GEOMETRÍA CUADRILÁTEROS. DEFINICIÓN: Es un polígono de cuatro lados. Considerando su interior puede ser convexo o no convexo.

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1 MISIÓN 011-II URILÁTEROS GEOMETRÍ URILÁTEROS EFINIIÓN: Es un polígono de cuatro lados. onsiderando su interior puede ser convexo o no convexo. uadrilátero convexo uadrilátero no convexo EFINIIONES: En todo cuadrilátero convexo se tiene 1. os lados de un cuadrilátero son opuestos, si no se intersecan.. os lados de un cuadrilátero son consecutivos, si tienen un extremo común. 3. os ángulos de un cuadrilátero son opuestos, si no tienen en común un lado del cuadrilátero. 4. os ángulos de un cuadrilátero son consecutivos, si tienen común un lado del cuadrilátero. 5. Una diagonal de un cuadrilátero es un segmento cuyos extremos son dos vértices no consecutivos. LSIFIIÓN E LOS URILÁTEROS ONVEXOS e acuerdo al paralelismo de sus lados opuestos los cuadriláteros se clasifican en trapezoides, trapecios y paralelogramos. I. TRPEZOIE Es un cuadrilátero que no tiene lados opuestos paralelos. no es paralelo a no es paralelo a EPRE-UNI GEOMETRÍ 1

2 MISIÓN 011-II URILÁTEROS Trapezoide Simétrico: Llamado también trapezoide bisósceles, es aquel trapezoide que tiene dos pares de lados consecutivos congruentes. La diagonal es mediatriz de la diagonal. y II. TRPEIO Es un cuadrilátero que tiene un par de lados opuestos paralelos. M N es paralelo a y no es paralelo a H θ 1. Los lados paralelos se llaman bases del trapecio tal como y.. La altura del trapecio es el segmento perpendicular trazado desde un punto de una base a la otra base tal como H. 3. El segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos del trapecio se llama mediana tal como MN. lasificación e acuerdo a la congruencia de sus lados opuestos no paralelos se clasifican en: a) Trapecio escaleno Es aquel trapecio cuyos lados opuestos no paralelos no son congruentes. θ θ EPRE-UNI GEOMETRÍ

3 MISIÓN 011-II URILÁTEROS b) Trapecio isósceles Es aquel trapecio cuyos lados opuestos no paralelos son congruentes. OSERVIÓN Un trapecio se llama trapecio rectángulo si uno de sus lados no paralelos es perpendicular a las bases. Teorema La mediana de un trapecio es paralela a las bases y la longitud de la mediana es igual a la semisuma de las longitudes de las bases. Sea el trapecio ( // ) y Hipótesis MN la mediana MN // y MN // Tesis + MN = M N M β N β F EPRE-UNI GEOMETRÍ 3

4 MISIÓN 011-II URILÁTEROS emostración: firmaciones Razones 1. Se prolongan N y hasta que 1. Trazos auxiliares se intersequen en el punto F.. N N. Por hipótesis 3. m N = m NF = β 3. Ángulos opuestos por el vértice 4. m N = m FN = 4. Ángulos alternos internos 5. N FN 5. Postulado L 6. Luego: N FN F 7. En el F : MN // F 6. Por ser lados correspondientes de triángulos congruentes 7. Porque MN une los puntos medios de dos lados del triángulo 8. Por tanto: 8. Por ser una parte de F y MN // y MN // además; dos rectas paralelas a una tercera recta son paralelas entre sí. 9. En el F : F MN = 9. Porque: MN une los puntos medios de dos lados del triángulo + F MN = MN = 10. Postulado de adición y sustitución. orolario En un trapecio la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales es igual a la semidiferencia de las longitudes de las bases. Sea el trapecio ( // ) y PQ el Hipótesis segmento que une los puntos medios de las diagonales y Tesis PQ = EPRE-UNI GEOMETRÍ 4

5 MISIÓN 011-II URILÁTEROS M P Q N M P Q N emostración: firmaciones Razones 1. En el : MP = ( I ) 1. El segmento MP une los puntos medios de los lados y.. En el : MQ = ( II ). El segmento MQ une los puntos medios de los lados y 3. e la figura: PQ = MQ MP (III) 3. Por axioma de la sustracción 4. Reemplazando (I) y (II) en (III) 4. xioma de la sustitución PQ = PQ = III. PRLELOGRMO Es aquel cuadrilátero que tiene sus dos pares de lados opuestos paralelos. // y // lasificación e acuerdo a la congruencia entre sus ángulos consecutivos y entre sus lados consecutivos se clasifican en: EPRE-UNI GEOMETRÍ 5

6 MISIÓN 011-II URILÁTEROS a) Rectángulo: Es un paralelogramo cuyos ángulos son congruentes y cuyos lados consecutivos no son congruentes. y b) Rombo: Es un paralelogramo cuyos lados son congruentes y cuyos ángulos consecutivos no son congruentes. c) uadrado: Es un paralelogramo cuyos lados y ángulos son todos congruentes. d) Romboide: Es aquel paralelogramo cuyos ángulos consecutivos y lados consecutivos no son congruentes. EPRE-UNI GEOMETRÍ 6

7 MISIÓN 011-II URILÁTEROS TEOREMS SORE PRLELOGRMOS Teorema En un paralelogramo, dos lados opuestos y dos ángulos opuestos cualesquiera son congruentes. Sea el paralelogramo Hipótesis // // Tesis y y emostración: β β firmaciones Razones 1. Tracemos la diagonal 1. Trazo auxiliar.. Todo segmento es congruente a sí mismo (propiedad reflexiva) 3. m = m = 3. Ángulos alternos internos entre paralelas m = m = β 4. Luego, 4. Postulado L 5. Y por consiguiente 5. Por los elementos correspondientes y de triángulos congruentes 6. Finalmente: 6. Postulado de la adición de ángulos. Teorema recíproco Si dos lados de un cuadrilátero son paralelos y congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. (La demostración la dejamos como ejercicio para el lector). EPRE-UNI GEOMETRÍ 7

8 MISIÓN 011-II URILÁTEROS Teorema Las diagonales de un paralelogramo se bisecan. Sea un paralelogramo, cuyas Hipótesis diagonales y se intersecan en el punto O. Tesis: O O y O O O emostración: β O β firmaciones Razones 1. m = m = 1. Por ser ángulos alternos internos m = m = β.. Por teorema anterior 3. Luego, O O 3. Postulado L 4. Y por consiguiente: 4. Por ser elementos correspondientes Teorema O O y O O de triángulos congruentes Si ambos pares de lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. Teorema El segmento entre los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y mide la mitad de su longitud. EPRE-UNI GEOMETRÍ 8

9 MISIÓN 011-II URILÁTEROS PROLEMS RESUELTOS URILÁTEROS 01. En el cuadrilátero mostrado, M = M, = 4L, + = 18 m y m = m. Si m = 90, entonces la longitud de ML es M L ) 3,5 cm ) 4 cm ) 4,5 cm ) 5,5 cm E) 6 cm Solución: m M l l L l P l ato: 4l + m = 18 l + m = 9 * Se traza P: Mediana relativa a la hipotenusa en el triángulo rectángulo. * // P entonces P es un trapecio ML : mediana entonces l + m 9 ML = = ML = 4,5 cm 0. En un trapecio, //, <. Se ubica M punto medio de. Las distancias de y a son 8 cm y 10 cm. alcule la distancia del punto medio de M a. ) 1 cm ) cm ) 3 cm ) 4 cm E) 7 cm Solución: M 4 M' 8 Q ' ' ' x Q 10 ' * MM' = = 4 * Trapecio M'M' 10 4 x = = 3 EPRE-UNI GEOMETRÍ 9

10 MISIÓN 011-II URILÁTEROS 03. En un romboide se ubican los puntos medios M y N de los lados y, intersecta a M y N en los puntos P y Q respectivamente. Si Q = 1u, calcule la longitud de Q. P N Q T PM QN P = Q PQT QN P = Q Q = 6u M 04. En un trapecio la base menor mide u, las diagonales son perpendiculares, y estás miden 6 y 8u. alcular la longitud de la base mayor. M N 5 = + x 4 3 x = 8u x 05. es un trapecio, se trazan las diagonales y. La bisectriz del intersecta a en el punto E. Si m E = 80, m E = 0, + = 7u, calcular la longitud del segmento. y 0 = E + E E es isósceles suur y E es mediatriz de. E E = E = 7u EPRE-UNI GEOMETRÍ 10

11 MISIÓN 011-II URILÁTEROS 01. ado un cuadrado, en y se ubican los puntos P y Q tal que m PQ = m P. alcule la m PQ. ( ) ) 30 ) 37 ) 45 ) 53 E) 60 Solución: P H a x θ θ a a Q Se traza H PQ T. isectriz: =H=a m HQ = m H = omo uuur H==a entonces Q : bisectriz del H Luego x=+θ, pero +x+θ=90 x=45 0. En un romboide, M es punto medio de y en M se ubica el punto P tal que P. alcule P si P=a y PM=b. ) a+b ) a+b ) a+b ) a b E) a b Solución: n a P m θ M x b θ a+b m n n Q MQ M MQ = M = a + b Q = = n T. Mediatriz: x = a + b 03. En un trapecio, de bases y, los ángulos y son complementarios, =5 y =1. alcule la longitud del segmento que une los puntos medios de y. b Piden: x = K (1) Se traza P / / : romboide P=b y P=5 90 θ 90 θ θ P :rectángulo P=13 b P b b En (1): x = x = 6,5 EPRE-UNI GEOMETRÍ 11

12 MISIÓN 011-II URILÁTEROS PROLEMS PROPUESTOS URILÁTEROS 01. Indique el valor verdad de las siguientes proposiciones: I. Todo paralelogramo equilátero es un cuadrado. II. Si las diagonales de un cuadrilátero son perpendiculares entre si, el cuadrilátero es un rombo. III. Si un paralelogramo es un rectángulo, el rectángulo es un paralelogramo. )Solo I y II ) Solo II y III )Solo I ) Solo III E)I, II y III 0. Se tiene el trapecio, //, en se ubica el punto medio F, F = { E }, además F = { G }. Si E = 4, EF = 3. alcule FG ) 1 ) ) 3 ) 4 E) En un paralelogramo, = a, = b, sea M un punto de, se trazan ME, MF (E y F ) siendo ME = c. Halle: MF ) ac ) bc b a ) ab c ) a + b + c 3 E) a + b c 04. Se tiene el cuadrado, se ubica R punto medio de, F es R F R, calcule la distancia del centro del cuadrado al segmento R. perpendicular a ( ) ) 1 F 3 ) F 3 ) 1 F ) 1 F 4 E) 3 F En un trapecio, //, <. Se ubica M punto medio de. Las distancias de y a son 8 y 10. alcule la distancia del punto medio de M a. ) 1 ) ) 3 ) 4 E) En un paralelogramo, por el vértice se traza una recta que intersecta a la prolongación del lado en el punto N. La altura H (H ) del paralelogramo intersecta a N en el punto M. Si m N = m N y = 18 u, entonces la longitud (en u) de MN es ) 18 ) 7 ) 36 ) 48 E) Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si las diagonales de un cuadrilátero convexo son perpendiculares y congruentes, entonces el cuadrilátero es un cuadrado. II. Si las diagonales de un trapecio son congruentes, entonces el trapecio es isósceles. III. Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. EPRE-UNI GEOMETRÍ 1

13 MISIÓN 011-II URILÁTEROS ) VVV ) VFV ) FVF ) FVV E) FFF 08. En un trapecio ( // ), las bisectrices interiores de los ángulos y se intersectan en el punto P y las bisectrices interiores de los ángulos y se intersectan en el punto Q. Si + = 15 u y + = 1 u, entonces la longitud (en u) de PQ es: ) 0,5 ) 1 ) 1,5 ) E) En un trapecio ( / /), M y N son puntos medios y. Si + = l, entonces la longitud del segmento que une los puntos medios de M y N es l l ) ) 3 l ) 4 l ) 5 l E) Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si los lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. II. Si las diagonales de un cuadrilátero son perpendiculares y congruentes, entonces el cuadrilátero es un cuadrado. III. Ningún polígono tiene 3 vértices colineales. ) FFF ) VFV ) VFF ) FVV E) VVV 11. En un triángulo, sus lados miden = 13u, =1u y =7u. esde el vértice, se trazan las perpendiculares P y Q a las bisectrices de los ángulos y, respectivamente. Entonces, la longitud (en u) de PQ es ) 8 ) 9 ) 10 ) 11 E) 1 1. etermine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Un cuadrilátero convexo es un trapecio isósceles si y solo sí sus diagonales son congruentes. II. Un cuadrilátero convexo no es un paralelogramo si y solo sí sus diagonales no se bisecan. III. Un cuadrilátero convexo es un trapezoide simétrico. ) VVV ) FVV ) FVF ) VFV E) FFF 13. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Un trapezoide simétrico es un polígono convexo. II. Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan, entonces dicho cuadrilátero es un paralelogramo. III. Si en un trapezoide convexo se unen los puntos medios de dos lados opuestos con los puntos medios de las diagonales, se forma un paralelogramo. IV. l unir los puntos medios de los cuatro lados de un trapecio isósceles se forma un rombo. ) FVFV ) VVVV ) FVVV ) FFVV E) VVFF EPRE-UNI GEOMETRÍ 13

14 MISIÓN 011-II URILÁTEROS 14. adas las siguientes proposiciones: I. Un trapecio es inscriptible. II. El cuadrilátero cuyos vértices son vértices de un triángulo y los pies de las alturas trazadas desde dichos vértices, es un cuadrilátero inscriptible. III. Si en una circunferencia se trazan cuerdas congruentes y secantes, entonces los extremos de dichas cuerdas son los vértices de un trapecio isósceles. Indique cuál (es) son verdaderas ) I, II y III ) II y III ) I y II ) I y III E) Solo III 15. En las siguientes proposiciones cuáles son verdaderas y/o falsos I. Las diagonales del rombo son bisectrices de sus ángulos. II. Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan el cuadrilátero es un paralelogramo. III. La diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos congruentes. IV. Las diagonales de un rectángulo son congruentes. ) VVVV ) VVVF ) VVFF ) VFFF E) FFFF 16. Indique el valor de verdad de: I. Si en un cuadrilátero las bisectrices de los ángulos opuestos son paralelos, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. II. En un trapecio una diagonal puede bisecar a la otra diagonal. III. Si en un polígono regular todas sus diagonales son congruentes, entonces el polígono es un cuadrado. ) FFF ) VVV ) VFF ) VFV E) FFV ibliografía 1. Encyclopedia ritánica Inc., enton, W., Publisher (195). The thirteen ooks of Euclid s elements. 1 st edition. Editorial Encyclopedia ritánica. The United States of merica.. Moise, E. (1964). Elementary Geometry. 1ª edición. Editorial ddison Wesley publishing company Inc. The United States of merica. 3. Helfgott, M. (199). Geometría Plana. Editorial Escuela ctiva S.. Lima Perú 4. Vega, F. (1961). Matemática Moderna 4. Editorial olegio Militar Leoncio Prado. Lima Perú EPRE-UNI GEOMETRÍ 14