paralela al tercer lado. ( ) 9. Dos polígonos que tienen sus ángulos respectivamente congruentes son semejantes. 10. Dos triángulos rectángulos isósceles son semejantes. ( ) 11. Si una recta divide proporcionalmente a dos de los lados de un triangulo, mide la mitad del tercer lado. ( ) 1. Las alturas correspondientes en dos triángulos semejantes son proporcionales a los lados correspondientes. ( ) 13. Triángulos congruentes son semejantes. ( ) 14. Dos triángulos rectángulos con un ángulo agudo congruente, son semejantes. 15. La semejanza es una relación de equivalencia. ( ) COMPLETAR: a 1. Si a b c d, entonces, d. La media proporcional entre 9 y 16 es: 3. Una cuarta proporcionalidad entre 5, 3, es: x , entoces, x 4 x 3 3x 8 3x 5 5., entonces el valor de x es: x x 1 6. Dado el triangulo rectángulo MNP con N recto y NT la altura sobre NP, entonces NP es la media proporcional entre y MP. 7. La igualdad de dos razones se llama 8. El perímetro de un rombo que tiene las diagonales de 15 cm. y 0 cm. es cm. 9. El cuadrado de uno de los catetos de un triangulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa el cuadrado del otro cateto. 10. Una recta paralela a no de los lados de un triangulo lo divide en dos triángulos 11. La razón de los cuadrados de los catetos es igual a la razón de sus sobre la hipotenusa. 1. En un triangulo rectángulo la altura trazada sobre la hipotenusa, divide al triangulo en dos triángulos semejantes entre si y semejante al

42 Proporciones y Semejanza La altura trazada sobre la hipotenusa es proporcional entre los que determina sobre ella. 14. Cada cateto es proporcional entre la y su sobre ella. 15. En cualquier triangulo, el producto de un lado por su correspondiente, es igual al producto de otro lado por correspondiente. 16. Los triángulos que siempre son semejantes son los. Ejercicios tomados de los siguientes textos: Geometría Euclidiana de Nelson Londoño Geometría Euclidiana de Hemmerling Curso de Geometría. Reunión de profesores Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli Geometría de Edwin E. Moise Recopilados por: José Manuel Montoya Misas.