De lo expuesto se desprende que la geometría es una rama de la matemática que estudia idealizaciones

Transcripción

1 Capítulo V LA FIGURA GEOMÉTRICA Dado que la geometría es la rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio, y en su forma más elemental, se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos, no está mal realizar el estudio de la geometría desde la figura geométrica... El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de geometría empírica, fue refinado y sistematizado por los griegos. De lo expuesto se desprende que la geometría es una rama de la matemática que estudia idealizaciones del espacio. Las ideas fundamentales o ideas primitivas son las figuras punto, recta y plano, que nos dan la idea de lo rectilíneo, lo plano y la nada o dimensión cero. Cuando decimos en este punto estamos hablando de un lugar en el plano que para localizarlo debemos hacerlo realidad mediante una marca en el plano que simbolice efectivamente el lugar, generalmente utilizamos una letra mayúscula. Lo rectilíneo, lo plano y el espacio son también ideas no definidas, que en el espacio existen figuras planas y que estas tienen bordes rectilíneos que llamamos polígonos, o curvos que nos dan figuras circulares o redondas. Decimos entonces que puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. son idealizaciones del espacio. El punto concepto primitivo que nos da la idea de lo puntual es de dimensión cero. La recta es de dimensión 1 y nos lleva a las ideas de rectilíneo y de dirección además puede estar orientada en uno de dos sentidos. Horizontal, vertical u oblicua son las direcciones posibles. Para la orientación debemos tener presente los conceptos de preceder y seguir, si establecemos que la recta esta formada por infinitos puntos y que estos puntos están ordenados de tal forma que todo punto sigue y precede a otro. Decimos que una recta esta ordenada según sus puntos. Si P es anterior a Q en el sentido dado a la recta que los contiene decimos P < Q, el otro sentido será Q < P. El plano con la idea de superficie, es de dimensión. El espacio geométrico de dimensión tres, es la máxima dimensión de la geometría. Las figuras que tienen a la recta como sostén son: segmentos, semirrectas y vectores. Estos se definen a partir de la relación que existe entre el punto y la recta que llamamos incidencia. Un punto P incide con una recta r si el punto P r (P está en r), decimos entonces: Cada punto P r divide a r en dos semirrectas. El punto P y los puntos que lo preceden forman una de esas semirrectas y el punto P y los puntos que lo siguen forman la otra semirrecta. La notación de las semirrectas será: y. Si P y Q son dos puntos distintos de r, las intersecciones de las semirrectas y generan el segmento. Decimos que el segmento de extremos P y Q es el conjunto de los puntos situados entre P y Q. Estar entre también es un concepto primitivo, (puntos que siguen a un extremo y preceden al otro). 1

2 Un segmento orientado se denomina vector, es la figura geométrica (ente) que da la idea de movimiento, desplazamiento, fuerza (magnitudes vectoriales), el vector se desliza sobre una recta que le da la dirección en uno de los dos sentidos posibles. A las semirrectas también se las denomina rayo Una recta r divide al plano en dos regiones, estas regiones y la recta determinan dos semiplanos; su intersección determina las figuras convexas: faja, ángulo y polígono. Recordemos que un conjunto se llama convexo si, cada para de puntos A, B incidentes en la figura, determinan un segmento incluido en la figura. Utilizando el concepto de lugar geométrico o distancia, se definen: el círculo y la esfera. Utilizando el concepto de semiespacio se definen: el diedro, el espacio prismático, el triedro, el ángulo poliedro y los poliedros. Entre los últimos encontramos como casos particulares: el tetraedro, el prisma, la pirámide y el paralelepípedo. El concepto de círculo en el espacio da origen a: el cono y el cilindro. Polígonos Podemos definir al polígono como la figura formada por un cierto número de puntos al que llamaremos vértices y un número de segmentos lineales sus lados. El número de vértices del polígono es igual al número de lados. Los puntos denominados vértices están dados en un cierto orden (sucesivo) A, B, C, D,., N y no están tres a tres alineados. La línea quebrada que forma el polígono se denomina poligonal. ABCDEA Poligonal simple cerrada Toda poligonal simple cerrada divide al conjunto de los puntos del plano que no pertenecen a ella en dos partes llamadas interior y exterior, la región interior se distingue de la exterior porque no puede contener a ninguna recta..- Dados tres o más puntos del plano en un cierto orden A, B, C,, N de tal forma que tres puntos consecutivos no estén alineados, la poligonal simple cerrada, formada por dichos puntos y los puntos del plano interiores a ella forman un polígono simple cerrado. Los puntos dados se denominan vértices del polígono y los segmentos que forman dos puntos consecutivos lados del polígono. A la poligonal se la llama frontera o contorno del polígono. Al polígono formado se lo llama n-ágono, por ejemplo: pentágono (n = 5), exágono (n= 6). De acuerdo a la nomenclatura donde se utiliza el nombre griego para designar a n tendría que decir trígono en lugar de triángulo y tetrágono en lugar de cuadrángulo (mal dicho cuadrilátero). Prof. Miguel Ángel De Carlo

3 En un polígono dos lados se dicen adyacente si tienen un vértice común, dos vértices son adyacentes si pertenecen los dos al mismo lado (extremos del segmento). Los segmentos que une pares de vértices no adyacentes se denominan diagonales. Polígono Convexo. Es una figura simple con las propiedades de un conjunto convexo, es decir, cada par de puntos P y Q pertenecientes a la figura determinan un segmento incluido en la figura. Dados tres o más puntos de tal forma que tres de ellos no estén alineados, llamaremos polígono convexo a la intersección de los semiplanos que tienen por borde a la recta que une dos puntos consecutivos y contienen a los demás puntos. Un polígono se llama convexo si se encuentra en un mismo semiplano respecto a la recta que contiene a cualquiera de sus lados. Distinguiremos entonces a los polígonos simples en convexos y cóncavos, el polígono no será simple cuando la poligonal que lo forma tiene segmentos secantes entre sí y divide a la porción de plano encerrada. Simple cóncavo Simple convexo Cruzado cóncavo 3

4 Ángulos. Los ángulos de los polígonos convexos se clasifican en interiores y exteriores siguiendo el criterio estudiado en los triángulos (los triángulos son siempre convexos). El ángulo exterior en un vértice del polígono es uno de los ángulos convexos que se forme con un lado y la prolongación del otro. El ángulo interior será el formado por la intersección de los dos semiplanos formados por dos lados consecutivos. Diagonales. Se llama diagonal del polígono a todo segmento que une dos vértices no contiguos. EB diagonal Cada diagonal divide al polígono convexo en dos polígonos convexos, dejándolos en diferentes semiplanos, para demostrarlo diremos que cada polígono queda en distintos semiplanos con respecto a la diagonal, por lo tanto los polígonos son convexos. De cada vértice de un polígono salen (n-3) diagonales siendo n el numero de vértices (lados) del polígono, ya que de cada vértice se une con los otros n-1 vértices y teniendo en cuenta dos de esos n-1 segmentos son lados nos quedan n-3 segmentos que serán las diagonales del polígono. En el pentágono de la figura tendríamos n = 5 luego n-3 = 5-3 = diagonales desde el vértice E. El número d de diagonales de un polígono convexo de n lados está dado por la expresión n( n 3) d =. De cada vértice parten tantas diagonales como tiene el polígono menos tres (dos son lados, segmentos contiguos, y el otro el vértice mismo). Por lo tanto como el polígono tiene n vértices, el número de diagonales que parten de ellos será n.(n-3). De esta forma se tendrá un número doble que el de diagonales ya que cada una ha sido computada dos veces: EB se considera desde E y desde B. Por lo tanto dividimos por. Desde el punto de vista combinatorio decimos que dados n puntos no alineados tres a tres podemos trazar C n, rectas a las cuales le debemos restar los n lados para obtener las diagonales. Operando Sacando factor común n! diagonales = Cn, = n ( n )!.! n( n 1) n diagonales = n = n( n 3) diagonales = n n = n 3n Suma de los ángulos interiores. En un polígono convexo de n lados si trazamos las diagonales de uno de sus vértices obtendremos (n-) triángulos, uno para cada uno de los lados no adyacentes al vértice. Como las diagonales, por definición de figura convexa, son interiores al polígono, las diagonales también serán interiores a cada uno de sus ángulos, luego CE es rayo interior de C y por lo tanto B y D están en distintos semiplanos respecto de CE: ECD y EBC no tienen más puntos comunes que el lado EC, (diagonal). 4 Prof. Miguel Ángel De Carlo

5 Lo mismo se razona con las restantes diagonales. El número de triángulos es igual al de lados del polígono que no concurren en A. La suma de los ángulos interiores del polígono será igual a la de los ángulos interiores de estos n- triángulos y como cada uno tiene como suma de sus ángulos interiores Rectos, tendremos: La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados es igual a n- veces rectos. Suma áng. int. ABCDE =.R.(n-) = 180º. 3 = 540º. Suma de los ángulos exteriores Puesto que todo ángulo exterior del polígono es adyacente del ángulo interior correspondiente y como la suma de los ángulos adyacentes es igual a rectos. Resulta que la suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo de n lados es igual a la resta de los adyacentes menos los interiores del polígono, tendremos: R.n R.(n -) = R.n - R.n + 4.R = 4 R En todo polígono convexo la suma de sus ángulos exteriores es de 4 rectos = 360º. Ejercicio 1. Tres de los ángulos de un pentágono suman 396º 15` 30, cuánto miden los otros dos si uno mide el doble del otro?. Ejercicio. Un cuadrilátero convexo ABCD se descompone en dos triángulos por la diagonal AC, y en cuatro trazando además BD. Las sumas de los ángulos de los triángulos son respectivamente.180º y 4.180º cómo se concilian estos resultados? El polígono de n vértices tiene n lados Los puntos del polígono convexo que no pertenecen a los lados se llaman interiores y los del plan o que no pertenecen al polígono, se llaman exteriores. El conjunto de los puntos de los lados se llama contorno. El segmento suma de los lados se llama perímetro. El triángulo es un polígono convexo de tres lados. Si un segmento tiene sus extremos en un polígono convexo, pertenece a el. El polígono convexo puede ser considerado como el conjunto de los puntos comunes a sus n ángulos. 5

6 El polígono convexo es interior a cada uno de sus ángulos. Toda semirrecta con origen P en el interior de un polígono convexo corta al contorno en un punto. Se razona de la misma forma que para el teorema referido al triángulo. Si un segmento PM tiene un extremo en el interior de un -polígono convexo y otro extremo en el exterior, corta al contorno en un punto. Si una recta tiene un punto en el interior de un polígono convexo, corta al contorno en dos puntos. Un polígono convexo solo puede tener tres ángulos agudos como máximo. Sí el polígono tuviera cuatro ángulos agudos, tendría cuatro ángulos exteriores obtusos, esto es absurdo, pues entre ellos sumarían más de 4 Rectos. De acuerdo al teorema anterior esto es imposible.. Congruencia de polígonos Sí dos polígonos convexos de igual número de lados tienen respectivamente congruentes los lados y los ángulos, son congruentes y recíprocamente. Debemos demostrar que los pares de triángulos que las diagonales forman con los lados son congruentes. ABC = A'B'C' por tener congruentes dos lados y el ángulo comprendidos. ACD = A'C'D' por tener congruentes la diagonal un lado y el ángulo comprendido De igual forma podemos demostrar la congruencia de los restantes triángulos. El recíproco es consecuencia inmediata de la definición de congruencia de figuras. Cuadriláteros convexos Se llama cuadrilátero al polígono de cuatro lados. En el cuadrilátero llamamos lados opuestos a los que no tienen vértices comunes Los vértices no consecutivos se llaman vértices opuestos. 6 Prof. Miguel Ángel De Carlo

7 La suma de los cuatro ángulos interiores del cuadrilátero es igual a 4 rectos. Reemplazando por n=4 en la fórmula (5.15) obtenemos Suma áng. int. = 4 Rectos Cada diagonal divide al cuadrilátero en dos triángulos separados por la recta de dicha diagonal Las diagonales de un cuadrilátero convexo se cortan en un punto interior del mismo Como el cuadrilátero es convexo las dos diagonales son interiores a el (1). Por otra parte la diagonal AC está contenida en el rayo AC interior al ángulo A, pues es rayo interior de A y del ángulo A. Como la diagonal BD apoya sus extremos en los lados del ángulo, AC corta a BD en un punto E interior, a él, y como por (1) BD es interior al cuadrilátero, E también lo será. Recíproco Si dos segmentos AC y BD se cortan, el cuadrilátero ABCD, es convexo. Tomando la recta del lado AB todo los demás puntos pertenecen al mismo semiplano que el punto E, esto se condice con la definición de polígono convexo 5.5. Haciendo el mismo razonamiento para los restantes lados queda demostrado. Clasificación de los cuadriláteros Por la posición relativa de sus lados opuestos los cuadriláteros pueden clasificarse en: paralelogramos, trapecios y trapezoides. Paralelogramo Se llama paralelogramo a un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos dos a dos Trapecio Se llama trapecio a un cuadrilátero que tiene un solo par de lados opuestos paralelos Trapezoide Se llama trapezoide al cuadrilátero que no tiene lados paralelos. En el paralelogramo: 1.-Los ángulos opuestos son congruentes..-los lados opuestos son congruentes. 3.-Las diagonales se cortan en su punto medio. 7

8 1.-Los ángulos opuestos son congruentes..- Tanto A como C son suplementarios del B por ser conjugados entre paralelas, luego A y C son congruentes por ser suplementarios de un mismo ángulo.. Lo mismo para B y D..-Los lados opuestos son congruentes Si consideramos la diagonal AC, los dos triángulos formados son congruentes. ABC = AC ADC α = α' β = β ' común Alt. Internos entre // Alt. Internos entre // Se deduce de la congruencia de triángulos que: AB = CD y BC = AD 3.-Las diagonales se cortan en su punto medio. Para esta demostración consideramos las dos diagonales. AD = CB AOD = COB α = α' β = β ' Demostración Alt. Internos Alt. Internos anterior entre // entre // Luego será DO = OB y AO = OC. El punto de intersección de las diagonales se llama centro del paralelogramo. Si un cuadrilátero tiene sus ángulos opuestos, congruentes, es un paralelogramo. Si A = C y B = D. Sabemos que la suma de los ángulos interiores es igual a 4 Rectos. A+B+C+D = 4 Rectos A + B = 4 Rectos A + B = Rectos Siendo A y B conjugados suplementarios las rectas son paralelas. Lo mismo respecto al otro par de lados. Luego ABCD es un paralelogramo.. Recíproco. Si un cuadrilátero tiene los lados opuestos congruentes, es un paralelogramo. Trazamos la diagonal BD, quedan los triángulos ABD y BDC congruentes por el tercer criterio de congruencia de Triángulos. Dado que sus tres lados serán congruentes AB = CD Por hipótesis BC = AD Por hipótesis y BD Común. Deducimos que: α = β por se ángulos opuestos a lados congruentes. Pero como son alternos internos, las rectas sostén de AB y DC son paralelas. 8 Prof. Miguel Ángel De Carlo

9 Lo mismo podemos deducir para el otro par de lados. Luego ABCD es un paralelogramo. Recíproco. Si un cuadrilátero tiene las diagonales que se cortan mutuamente en su punto medio, es un paralelogramo. Los triángulos AOB y COD son congruentes por tener dos pares de lados AO = OC y BO = OD y los ángulos comprendidos respectivamente congruentes por opuestos por el vértice γ = γ. Tendremos entonces que los ángulos α y β son congruentes y por lo tanto las rectas sostén de los lados AB y CD son paralelas. Lo mismo demostrarnos para los otros dos lados, luego ABCD es un paralelogramo.- Base media del paralelogramo Se llama base media del paralelogramo al segmento determinado por los puntos medios de los lados opuestos El paralelogramo tiene dos bases medias Cada base media del paralelogramo es paralela e igual a los lados que no la determinan. AB Y CD son iguales y paralelas por ser lados opuestos de un paralelogramo (7.1.). MB = NC por equisubmúltiplos de segmentos iguales El MBCN es un paralelogramo, por tener, un par de lados iguales y paralelos (7.7.). Por consiguiente MN es igual y paralelo a BC por ser lados opuestos de ese paralelogramo y de la misma forma podemos demostrar que MN es igual y paralelo a AD Base media del triángulo Se llama base media del triángulo al segmento determinado por los puntos medios de dos de sus lados. El triángulo tiene tres bases medias. Base media del triángulo La base media de un triángulo es paralela a la base e igual a su mitad Sea la base media MN. Por el punto medio N del lado BC, trazamos una paralela al lado AC y por el vértice C del triángulo una paralela a la base AB del triángulo, ambas por ser paralelas a rectas secantes se cortan en el punto D. De esta forma nos quedan formados dos triángulos CND y ENB CN = NB CND = ENB CND ˆ = BNE ˆ DCN ˆ = EBN ˆ Por Por Por ser opuestos alternos N por int ernos punto el entre medio vértice paralelas BC Por segundo criterio de congruencia de triángulos, CD = EB (1) y DN = NE () 9

10 En el ACDE paralelogramo por construcción, MN base media pues M punto medio del AC y N punto medio del DE por (), por consiguiente MN es igual y paralela a CD y AE. Tenemos que AE = MN = CD y por (1) CD = EB Resulta MN = AE = EB = ½ AB. La paralela a un lado de un triángulo trazada por el punto medio de otro lado corta al tercero en su punto medio. Supongamos que N no es punto medio, existirá N punto medio del BC. MN será entonces base media del triángulo y por consiguiente paralela a la base AB según (7.1.) Absurdo pues por el punto M pasan dos paralelas a la base AB. Por consiguiente N es punto medio del lado BC. Base media del trapecio La base media del trapecio está determina por los puntos medios de los lados no paralelos. La base media del trapecio es paralela a las bases e igual a la semisuma de las mismas. Por el punto medio N, del lado BC trazamos una paralela al lado AD. La intersección de la paralela trazada por N y la prolongación del lado DC determinan el punto E La intersección de la paralela trazada por N y el lado AB determina el punto H. El punto C y el punto B están en distinto semiplano con respecto a HE. Por ese motivo el punto C es interior al segmento DE y el punto B es exterior al AH. Podemos decir que: DE = DC + CE (1) y AH = AB HB () Por otra parte: NC = NB NCE = NBH NCE ˆ = NBH ˆ CNE ˆ = HNB ˆ N Punto alternos opuestos medio de BC int ernos por el vértice Por criterio de congruencia de triángulos HN = NE (3) y CE = HB (4) En (3) deducimos que N es el punto medio del segmento HE. MN es por definición y construcción la base media del paralelogramo AHED, por lo tanto MN es paralela a los lados DE y AH y además congruentes con ellos MN = AH = DE. Si reemplazamos en las ecuaciones (1) y() nos queda: Sumando MN = DC + CE MN = AB - HB MN = DC + AB +CE - HB 10 Prof. Miguel Ángel De Carlo

11 Simplificando por (4) Dividiendo por MN = DC + AB MN = ½ (DC + AB) Cuadriláteros especiales Si un ángulo de un paralelogramo es recto, los otros también lo son. El ángulo opuesto es congruente, luego es recto. Cada uno de los adyacentes es suplementario, luego también es recto. Si un paralelogramo tiene dos lados consecutivos congruentes, tiene los cuatro congruentes. En el paralelogramo los lados opuesto son congruentes (7.4.). Clasificación Un paralelogramo que tiene: Los cuatro ángulos rectos se llama rectángulo. (equiángulo) Los cuatro lados iguales se llama rombo. (equilátero) Los cuatro ángulos rectos y lo cuatro lados iguales cuadrado. Las diagonales del rectángulo son congruentes Basta con demostrar que los triángulos rectángulos BAD y CDA son congruentes En el rombo cada diagonal es mediatriz de la otra y bisectriz de los ángulos cuyo vértices une AB = CB Por def. rombo AOB = BOC AO = OC Por diag. paralel. OB = OB Por común Por tercer criterio : Los ángulos AOB = BOC luego por ser adyacentes son rectos Por tal motivo las diagonales son perpendiculares. Además ABO = CBO Luego la diagonal BD es bisectriz del ángulo B. Como O es punto medio es bisectriz de AC. Del mismo modo se demuestra para los restantes ángulos.. Un trapecio que tiene los lados no paralelos y los ángulos de una misma base congruentes se llama trapecio isósceles. 11

12 . Un trapecio isósceles tiene las diagonales congruentes. Se demuestra considerando los triángulos DAB y CBA congruentes por tener: 1. Los lados no paralelos congruentes.. El lado AB común- 3. Y los ángulos A y B congruentes. Por el primer criterio AC = BD. Def Dos puntos A y B son simétricos con respecto a un tercero O cuando O es punto medio del AB. El punto O es el centro de simetría y la simetría se llama central El punto que coincide con el centro tiene por simétrico el mismo punto. Romboide Se llama romboide al trapezoide que tiene un par de vértices que equidistan de los otros dos.. La diagonal que une los vértices que equidistan de los otros dos, se llama diagonal principal. La diagonal principal es mediatriz de la otra diagonal y bisectriz de los ángulos cuyos vértices une. La demostración es igual a la del teorema equivalente para el rombo.. Se entiende por simetría S r, respecto de una recta r (simetría axial) a una aplicación biyectiva T de puntos y rectas del plano sobre si mismo tal que T(P) = P y T(r) = r y es compatible con las relaciones de incidencia y perpendicularidad, es decir, si se verifica que si: P I r T(P) I T(r) y si a b T(a) T(b). Dos puntos A y B se dicen simétricos con respecto a una recta cuando la recta es mediatriz del segmento AB La recta e es el eje de simetría. La simetría se llama axial.. E1 punto que está sobre el eje tiene por simétrico al mismo punto. T(O) = O 1 Prof. Miguel Ángel De Carlo

13 . Dos puntos A y A son simétricos con respecto a un punto O, si el punto O es el punto medio del segmento que ellos determinan.. De una figura se dice que tiene simetría, central o axial, cuando todo punto de ella tiene por simétrico otro punto de la figura. Ejercicio 3. Trazar la mediatriz de la base de un triángulo isósceles y demostrar que es su eje de simetría axial Dos figuras se dice que son simétricas cuando todo punto de una de las figuras tiene por simétrico un punto de la otra figura. Ejercicio 4. Dado el cuadrado cuadrado ABCD según r. y una recta r, construya su transformado A B C D del Ejercicio 5. Dado el triángulo y un punto O construir el simétrico de según O. Ejercicio 6. Construya los ejes de simetría del cuadrado. siendo el centro de simetría el circuncen- Ejercicio 7. Construya el simétrico del triángulo tro del triángulo. Ejercicio 8. Construir el simétrico del cuadrado siendo el centro de simetría el vértice D. Ejercicio 9 Dados los eje e 1 y e paralelos halle el simétrico del según (S 1 o S )( ). Ejercicio 10 Dados los eje e 1 y e que se cortan en el punto O halle el simétrico del S 1 o S ( ) por la composición 13