Hallar todos los puntos del plano π que se encuentran a una distancia d de una recta l contenida en el plano π. Figura 269

Transcripción

1 13.3 LUGARES GEOMÉTRICOS. EJERCICIOS RESUELTOS. Ilustración N 1 Hallar todos los puntos del plano π que se encuentran a una distancia d de una recta l contenida en el plano π. Sean: l π; AB tal que m(ab ) = d con AB l y en consecuencia d(a, l) = d Descripción de la construcción y justificación. Figura Por A se traza AW l, única por el V.P.E. 2. El teorema 37 en su corolario 1 nos permite concluir que todos los puntos de AW equidistan de l. 3. Pero por simetría se levanta BA l con BA AB y por procedimiento análogo se determina A W l Se concluye que las rectas AW y A W corresponden a la solución del problema planteado. Generalización al espacio. Si el problema se plantea en el espacio, el conjunto solución corresponde a la superficie cilíndrica con eje en la recta l y radio R = d. La justificación es inmediata.

2 1. Hallar todos los puntos del plano π, tales que su distancia a una recta l sea igual a su distancia a una circunferencia C(0, R), cuando la recta es secante a la circunferencia. Sean: C(0, R) π; l secante a C(0, R); m (AB ) = d, siendo d la distancia señalada. Descripción de la construcción y justificación. Figura Se trazan las rectas t y t que equidistan de l por el problema Teniendo en cuenta el teorema 62 en el cual se plantea la distancia desde un punto a una circunferencia, se traza la C(0, R + d). 3. Se designan por P 1, P 2, P 3, P 4 los intersectos de C(0, R + d) y las rectas t y t respectivamente. Se concluye que {P 1, P 2, P 3, P 4 } es la solución al problema planteado. Por qué? Ilustración N 2 Un segmento AB de longitud constante se desplaza de tal forma que sus extremos siempre están ubicados sobre dos rectas perpendiculares y fijas. Hallar el lugar geométrico descrito por el punto medio de AB. Sean: l 1, l 2 rectas dadas, l 1 l 2, AB dado, M: punto medio de AB.

3 Descripción de la construcción y justificación. Figura Se trazan inicialmente los segmentos A, 1 B 1 A, 2 B 2 A, 3 B 3 A 4 B 4 con las condiciones planteadas en el problema y OA, 5 OA, 6 OB, 5 OB 6 cumpliendo también como situaciones extremas, las condiciones planteadas. 2. Se determinan como M 1, M 2,.. M 8 los puntos medios de los segmentos trazados. 3. Se tienen en particular los triángulos rectángulos: OA 1 B 1, OA 2 B 2, OA 3 B 3, OA 4 B 4 y revisando las propiedades en las relaciones métricas del triangulo, el corolario del teorema 39, esto es del teorema de la paralela media, permite concluir que la mediana asociada a la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa. En consecuencia. Todos los puntos medios equidistan del punto O. Ilustración N 3 Se concluye que la circunferencia C (O, AB ) corresponde a la solución del problema 2 planteado. Hallar el lugar geométrico descrito por los puntos medios de todos los segmentos correspondientes a las cuerdas trazadas desde un punto fijo de una circunferencia.

4 Sean: C(0, R). P punto fijo de C(0, R), desde el cual se determinan todas las cuerdas de dicha circunferencia con un extremo en él. Figura 272 a Descripción de la construcción y justificación. Figura 272 b 1. En la C(0, R) de la figura 272 a, se trazan las cuerdas PA, 1 PA, 2. PA 6 y PB en particular cuerda diametral y se determinan los puntos medios de cada una, designados por M 1, M 2,.. M 6 y O respectivamente. 2. Una primera observación grafica permite conjeturar que los puntos medios ilustrados parecen pertenecer a una semicircunferencia de diámetro OP. 3. En la C(0, R) de la figura 272 b, buscando realizar la conjetura expuesta, se analizan en detalle dos de los siguientes triángulos; OPA 1 y OPA 5 que son isósceles y las condiciones señaladas permite concluir que OM 1 y OM 5 son medianas respectivas en estos triángulos. 4. El teorema 20 corresponde a las Propiedades de los segmentos notables en el triángulo isósceles, permite concluir que OM 1 y OM 5 son alturas de sus triángulos y como consecuencia se concluye así que OM 1 P y OM 5 P son rectángulos, con hipotenusa común en OP. 5. Lo propio ocurre con todos los triángulos con vértice en cualquiera de los puntos medios y lado común en. OP Se concluye en consecuencia por lo establecido en el corolario 2 del teorema 72, que el lugar descrito por los puntos medios, corresponde a la semicircunferencia de cuerda diametral. OP Por simetría se concluye lo mismo para todas las demás cuerdas

5 con extremos en la otra semicircunferencia y se concluye que la circunferencia de cuerda diametral OP corresponde a la solución al problema planteado. Ilustración N 4 Situación problema 1 El petróleo que se extrae en un pozo H, debe ser procesado en una refinaría P, que por condiciones técnicas debe ser construida a la orilla de un rio que corre en un trayecto en línea recta, como se ilustra en la figura siguiente. De la refinería, el petróleo debe ser transportado a una ciudad C. Se adelantan dos estudios sobre el lugar en el cual debe ser construida la refinería. El primero recomienda construirla en un punto equidistante del pozo y de la ciudad. El segundo recomienda hacerlo en un punto tal que la suma de las distancias desde la refinería al pozo y de la refinería a la ciudad sea la mínima posible. Figura 273 a Determinación de la solución para el primer estudio. 1. Se determina la mediatriz MK de HC en el plano de la figura. Por propiedad de la mediatriz de un segmento, todo punto de MK equidista de H y de C. 2. Se designa por P la intersección entre MK y la línea correspondiente a la rivera del rio. Se concluye que P corresponde a la solución propuesta en el estudio.

6 Figura 273 b Determinación de la solución para el segundo estudio. En este problema la solución no se presenta en forma sencilla como en el caso anterior y nos obliga a tener en cuenta además de las propiedades de la mediatriz un principio que primó en la demostración de los teoremas de desigualdades en el triángulo del Capítulo 7 y que el lector puede identificar nuevamente. Figura 273 c

7 1. Se designa por l, la recta correspondiente a la rivera del rio. 2. Desde H se baja la perpendicular única a l en el plano de la gráfica. Se designa por A el punto de intersección de ambas rectas. 3. En la semirrecta opuesta a AH se toma AH AH ; de esta forma l es mediatriz de HH. Es obvio que H y H están en semiplanos opuestos respecto a l. 4. Se traza H C que intersecta a l en un punto único P (Axioma de separación del plano). Se concluye que P es el punto correspondiente a la solución propuesta en el estudio. Justificación de lo afirmado. Se toma cualquier punto Q l, Q P y debe demostrarse que: HP + PC < HQ + QC. En efecto, HP + PC = H P + PC por qué? H P + PC = H C por propiedad de la medida entre segmentos. A su vez HQ + QC = H Q + QC Teorema de la desigualdad triangular en el H QC. Luego por transitividad se concluye que HP + PC < HQ + QC. Es fundamental en esta demostración destacar que cualquiera que sea el punto Q perteneciente a l, Q P, entonces, se garantiza la existencia del H QC y por tanto se puede aplicar el teorema citado. Ilustración N 5 Situación problema 2. Como continuación del problema anterior y en lo que puedo describir como una ilustración de una situación integradora, se plantea el siguiente problema. En la figura se indican las posiciones de un pozo de petróleo P y una ciudad C. Se requiere construir sobre la orilla del rio R 1 una refinería R y sobre la orilla del rio R 2 un puerto de embarque A con el objetivo de que un oleoducto que tendrá la siguiente trayectoria:

8 parte de P, llega a R, de R continua hasta A y de A se dirige a la cuidad C, cumpla que la trayectoria sobre la poligonal PRAC, sea la mínima posible. Determinación de la solución y justificación Figura 274 Como en el problema anterior, en el segundo estudio se resolvió una situación de suma mínima de distancias, aprovecharé este resultado para llegar a la solución del problema propuesto. 1. Determino un punto K sobre la rivera del Rio R 1 de tal forma que la suma de las distancias PK + KC sea mínima, justificado en el problema anterior. 2. Análogamente se procede determinando un punto T sobre la rivera del Rio R 2 de tal forma que la suma de las distancias de CT + TP sea mínima. 3. Se concluye que los puntos K y T corresponden a las localizaciones respectivas de la refinería R y el puerto de embarque A. En consecuencia la ruta de mínima distancia corresponde a PK + KT + TC.

9 Justificación de lo afirmado. Figura 275 Figura 276

10 Sean: R l 1, R R, A l 2, A A. Debe probarse que PR + RA + AC < PR + R A + A C Se deja la prueba al lector.