Material educativo. Uso no comercial 2.4 EJERCICIOS PROPUESTOS

Transcripción

1 2.4 EJERCICIOS PROPUESTOS Temas: La geometría Euclidiana como una teoría deductiva. Axiomas de Incidencia. Axiomas de Orden. 1. En la geometría Euclidiana como una teoría deductiva, indique para cada uno de los términos que se presentan a continuación, si corresponden a términos primitivos o a términos definidos. 1.1 Recta 1.2 Semirrecta 1.3 Segmento 1.4 Ángulo 1.5 Triángulo 1.6 Plano 1.7 Cuadrado 1.8 Semiplano 1.9 Punto 1.10 Paralelogramo 1.11 Circunferencia 1.12 Espacio 2. En la Geometría euclidiana como una teoría deductiva, indique si cada uno de los siguientes enunciados es verdadero o falso. 2.1 Es posible definir cada término geométrico, empleando términos geométricos más sencillos. 2.2 Los teoremas se demuestran solamente utilizando definiciones y términos primitivos. 2.3 Cualquier teorema puede demostrarse, utilizando el Método directo. 2.4 Si se está dispuesto a describir todos los pasos, cada teorema puede deducirse de axiomas y términos primitivos, sin hacer referencia a otros teoremas. 2.5 Todo enunciado que parece ser verdadero, puede tomarse como axioma. 3. En el desarrollo de la Geometría como una teoría deductiva solo una de las siguientes afirmaciones no es verdadera. Indíquela. 3.1 Algunas proposiciones son aceptadas sin demostración. 3.2 En ocasiones hay varias maneras diferentes y correctas de demostrar ciertas proposiciones. 3.3 Cada uno de los términos empleados en una demostración debe haber sido definido previamente.

2 3.4 Es posible mediante argumentos o razonamientos válidos llegar a una conclusión verdadera si la hipótesis contiene una afirmación falsa. 4. Sean: A, B puntos distintos de un plano Π l una recta contenida en el plano Π AB y l tienen en común el punto S, S A y S B. Coloque en los espacios la relación correcta entre (pertenencia) y (inclusión) o sus negaciones de acuerdo a las condiciones establecidas y a los conjuntos determinados por los axiomas. 4.1 A _ Π 4.6 S _ AB 4.11 A _ BS 4.2 A _ AB 4.7 l _ Π 4.12 B _ AS 4.3 B _ l 4.8 AB _ Π AS _ Π 4.4 S _ Π 4.9 S Π l, A BS _ Π l, A 4.5 S _ l 4.10 A _ l, B Π AS _ BS 5. Suponga que el espacio tiene al menos un punto A. Justifique, utilizando únicamente los Axiomas de Incidencia, que se puede probar la existencia de al menos otros tres puntos distintos y diferentes al punto A. 6. Cuántas rectas distintas determinan 2, 3, 4, 5, 6, 7 puntos distintos tales que tres cualesquiera de ellos no son colineales. Generalice esta situación a n puntos en las mismas condiciones. 7. Sean A, B y C tres puntos distintos y no colineales. Indique de acuerdo al Axioma de determinación del plano y de los teoremas que se relacionan con su determinación, cuatro formas diferentes para designar el mismo plano, con sus notaciones respectivas. 8. Si G, H, K son puntos colineales y distintos, cuáles de los siguientes enunciados pueden ser ciertos. 8.1 K está entre G y H y H está entre G y K 8.2 H está entre K y G y H está entre G y K

3 8.3 H y K están del mismo lado respecto de G y G y H están del mismo lado respecto de K. 8.4 G y H están del mismo lado de K y G y K no están del mismo lado respecto de H. 9. Si M, N, R son tres puntos distintos tales que R está entre M y N, cuáles de los siguientes enunciados son ciertos: 9.1 M, N, R son colineales 9.2 RM RN φ 9.3 M NR 9.4 R IntMN 10. Si tres puntos están en una recta, cuántos de ellos no están entre los otros dos. 11. Si A, B, C son puntos distintos, no colineales, Cuántas rectas determinan? Identifíquelas. 12. Si C está entre A y D; Cuántas semirrectas determinan? Identifíquelas. 13. Si C está entre A y B y E está entre C y B; Cuántas semirrectas determinan? Identifíquelas. 14. Dados A, B, C puntos distintos. Cuántos segmentos determinan, en los siguientes casos: 14.1 Si son colineales 14.2 Si no lo son. 15. Sean A, B puntos distintos. Indicar para cada una de las siguientes proposiciones si son verdaderas o falsas, justificando su respuesta AB BA 15.2 AB BA 15.3 AB BA 15.5 AB BA 15.4 AB AB 15.6 AB AB 16. Si A, B, C, D son puntos distintos, determinar los siguientes conjuntos:

4 AB AB 16.5 AB AB AB AB 16.6 AB BA 16.3 CD DC 16.7 CD DC CD 16.8 CD CD 16.4 DC 17. Si A, B, C, D son puntos distintos tales que AC tiene a B como elemento y a la vez C es elemento de BD Verifique que dichos puntos están alineados Cuáles de los siguientes enunciados son ciertos: a) B está entre A y C b) BC d) AC BD B,C A e) AD BC φ AC f) AC y DB son opuestos c) BD 18. Si P y Q son puntos distintos Si l 1 y l 2 son rectas distintas tales que l1 afirmarse acerca de P y Q? 20. Sean M, N puntos distintos. Si qué puede afirmarse de 21. Sean M AB, N AB, P, Q l, P, Q l2 Qué puede afirmarse de 1 AB y Π? 22. Sean l 1 y l 2 rectas distintas: l 1 1, 2 2 l y l 2? P, P l2, Q l1 y Q l2. Qué puede AB y el plano Π tienen los puntos comunes M y N; K AB. Qué puede afirmarse sobre A,B,K l, l l P 2 R P, R l2, R 1. Qué puede afirmarse sobre π 1 y π 2? Π y M,N,K Π? 1, Q P, Q l1, Q 2,

5 23. Sea K una figura: A K, B K. Si AB K entonces puede afirmarse que K es una figura convexa? 24. Es todo plano una figura convexa? Lo es cualquier semiplano? 25. Un ángulo es una figura convexa? 26. Sean: Π : plano dado M, N, Q, R puntos distintos y pertenecientes al plano Π. Q MN, R MN, RQ MN Bajo estas condiciones, cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas: 26.1 R Π MN : ~Q 26.2 Q Π MN : R 26.3 N Π QR : ~M 26.4 MQ Π MN : ~R 26.5 Π MN : R Π MN : Q = Π 26.6 Si MQ RN = entonces Q Π RN : M 26.7 MN RQ 27. Sean: A, B puntos distintos; l una recta. Demostrar: l AB si y sólo si A, B l. 28. Sean: A, B, C puntos distintos. Demostrar: Si C AB entonces AB 29. Sean: A, B, O puntos distintos. Demostrar: Si B OA entonces OB OA. CA y CB AB. Sugerencia: Emplee el Método de reducción al absurdo.