GEOMETRÍA BÁSICA DE LA ESCUELA SECUNDARIA.

Transcripción

1 GEOMETRÍA BÁSICA DE LA ESCUELA SECUNDARIA ANTONIO SÁNGARI, CRISTINA EGÜEZ Resumen. Esta cartilla consiste en una serie de ejercicios, de problemas y de breves notas teóricas que abordan situaciones de geometría elemental. En general, la secuencia de los ejercicios es una concatenación de demostraciones geométricas de propiedades conocidas. El énfasis en este trabajo, como así el motivo de este curso es la Geometría, que hace uso de un recurso principalmente educativo, como es el GeoGebra. Índice 1. Conceptos primeros de Geometría 1 2. Preliminares Ángulo exterior Triángulos isósceles Comparación de lados y ángulos Mediatrices y bisectrices 6 3. Ángulos Determinados por Paralelas Cortadas por una Transversal 8 1. Conceptos primeros de Geometría Congruencia, rectas, semirrectas, lados de una recta o de una semirrecta, circunferencia, relación de mayor y de menor en ángulos y segmentos, ángulos exteriores de un triángulo, etc. Y también los criterios de congruencia de triángulos Criterio 1 LAL Si dos triángulos tienen de a pares dos lados y el ángulo comprendido congruentes, entonces los triángulos son congruentes Criterio 2 ALA Si dos triángulos tienen de a pares dos ángulos y el lado adyacente congruentes, entonces los triángulos son congruentes Criterio 3 LLL Si dos triángulos tienen de a pares tres lados congruentes, entonces los triángulos son congruentes Date: Agosto de

2 GEOMETRÍA BÁSICA DE LA ESCUELA SECUNDARIA 2 Criterio 4 LLA Si dos triángulos tienen de a pares dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos, entonces los triángulos son congruentes 2.1. Ángulo exterior. 2. Preliminares Teorema 1. En cualquier triángulo, un ángulo exterior es mayor que cualquier interior no adyacente. Ejercicio 1. Realice la prueba del Teorema Abra una hoja de GeoGebra y nómbrela Prim_Teo_Ang_Ady.ggb 2. Trace el triángulo ABC. 3. Dibuje el punto medio D del segmento AB. 4. Trace la circunferencia d de centro D que pasa por C. 5. Trace la recta CD = e. 6. Marque la segunda intersección E de d y e. Acerque el mouse a la intersección de la recta e con la circunferencia d. ¾Cómo es CD con respecto a DE? 7. Oculte d. También puede ir a la vista gráca y hacer click sobre el icono de la izquierda de d. 8. Trace los triángulos ACD y BDE. Cámbieles el color (clic sobre objeto Propiedades Color). Use un criterio de congruencia para mostrar que estos son congruentes. 9. Trace la recta CB y marque un punto F cualquiera de tal modo que B esté entre C y F. 10. Muestre que ĈAD DBE y que ĈAD < DBF. 11. Verique el resultado anterior con la herramienta (marque los vértices en sentido horario).

3 GEOMETRÍA BÁSICA DE LA ESCUELA SECUNDARIA Sea G el punto medio del segmento CB. Muestre que ÂCG < DBF mediante un procedimiento análogo a partir del paso ¾Qué puede concluir? Corolario 1. En todo triángulo hay por lo menos dos ángulos agudos. Ejercicio 2. Para demostrar el corolario 1, reduzca el problema al absurdo: suponga que hay un triángulo con dos ángulos no agudos y use el teorema 1 para llegar a una contradicción Triángulos isósceles. Teorema 2. En un triángulo isósceles los ángulos de la base son congruentes. Ejercicio 3. Para demostrar el teorema 2, siga los pasos siguientes: 1. Abra una hoja de GeoGebra y nómbrela isosceles_angulos_base.ggb 2. Trace un segmento AB. Note que en la Vista Algebraica aparece un valor de a. 3. Cree un deslizador de tipo número, de nombre b en el intervalo 0 a 5 con incremento 0,1. 4. Dibuje una circunferencia c con centro A y radio b, con la herramienta Circunferencia (centro, radio). 5. Dibuje una circunferencia d con centro B y radio b, con la herramienta Circunferencia (centro, radio). 6. Arrastre el deslizador b con la herramienta Elije y Mueve hasta que las circunferencias se corten. 7. Llame C a una de las intersecciones de c y d, acercando el cursor a dicha intersección. 8. Marque el polígono ABC. ¾Qué característica tiene la gura encontrada? 9. Use el criterio LLL para mostrar que el triángulo CAB es congruente con el CBA. Muestre que los ángulos  y B son congruentes.

4 GEOMETRÍA BÁSICA DE LA ESCUELA SECUNDARIA Verique el resultado anterior usando (marque los vértices en sentido horario). Teorema 3. Si en un triángulo hay dos ángulos congruentes, es isósceles. Ejercicio 4. Abra una hoja de GeoGebra y nómbrela angulos_base_isosceles.ggb. 1. Trace un segmento AB. 2. Cree un deslizador de tipo ángulo, de nombre α en el intervalo 0 a 90 con incremento Haga click sobre el icono de la herramienta Ángulo dada su amplitud. 4. Haga click sobre A y luego sobre B y se desplegará un cuadro de diálogo. 5. En el cuadro de diálogo desplegado haga click sobre el extremo derecho, seleccione α y acepte. Se creará el ángulo β y el punto A de tal modo que ÂBA = α. Si β queda en lados distintos de AB, haga Crtl+Z y repita este paso seleccionando el sentido contrario. 6. Haga click sobre B y luego sobre A y se desplegará un cuadro de diálogo. 7. En el cuadro de diálogo desplegado haga click sobre el extremo derecho y seleccione α, marque sentido horario y acepte. Se creará el ángulo γ y el punto B de tal modo que BAB = α. 8. Trace las rectas b = AB y c = BA. 9. Marque la intersección de c y b y llámele C. 10. Marque el polígono ABC. ¾Qué característica tiene la gura encontrada? 11. Use el criterio ALA para mostrar que el triángulo CAB es congruente con el CBA. Muestre que los lados AC y BC son congruentes. Proposición 1. Una recta y una circunferencia no pueden tener más de dos puntos en común. Ejercicio 5. Pruebe la proposición Dibuje una recta a = AB 2. Marque un punto C en a, de modo que B esté entre A y C; y un punto D fuera de a.

5 GEOMETRÍA BÁSICA DE LA ESCUELA SECUNDARIA 5 3. Dibuje los segmentos DA, DB y DC. 4. Reduzca el problema al absurdo, es decir, suponga que D es el centro de una circunferencia que pasa por A, B y C. a) Muestre que DAB DCB y DBC DCB b) Use el Teorema 1 para llegar a una contradicción Comparación de lados y ángulos. Teorema 4. En un triángulo, a lados mayores se le oponen ángulos mayores y recíprocamente. Ejercicio 6. Para probar el teorema 4, siga los pasos siguientes 1. Dibuje un triángulo ABC de tal modo que el lado BC sea mayor que el lado AC. 2. Dibuje una circunferencia d con centro en C que pase por A. 3. Marque la intersección D de d con BC. 4. Oculte d 5. Trace el segmento e = AD. 6. Use el teorema 2 para demostrar que ĈAD = ĈDA. 7. Use el teorema 1 para demostrar que DBA < ĈAD y por consiguiente DBA < ĈAB. 8. Oculte D y e 9. Para probar que ángulos mayores se le oponen lados mayores, reduzca el problema al absurdo: Suponga que, aunque BAC > ÂBC, AC > BC a) Dibuje un punto E en b suponiendo que CE CB. b) Trace el segmento f = BE. c) Use nuevamente los teoremas 2 y 1 para mostrar que BAC < ÂBC. Llegando a una contradicción. Teorema 5. En un triángulo, el mayor de los lados es menor que la suma de los otros dos. Ejercicio 7. Para probar el Teorema 5 siga los pasos siguientes 1. Dibuje un triángulo ABC de tal modo que el lado BC sea mayor que el lado AC.

6 GEOMETRÍA BÁSICA DE LA ESCUELA SECUNDARIA 6 2. Dibuje una circunferencia d con centro en C que pase por A. 3. Marque la intersección D de d con a. 4. Oculte d 5. Trace el segmento e = AD. 6. Use el teorema 2 y el corolario 1 para demostrar que ĈDA y DAC son agudos. 7. Use el teorema4 para mostrar que BA es mayor que BD; y por lo tanto BC < BA + AC Mediatrices y bisectrices. Denición 1. La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento por su punto medio. Teorema 6. Los puntos de la mediatriz de un segmento s equidistan de los extremos de s. Si un punto equidista de los extremos de un segmento t está en la mediatriz de t Ejercicio 8. Pruebe la primera parte del teorema 6. Sea X un punto cualquiera de la mediatriz m de un segmento AB. Demostrar que AX BX 1. Trace el segmento a = AB. 2. Trace la mediatriz m de AB. 3. Sea M la intersección de a y m. 4. Use el criterio LAL para mostrar que AMX BMX. 5. Concluya que AX BX. Ejercicio 9. Pruebe la segunda parte del teorema 6. Sea un segmento AB y X un punto que cumple AX BX. Demostrar que X está en la mediatriz del segmento AB. 1. Trace el segmento AB. 2. Trace el punto medio M de AB.

7 GEOMETRÍA BÁSICA DE LA ESCUELA SECUNDARIA 7 3. Dibuje un punto cualquiera X, a ojo que cumpla que AX BX. 4. Trace los segmentos XA, XB y XM. 5. Use el criterio LLL para mostrar que AMX BMX. 6. Concluya que ÂMX BMX. (Y por lo tanto rectos). Denición 2. La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que tiene origen en el vértice y divide a éste en dos ángulos congruentes. Teorema 7. Los puntos de la bisectriz de un ángulo α equidistan de los lados de α. Si un punto equidista de los lados de un ángulo β está en la bisectriz de β Ejercicio 10. Pruebe la primera parte del teorema 7. Sea X un punto cualquiera de la bisectriz s de un ángulo ÂOB. Sean M y N los pies de las perpendiculares bajadas desde X a OA y OB respectivamente. Demostrar que XM XN 1. Trace las semirrectas no colineales a = OA y b = OB. 2. Trace la bisectriz s de ÂOB. 3. Dibuje X en s. 4. Trace la perpendicular d desde X a a. 5. Sea M la intersección de a y d. 6. Trace una circunferencia e de centro O que pase por M. 7. Marque el punto N de la intersección de b y e. 8. Trace el segmento N X. 9. Use el criterio LAL para mostrar que MOX NOX. 10. Concluya que MX NX, y que ÔNX es recto. Ejercicio 11. Pruebe la segunda parte del teorema 7. Sea un ángulo ÂOB y X un punto en el interior de ÂOB que cumple MX NX, donde M y N son los pies de las perpendiculares a OA y OB desde X respectivamente. Demostrar que X está en la bisectriz del segmento AB.

8 GEOMETRÍA BÁSICA DE LA ESCUELA SECUNDARIA 8 Figura Trace las semirrectas no colineales a = OA y b = OB. 2. Dibuje a ojo un punto cualquiera X, y puntos M y N tales que MX NX, donde M y N son los pies de las perpendiculares respectivamente. desde X a a y b 3. Trace los segmentos XN, XM y XO. 4. Use el criterio LLA para mostrar que XMO XNO. 5. Concluya que MOX NOX. 3. Ángulos Determinados por Paralelas Cortadas por una Transversal Denición 3. Sean dos rectas paralelas 1 a y a cortadas por una transversal t en los puntos A y A, respectivamente (Ver gura 3.1). Tomemos los puntos B y B en a y en a respectivamente, a un lado de t; y los puntos C y C en a y en a respectivamente, al otro lado de t. Tomemos el punto D tal que A está entre D y A y el punto D tal que A está entre D y A. Obtenemos ochos ángulos, cuatro en cada punto de intersección, nombrados de la manera siguiente: 1. BAA y Ĉ A A, B A A y ĈAA, son alternos internos entre paralelas cortadas por una transversal. Pintados en rojo en gura paralela y que no se cortan va a ser lo mismo

9 GEOMETRÍA BÁSICA DE LA ESCUELA SECUNDARIA 9 2. BAD y C A D, B A D y ĈAD, son alternos externos entre paralelas cortadas por una transversal. Pintados en azul en gura BAA y B A D, D A A y BAD, ĈAA y C A D y, Ĉ A A y ĈAD, son correspondientes entre paralelas cortadas por una transversal. Pintados en verde en gura ĈAA y Ĉ A A, BAA y ÂA B, son conjugados internos entre paralelas cortadas por una transversal. 5. ĈAD y C A D, DAB y D A B son conjugados externos entre paralelas cortadas por una transversal. Teorema 8. Los ángulos alternos internos entre paralelas cortadas por una transversal, son congruentes. Además, si dos rectas al ser cortadas por una transversal forman ángulos alternos internos iguales, son paralelas. Ejercicio 12. Para la demostración del teorema 8 resolvemos el siguiente ejercicio. 1. Abra una hoja de GeoGebra ang_alt_int.ggb 2. Para mostrar que los ángulos alternos internos entre paralelas son congruentes, reduzca el problema al absurdo a) Suponga que existen, a y a, paralelas cortadas por una transversal t, en los puntos A y A, tal que los ángulos alternos internos no son iguales. b) Note que si por A se trazara una recta a, tal que forme con a y t ángulos alternos internos iguales; tendríamos por A, exterior a a, dos rectas, a y a, paralelas a a. Lo que contradice que por un punto exterior a una recta hay una única paralela. 3. Para mostrar que si dos rectas al ser cortadas por una transversal forman ángulos alternos internos iguales, son paralelas siga los pasos siguientes a) Trace la recta a = OA y la recta b = OB. b) Trace las circunferencias c de centro O que pasa por A, y d de centro O que pasa por B. c) Marque la segunda intersección A de la recta a con c y la segunda intersección B de b con d. d) Muestre que los triángulos OAB y OA B son congruentes. e) Muestre que las rectas A B y AB son paralelas. Ejercicio 13. Para probar que la suma de los ángulos interiores de una triángulo suman dos rectos siga los pasos siguientes 1. Dibuje un triángulo ABC que sea notablemente escaleno.

10 GEOMETRÍA BÁSICA DE LA ESCUELA SECUNDARIA Por C trace la paralela a AB. 3. Use el teorema 8 para concluir este ejercicio. Denición 4. Un paralelogramo es un cuadrilátero con los lados opuestos paralelos. Ejercicio 14. Para mostrar que un paralelogramo tiene los lados opuestos congruentes y que las diagonales se bisecan siga los pasos siguientes: 1. Cree una hoja de GeoGebra paralelogramo.ggb 2. Dibuje un paralelogramo ABCD. 3. Trace las diagonales AC y BD. 4. Use los resultados de la sección 3, para mostrar que los triángulos ABD y BCD son congruentes. 5. Muestre que los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes 6. Dibuje el punto E intersección de las diagonales. 7. Muestre que los triángulos ABE y CDE son congruentes 8. Muestre que las diagonales se bisecan. Ejercicio 15. Demuestre que si en un cuadrilátero sus diagonales se bisecan, es un paralelogramo. (Use el teorema 8).