suur Dos teoremas se llaman recíprocos, cuando la tesis de uno es la hipótesis del otro y viceversa.
|
|
- Luz Aranda Maldonado
- hace 5 años
- Vistas:
Transcripción
1 INTRODUCCIÓN En la teoría que hemos de elaborar, los conceptos primitivos son: espacio, plano, recta y punto. Los axiomas de nuestra teoría expresan las relaciones que ligan a los conceptos primitivos. Para que la teoría esté bien fundada, los axiomas tomados, deben cumplir: a) Deben ser consistenetes: ninguno de los axiomas debe estar en contradicción con los demás o con sus consecuencias. b) Deben ser independientes: ninguno de los axiomas o parte de ellos debe poder demostrarse como consecuencia de los demás axiomas Qué sucederá con los teoremas? El enunciado de todo teorema consta de una premisa llamada hipótesis, que enuncia lo que tomamos como cierto y de una conclusión, llamada tesis, que expresa lo que se demuestra que se verifica. Ejemplo: suur Si C equidista de A y B (hipótesis), C está en la mediatriz de AB (tesis) C equidista de A y B suur H ) suur suur T ) C mz AB CA = CB Dos teoremas se llaman recíprocos, cuando la tesis de uno es la hipótesis del otro y viceversa. Ejemplo: # # ABC triángulo isósceles ABC triángulo isoángulo # # ( ) H ) ABC triángulo isósceles T ) ABC triángulo isoángulo # # ( ) H ) ABC triángulo isoángulo T ) ABC triángulo isósceles Nota. Se dice que una condición que vincula dos postulados es necesaria y suficiente cuando se cumplen los teoremas directo y recíproco que los relaciona. Decimos Es condición necesaria y suficiente que un triángulo sea isósceles para que sea isoángulo. Por lo tanto para demostrar una condición necesaria y suficiente se debe demostrar un teorema y su recíproco
2 La certeza de un teorema no, necesariamente, implica la certeza del recíproco. Ejemplo: Si dos triángulos son iguales sus ángulos son respectivamente iguales. # # H ) ABC = DEF T ) ˆ A = Cˆ ˆ B = Eˆ Cˆ = F ˆ El recíproco sería: si dos triángulos tienen respectivamente iguales sus ángulos, son congruentes (FALSO) A continuación comenzaremos a desarrollar nuestra teoría: AXIOMAS DE EXISTENCIA Y ENLACE AXIOMA 1 AXIOMA 2 AXIOMA 3 AXIOMA 4 AXIOMA 5 Reconocemos la existencia de infinitos entes llamados Puntos, cuyo conjunto llamaremos Espacio. El conjunto de puntos, llamado espacio, admite infinitos subconjuntos de infinitos puntos llamados Planos y, cada uno de éstos, admite infinitos subconjuntos, también de infinitos puntos, llamados Rectas. Dos puntos distintos determinan una única recta a la cual pertenecen. Tres puntos distintos no alineados (que no pertenecen a una misma recta), determinan un único plano al cual pertenecen. Una recta que tiene dos puntos distintos pertenecientes a un plano, está contenida en ese plano. Determinación del plano Teorema 01 Una recta y un punto que no le pertenece, determinan un plano al cual pertenecen. Es único el plano determinado? Teorema 02 Dos rectas que se cortan determinan un plano en el cual están incluidas.
3 Ejercicios 1) Pueden estar alineados cuatro puntos? Tienen que estar alineados dos puntos? Tienen que ser coplanares cuatro puntos? Pueden ser coplanares n puntos? Justificar las respuestas. 2) Informar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) Si tres puntos están alineados, entonces son coplanares. b) Si tres puntos son coplanares, entonces están alineados. 3) El dibujo representa una figura tridimensional, informar si los puntos indicados a continuación: a) están alineados, b) no están alineados, c) no son coplanares. {A, B, C, D} {X, B, C} {A, D, E} {A, B, C, F} {F, E, D} {D, C, E, B} {A, B, X, E} 4) Se consideran los puntos distintos P y Q y las rectas r y t, P r, Q r, P t, Q t. Qué puede afirmar de las rectas r y t?. Justificar la conclusión y escribir el ejercicio como un teorema. 5) Escribir la tesis y la demostración del teorema siguiente: r t H) P r,q r T) P t,q t 6) Indicar cuántas rectas determinan los puntos A, B, C y D sabiendo que: a) A, B y C están alineados. b) cualesquiera tres que tome, no están alineados c) no son coplanares. 7) Los puntos R y T pertenecen al plano α, qué puede concluir acerca de la recta RT? Justifique su respuesta.
4 Teorema 03 Si dos rectas distintas tienen un punto en común, este es el único punto que tienen en común. Posiciones relativas de dos rectas Posiciones relativas de dos rectas coplanares: SECANTES NO SECANTES (PARALELAS) Teorema 04 Existen rectas no coplanares. Posiciones relativas de dos rectas en el espacio: SECANTES COPLANARES NO SECANTES (PARALELAS) NO COPLANARES (se cruzan) Teorema 05 Si dos planos distintos tienen en común dos puntos distintos, entonces, la intersección de los planos es la recta determinada por esos puntos.
5 Ejercicios. 8) Se considera una pirámide ABCDE de base el cuadrado ABCD. a) Nombrar los planos que determinan sus vértices y las intersecciones de dichos planos tomados de a dos. b) Hallar: ADE [CDE DBE]= DEB [ACE ABC]= ADE [BCE ABE]= c) Indicar pares de rectas no coplanares y explicar por qué lo son. 9) La recta i interseca al plano α en el punto P, la recta t está incluida en α y el punto P no pertenece a la recta t. Es posible que t e i sean secantes? Explicar. 10) ABCD es un tetraedro. Se consideran los puntos I y J tal que I es interior al segmento AC y J es interior al segmento BD. a) Las rectas AB y CD son secantes?. b) Demostrar que los puntos I y J son distintos. c) Demostrar que las rectas IJ y AB no son coplanares d) Demostrar que las rectas IJ y CD no son coplanares. Definición Conjunto linealmente ordenado. Un conjunto de elementos p, q, r, etc., está linealmente ordenado cuando es posible relacionarlos entre sí mediante el verbo preceder de tal modo que: I. p precede a q, o q precede a r. II. Si p precede a q y q precede a r, entonces p precede a r. Definición Conjunto abierto. Un conjunto es abierto cuando dado un elemento cualquiera del conjunto, existen otros dos elementos: uno que le precede y otro que le sigue. Definición Conjunto denso. Un conjunto es denso cuando dados p y q, elementos cualesquiera del conjunto, existe un elemento que sigue a p y que precede a q.
6 AXIOMA DE ORDEN AXIOMA 6 La recta es un conjunto de puntos linealmente ordenado, abierto y denso. Definición Semirrecta. Dada una recta r y un punto O perteneciente a ella, llamamos semirrecta de origen O a los subconjuntos formados por O y todos los puntos que le siguen o le preceden. Notación: OP Definición Segmento de recta. Dados los puntos A y B pertenecientes a una recta r, llamamos segmento de extremos A y B al conjunto formado por dichos puntos y todos los puntos que siguen a A y que preceden a B. Notación: AB Definición Figura. Llamamos figura a cualquier conjunto de puntos. Definición Figura convexa. Una figura es convexa si para cualquier par de puntos de ella, el segmento que determinan está incluido en dicha figura.
7 AXIOMA DE PARTICIÓN DEL PLANO AXIOMA 7 Toda recta r de un plano α establece una clasificación de los puntos de ese plano, en tres subconjuntos α 1, α 2 y r tales que cumplen: {α 1, α 2, r} es una partición del plano (cada subconjunto es no vacío, son subconjuntos disjuntos dos a dos y la unión de los tres subconjuntos es el plano α). α 1 y α 2 son figuras convexas. Un punto de α 1 y un punto de α 2 determinan un segmento que tiene un punto perteneciente a r. Observación: α 1 y α 2 reciben el nombre de semiplanos abiertos de borde r. Definición Semiplano. Dada una recta r, incluida en un plano α, llamamos semiplano de borde r a los subconjuntos formados por la recta r y cada una de las regiones en que divide al plano la recta r. Observaciones: Dos semiplanos contenidos en un mismo plano y que tienen el mismo borde, reciben el nombre de semiplanos opuestos. La unión de semiplanos opuestos es el plano común que los contiene. La intersección de semiplanos opuestos es el borde común a los dos semiplanos. Ejercicio: 11) Enunciar el Axioma de división del espacio, la definición de Semiespacio y las observaciones correspondientes.
CÓMO SE CONSTRUYE LA GEOMETRÍA MODERNA?
CÓMO SE CONSTRUYE LA GEOMETRÍA MODERNA? Comenzó siendo un conjunto de reglas y conocimientos obtenidos por la experiencia, usados por los constructores y medidores de terrenos. Luego se organiza en forma
Más detallesINSTITUTO DE FORMACIÓN DOCENTE DE CANELONES MATEMÁTICA 1 GEOMETRÍA EUCLIDIANA
GEOMETRÍA EUCLIDIANA Axiomas de Pertenencia 1) Existe un conjunto infinito llamado espacio, cuyos elementos se llaman puntos. 2) En el espacio existen subconjuntos estrictos llamados planos, cada uno de
Más detallesINSTITUTO DE FORMACIÓN DOCENTE DE CANELONES MATEMÁTICA 1 GEOMETRÍA EUCLIDIANA
GEOMETRÍA EUCLIDIANA Introducción Etimológicamente, Geometría significa medida de la tierra haciendo referencia a su origen práctico, relacionado con las actividades de reconstrucción de los límites de
Más detallesPágina 1 de 15. Geometría es la ciencia que tiene por objeto el
UNIDAD 1. ELEMENTOS BÁSICOS INTRODUCCIÓN Geometría es la ciencia que tiene por objeto el estudio de la extensión, considerada bajo sus tres formas: línea, superficie y volumen. Para su estudio se admite
Más detalles1 NOCIONES BÁSICAS SOBRE CONJUNTOS. SÍMBOLOS.
UNIDAD 1.- CONCEPTOS REQUERIDOS CONJUNTOS. AXIOMAS DE PERTENENCIA, PARALELISMO, ORDEN Y PARTICIÓN. 1 NOCIONES BÁSICAS SOBRE CONJUNTOS. SÍMBOLOS. 1.1 Determinaciones de un conjunto. Un conjunto queda determinado
Más detallesGEOMETRÍA es la ciencia que tiene por objeto el estudio de la extensión, considerada bajo sus tres formas: línea, superficie y volumen.
GEOMETRÍA es la ciencia que tiene por objeto el estudio de la extensión, considerada bajo sus tres formas: línea, superficie y volumen. AXIOMA DE EXISTENCIA DEL ESPACIO: Existe un conjunto llamado el espacio
Más detallesFigura 9. Convención: Si B está entre el punto A y el punto C lo notamos A-B-C ó C-B-A.
2.3 GRUPO II. AXIOMAS DE ORDEN. Intuitivamente en Geometría, el orden establece la forma como se relacionan tres puntos distintos pertenecientes a una misma recta, esta relación es la que hemos denominado
Más detallesRESUMEN DE GEOMETRIA EUCLIDIANA. Profesor: Manuel J. Salazar Jiménez. Relaciones no definidas: pertenecer a, estar entre, congruente a, equidistar
RESUMEN DE GEOMETRIA EUCLIDIANA Profesor: Manuel J. Salazar Jiménez Nociones no definidas o nociones primitivas: Punto, recta, plano, espacio, distancia. Relaciones no definidas: pertenecer a, estar entre,
Más detallesMaterial educativo. Uso no comercial 2.4 EJERCICIOS PROPUESTOS
2.4 EJERCICIOS PROPUESTOS Temas: La geometría Euclidiana como una teoría deductiva. Axiomas de Incidencia. Axiomas de Orden. 1. En la geometría Euclidiana como una teoría deductiva, indique para cada uno
Más detallesINSTITUTO DE FORMACIÓN DOCENTE DE CANELONES - MATEMÁTICA I - AÑO 2012 TRIÁNGULOS
TRIÁNGULOS Definición: Dados tres puntos no alineados, A, B y C, se llama triángulo a la intersección de los semiplanos que tienen como borde la recta determinada por dos de estos puntos y contiene al
Más detallesINSTITUTO DE PROFESORES ARTIGAS
INSTITUTO DE PROFESORES ARTIGAS ESPECIALIDAD MATEMÁTICA GEOMETRÍA UNIDAD 3 FICHA 2: PARALELISMO 1 Posiciones relativas de rectas. 2 Axioma de Euclides. 3 Paralelismo de recta y plano. 4 Paralelismo de
Más detallesTEMA 1: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO
MATEMÁTICA 2do año A y B Marzo, 2012 TEMA 1: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Ejercicio 1: Indica si cada una de las siguientes proposiciones es verdadera o falsa: Por un punto pasa una recta y una sola Dos puntos
Más detallesINSTITUTO DE PROFESORES ARTIGAS
INSTITUTO DE PROFESORES ARTIGAS ESPECIALIDAD MATEMÁTICA GEOMETRÍA UNIDAD 3 FICHA 1: PERTENENCIA, ORDEN Y PARTICIÓN 1 Conceptos primitivos. 2 Relaciones de pertenencia. 3 Orden en las rectas. 4 Partición
Más detallesx-z = 0 x+y+2 = [2012] [SEP-B] Halla el punto simétrico del P(2,1,-5) respecto de la recta r definida por
1. [01] [SEP-B] Halla el punto simétrico del P(,1,-5) respecto de la recta r definida por x-z = 0 x+y+ = 0.. [01] [SEP-A] Sean los puntos A(0,0,1), B(1,0,-1), C(0,1,-) y D(1,,0). a) Halla la ecuación del
Más detallesINSTITUTO DE FORMACIÓN DOCENTE DE CANELONES - MATEMÁTICA I TRIÁNGULOS
TRIÁNGULOS Definición: Dados tres puntos no alineados, A, B y C, se llama triángulo a la intersección de los semiplanos que tienen como borde la recta determinada por dos de estos puntos y contiene al
Más detallesEJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE GEOMETRIA
EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE GEOMETRIA 2003 (4) Ejercicio 1. Considera los vectores u = (1,1,1), v = (2,2,a) y w = (2,0,0), (a) [1'25 puntos] Halla los valores de a para que los vectores u, v y w sean
Más detallesx-z = 0 x+y+2 = [2012] [EXT-B] Halla el punto simétrico del P(2,1,-5) respecto de la recta r definida por
x = 1+t 1. [014] [EXT-A] Considera los puntos A(1,1,) y B(1,-1,-) y la recta dada por y = t. z = 1 a) Halla la ecuación general del plano que que contiene a r y es paralelo a la recta que pasa por A y
Más detallesGEOMETRÍA DEL ESPACIO
GEOMETRÍA DEL ESPACIO DEFINICIONES PROPIEDADES ( ENUNCIADOS ) Prof. Etda Rodríguez Octubre 2005 Montevideo Uruguay NOTA AL LECTOR: El siguiente trabajo es simplemente la compilación de enunciados de algunas
Más detallesEl ejercicio de la demostración en matemáticas
El ejercicio de la demostración en matemáticas Demostración directa En el tipo de demostración conocido como demostración directa (hacia adelante) se trata de demostrar que A B partiendo de A y deduciendo
Más detallesRESPUESTAS REPARTIDO 3 PARA ESCRITO TEORICO Diego Danieli 2IA UTU BUCEO AXIOMAS - TEOREMAS CÓMO SE CONSTRUYE LA GEOMETRIA MODERNA?
AXIOMAS - TEOREMAS CÓMO SE CONSTRUYE LA GEOMETRIA MODERNA? FUNDAMENTOS 1 Comenzó siendo un conjunto de reglas y conocimientos obtenidos por la experiencia, usados por los constructores y medidores de terrenos.
Más detallesA I - 1 Un plano Π es un conjunto infinito cuyos elementos son los puntos.
1 Unidad 1 Conceptos primitivos: punto, recta y plano Tipos de axiomas: I. De incidencia o enlace (3) II. De orden (3) III. De congruencia (4) IV. De paralelismo (1) V. De continuidad (2) Axiomas de tipo
Más detallesAB CD. (Ver Figura 30). Figura 30
3.2 GRUPO III. AXIOMAS DE CONGRUENCIA. III.1 Axioma de la construcción del segmento. Sea AB un segmento cualquiera y CE una semirrecta de origen C. Entonces existe en CE un único punto D tal que Figura
Más detallesMaterial educativo. Uso no comercial CAPÍTULO 2. AXIOMAS DE INCIDENCIA Y AXIOMAS DE ORDEN. Introducción. Objetivos Específicos.
CAPÍTULO 2. AXIOMAS DE INCIDENCIA Y AXIOMAS DE ORDEN Introducción Presento los elementos geométricos que enmarcan específicamente la Geometría Euclidiana en su desarrollo como una teoría Axiomática deductiva.
Más detallesIE FINCA LA MESA TALLERR DE COMPETENCIAS BÁSICAS. Nombre: Grado: Costrucciones
IE FINCA LA MESA TALLERR DE COMPETENCIAS BÁSICAS Nombre: Grado: 9 5 1. Costrucciones 2. las rectas y puntos notables de un triángulo Sabemos que los polígonos son figuras cerradas planas, de lados rectos,
Más detallesSemejanza. Razones. Teorema de Thales. Proporciones. a = b. c d
Semejanza Razones Razones y proporciones Teorema de Thales Triángulos semejantes Teoremas de semejanza Teoremas de Euclides Perímetro y Área a) Razón. Es el cuociente entre dos números (positivos). b)
Más detallesNOCIÓN DE PUNTO, RECTA Y PLANO
NOCIÓN DE PUNTO, RECT Y PLNO Si les das una imagen de una figura o un objeto, como un mapa con las ciudades y los caminos marcados en él, Cómo podrías explicar la imagen geométricamente? Después de completar
Más detallesGEOMETRIA EUCLIDIANA CONCEPTOS BASICOS
Conceptos básicos 1 GEOMETRIA EUCLIDIANA CONCEPTOS BASICOS EL METODO DEDUCTIVO: El método deductivo es el utilizado en la ciencia y principalmente en la geometría. Este método consiste en conectar un conjunto
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA
1) Sean las rectas EJERCICIOS DE GEOMETRÍA x 2y 6z 1 r : x y 0 x y 1 s: z 2 a a) Determinar la posición relativa de r y s según los valores de a. b) Calcular la distancia entre las rectas r y s cuando
Más detallesGeometría Euclidiana en la formación de profesores. 4. Triángulos
4. Triángulos 4. Triángulos 4. Triángulos Wagensberg, J. (2007). El gozo intelectual. Teoría y práctica sobre la inteligibilidad y la belleza (pp. 252-258). Barcelona: Tusquets. CÓMO PODEMOS CLASIFICAR
Más detalles( 2) 1. Simplificar las siguientes expresiones usando propiedades de la potenciación: a) f) 5 0 b) 2 6 : 2 3 g) 2 4.
DO AÑO. 014 TRABAJO PRÁCTICO 0 1. Simplificar las siguientes expresiones usando propiedades de la potenciación: a) 5.. f) 5 0 b) 6 : g) 4. - + c) 5-5. 5 h) 5 d) ( 5 ) 5 i) e) Esta Guía 0 contiene los prerrequisitos
Más detallesUn ángulo mide y otro Cuánto mide la suma de estos ángulos?
Los Ángulos Qué es un ángulo y su notación? Son dos rayos cualesquiera que determinan dos regiones del plano. Su notación: Para nombrar los ángulos, utilizaremos los símbolos
Más detalles. Halla los valores de α en cada uno de los siguientes casos: a) (1 punto) u r, v
EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA (04-M;Jun-A-4) Considera la recta r que pasa por los puntos A (,0, ) y (,,0 ) a) ( punto) Halla la ecuación de la recta s paralela a r que pasa por C (,,) b) (5 puntos)
Más detallesREVISIÓN DE ALGUNOS CONCEPTOS DE GEOMETRÍA MÉTRICA
MAT B Repartido Nº I REVISIÓN DE ALGUNOS CONCEPTOS DE GEOMETRÍA MÉTRICA Conceptos primitivos Partiremos de un conjunto que llamaremos espacio, E, a cuyos elementos llamamos puntos, (a los cuales escribiremos
Más detallesEJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA
EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA (05-M4;Jun-B-4) Sea el plano π x + y z + 8 a) (5 puntos) Calcula el punto, P simétrico del punto (,,5 ) b) ( punto) Calcula la recta r, simétrica de la recta plano π P
Más detallesTRIÁNGULOS: RELACIONES DE DESIGUALDAD ENTRE SEGMENTOS Y ÁNGULOS
TRIÁNGULOS: RELACIONES DE DESIGUALDAD ENTRE SEGMENTOS Y ÁNGULOS Introducción.- Anteriormente, a partir de la congruencia de triángulos, hemos estudiado las condiciones que han de verificarse para que dos
Más detallesGeometría. 2 (el " " representa el producto vectorial)? En caso afirmativo, justifíquese. En caso contrario, póngase un ejemplo que lo confirme.
Geometría 1 (Junio-96 Dados los vectores a,b y c tales que a, b 1 y c 4 y a b c, calcular la siguiente suma de productos escalares: a b b c a c (Sol: -1 (Junio-96 Señalar si las siguientes afirmaciones
Más detallesProblema 1. Cuántos triángulos rectángulos se pueden formar que tengan sus vértices en vértices de una caja?
Nota4: Soluciones problemas propuestos Problema 1. Cuántos triángulos rectángulos se pueden formar que tengan sus vértices en vértices de una caja? Solución: Consideremos primero todos aquellos triángulos
Más detallesUADER - PROFESORADO Y LICENCIATURA DE MATEMATICA GEOMETRIA I UNIDAD Nº 2 ENTES GEOMETRICOS FUNDAMENTALES
UNIDAD Nº 2 ENTES GEOMETRICOS FUNDAMENTALES Los entes geométricos fundamentales son el punto. La recta y el plano. POSTULADO I: existen infinitos puntos, infinitas rectas e infinitos planos. POSTULADO
Más detallesSea P el conjunto de todos los poliedros convexos del espacio, esto es P X / X es
2. LA FUNCIÓN VOLUMEN Definición 9. Volumen de un poliedro convexo Sea P el conjunto de todos los poliedros convexos del espacio, esto es P X / X es un poliedro convexo, X E. Definimos una función que
Más detallesGeometría Básica 49 UNIVERSIDAD DE LOS ANDES - TÁCHIRA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS CARRERA EDUCACIÓN BÁSICA INTEGRAL
Geometría Básica 49 UNIVERSIDAD DE LOS ANDES - TÁCHIRA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS CARRERA EDUCACIÓN BÁSICA INTEGRAL GEOMETRÍA 10 Prof. Alfonso Sánchez ENCUENTRO 6 TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS A los filósofos
Más detallesGEOMETRÍA EUCLIDIANA CONCEPTOS BÁSICOS
Conceptos básicos 1 GEOMETRÍA EUCLIDIANA CONCEPTOS BÁSICOS EL MÉTODO DEDUCTIVO: El método deductivo es el utilizado en la ciencia y principalmente en la geometría. Este método consiste en conectar un conjunto
Más detallesEspacio Euclídeo. a b = a b. a b = b a c)
.- Un hiperplano de R es: a) Una recta. b) Un plano. c) {0}..- Sean a y b dos vectores de R, si a es ortogonal a b, entonces: a) a b = 0 b) a b = b a c) a b = a b.- Sea F una recta vectorial de R y F un
Más detallesDe lo expuesto se desprende que la geometría es una rama de la matemática que estudia idealizaciones
Capítulo V LA FIGURA GEOMÉTRICA Dado que la geometría es la rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio, y en su forma más elemental, se preocupa de problemas métricos como el cálculo
Más detallesCAPÍTULO 1. Rectas y ángulos
CÍTU Elementos básicos de la Geometría Rectas y ángulos 1.1 En Geometría hay ideas básicas que todos entendemos pero que no definimos. Éstas son las ideas de unto, Recta, lano y Espacio. Señalamos un punto
Más detallesPráctico de 5º Científico, Matemática "B". Liceo Nº 3 Nocturno. Año Profesora María del Rosario Quintans.
1 1) Dibuje un triángulo cualquiera ABC. Se desea construir un triángulo A'B'C' igual al ABC, investigue la mínima cantidad de condiciones que deben cumplirse entre los elementos de los dos triángulos
Más detallesMÓDULO Nº 3. Nivelación. Matemática Módulo Nº3. Contenidos. Polígonos Circunferencia y Círculo Volúmenes
MÓDULO Nº 3 Nivelación Matemática 2005 Módulo Nº3 Contenidos Polígonos Circunferencia y Círculo Volúmenes Nivelación Polígonos Polígono Regular: Son aquellos polígonos que tienen todos sus lados y ángulos
Más detallesTema 1: La geometría euclídea
Tema 1: La geometría euclídea Geometrías no euclídeas Curso 2009-2010 1. Axiomas de Euclides 1. Euclides de Alejandría vivió hacia el año 300 A.C. 2. Definiciones intuitivas de punto, recta, plano, ángulo,
Más detallesGEOMETRÍA. Septiembre 94. Determinar la ecuación del plano que pasa por el punto M (1, 0, [1,5 puntos]
Matemáticas II Pruebas de Acceso a la Universidad GEOMETRÍA Junio 94 1 Sin resolver el sistema, determina si la recta x y + 1 = 0 es exterior, secante ó tangente a la circunferencia (x 1) (y ) 1 Razónalo
Más detallesIlustración N 1 En cada una de las dos figuras siguientes determinar el valor de X, en función de los términos dados:
6.12 EJERCICIOS RESUELTOS Ilustración N 1 En cada una de las dos figuras siguientes determinar el valor de X, en función de los términos dados: a) Uno de los procedimientos a seguir es: 1. Determinemos
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA PARA LA CLASE. A (x 2 ;y 2 ) y 2. d(a,b) y 2 y 1. x 1 x 2. y 1. B (x 1 ;y 1 ) x 2. Geometría Analítica DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
GEOMETRÍA ANALÍTICA La Geometría Analítica hace uso del Álgebra y la Geometría plana. Con ella expresamos y resolvemos fácilmente problemas geométricos de forma algebraica, siendo los sistemas de coordenadas
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA. 1. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto ( 2, 2) tiene como vector director el vector
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto (, ) tiene como vector director el vector v i j A y x a + vt La ecuación paramétrica de una recta es
Más detalles2. De acuerdo a lo determinado en el numeral anterior, alguno de los polígonos es simple?. Justifique su respuesta.
8.16 EJERCICIOS PROPUESTOS Temas: Poligonal. Polígonos. Cuadriláteros convexos. 1. En las figuras siguientes B está entre A y C; K, está entre S y M; D, H, V, T son colineales. O está entre P y Q y O está
Más detallesTEOREMAS, POSTULADOS Y COROLARIOS DE GEOMETRIA
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL FRANCISCO MORAZÁN CENTRO UNIVERSITARIO REGIONAL DE LA CEIBA COMITÉ NACIONAL DE OLIMPIADAS MATEMÁTICAS DE HONDURAS ACADEMIA TALENTOS MATEMÁTICOS DE ATLÁNTIDA TEOREMAS, POSTULADOS
Más detallesTIPS SOBRE ANGULOS. Dos puntos diferentes determinan una y solo una recta que pasa por ellos.
TIPS SOBRE ANGULOS Simbólicamente vamos a representar la gráfica de la recta así: y se puede nombrar por dos de sus puntos sobre ella, por ejemplo: recta AB, o con el símbolo encima así ó una letra minúscula;
Más detallesMódulo 17. Capítulo 4: Cuadriláteros. 1. En las siguientes figuras (1 al 9) determine el valor de cada variable. Figura 1 Figura 2.
Módulo 17 1. En las siguientes figuras (1 al 9) determine el valor de cada variable. Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 Figura 6 210 Capítulo 4: Cuadriláteros Figura 7 Figura 8 Figura 9 2. En
Más detallesINSTITUTO RAÚL SCALABRINI ORTIZ CUADRILATERO
CUADRILATERO INTRODUCCION Son polígonos de 4 lados. La suma de los ángulos interiores es igual a 360º y la suma de los ángulos exteriores es igual a 360º. Vértices : A, B, C, D Lados : a, b, c, d Ángulos
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2008 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 008 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio
Más detallesEL ESPACIO AFÍN EUCLIDEO
EL ESPACIO AFÍN EUCLIDEO DEFINICIÓN: Dado el Espacio Afín donde es el espacio ordinario, es el espacio de los vectores libres y f es la aplicación que a cada par de puntos (A,B) asocia el vector libre.
Más detallesDefinición: un lugar geométrico plano es el conjunto de todos los puntos del plano que cumplen una determinada propiedad.
Capítulo II. Lugar geométrico. Definición: un lugar geométrico plano es el conjunto de todos los puntos del plano que cumplen una determinada propiedad. Ejemplo: la mediatriz de un segmento es el conjunto
Más detallesGuía de Matemática Segundo Medio
Guía de Matemática Segundo Medio Aprendizaje Esperado:. Analizan la ecuación de la recta; establecen la dependencia entre las variables y la expresan gráfica y algebraicamente.. Identifican e interpretan
Más detallesGeometría 3. Ejercicio 2. Dados los puntos = ( 1, 0, 0 ),
Geometría 3 Ejercicio. Sean los puntos P (,, ), Q (,, 3) R (,3,). ) Calcula el punto P que es la proección del punto P sobre la recta que determinan Q R ) Halla la ecuación del lugar geométrico de los
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA 1. Se consideran las rectas r x 2 = 0 x 2z = 1, s y + 3 = 0 y + z = 3 a) Estudiar la posición relativa de r y s. b) Hallar la mínima distancia entre ambas. Se pide: Sol: Se cruzan
Más detallesUnidad 8. Geometría analítica. BACHILLERATO Matemáticas I
Unidad 8. Geometría analítica BACHILLERATO Matemáticas I Determina si los puntos A(, ), B (, ) y C (, ) están alineados. AB (, ) (, ) (, ) BC (, ) (, ) ( 8, ) Las coordenadas de AB y BC son proporcionales,
Más detallesImagina que B sea el punto medio entre A y C:, son segmentos diferentes; pero miden lo mismo: AB = BC. son congruentes:
1.1. Enunciados y razonamientos Un enunciado es un conjunto de palabras y símbolos que de manera conjunta forman una afirmación que se puede clasificar como verdadera o falsa. Enunciado condicional o implicación.
Más detallesNociones básicas. Proposiciones fundamentales. Posiciones relativas de una recta y una circunferencia coplanarias.
9.9 EJERCICIOS PROPUESTOS Temas: Nociones básicas. Proposiciones fundamentales. Posiciones relativas de una recta y una circunferencia coplanarias. 1. Indicar para cada una de las siguientes proposiciones
Más detallesEL LENGUAJE MATEMÁTICO
Actividad 1 Lee las siguientes frases con contenido matemático y averigua qué objetos matemáticos aparecen y qué símbolos matemáticos se utilizan: a) Los números dos y cuatro son números pares. b) Los
Más detallesMatemáticas II. d) Perpendicular al plano π: 2x y + 3z 1 = 0, paralelo a la recta r : x 1 2 = y 3 = z 8
I.E.S. Juan Carlos I Ciempozuelos (Madrid) Matemáticas II * Geometría analítica en R 3 * 1. Determina cuáles de las siguientes ternas de puntos son puntos alineados. Encuentra la ecuación de la recta que
Más detalles10.1 NOCIONES Y PROPOSICIONES FUNDAMENTALES. i 1. i) Llamaremos razón al cociente de dos cantidades expresadas en la misma unidad de medida.
0. NOCIONES Y PROPOSICIONES FUNDAMENTALES 0.. Propiedades básicas de las fracciones. Para a, b, c, d R se cumple: a c b d i) Si entonces y a b ; a, b, c, d 0. b d a c c d a c a b c d a b c d ii) Si entonces
Más detallesCOLEGIO LOS ARCOS Guía de trabajo #4 Segmentos proporcionales 9no grado
GUIA DE TRABAJO Materia: Matemáticas. Tema: Geometría 4 - Segmentos proporcionales. Fecha: Profesor: Fernando Viso Nombre del alumno: Sección del alumno: CONDICIONES: Trabajo individual. Sin libros, ni
Más detallesCURSO DE GEOMETRÍA 2º EMT
CURSO DE GEOMETRÍA 2º EMT UNIDAD 0 REPASO 1º REPASO SOBRE TRIÁNGULOS Clasificación de los triángulos Por sus lados Propiedad La suma de los ángulos de un triángulo vale 180º A + B + C = 180 Los ángulos
Más detallesopen green road Guía Matemática SEMEJANZA tutora: Jacky Moreno .cl
Guía Matemática SEMEJANZA tutora: Jacky Moreno.cl 1. Semejanza En el lenguaje que manejamos en nuestro diario vivir utilizamos la palabra semejanza para referirnos a que dos cosas comparten algunas características
Más detallesTEMA 6. ANALÍTICA DE LA RECTA
TEMA 6. ANALÍTICA DE LA RECTA = 2 + 5t 1. Dadas las rectas r: = 4 3t cada una de ellas. = 1 + 9t y s: = 8 6t, indicar tres vectores directores y tres puntos de 2. Dada la recta 2x 3y + 8 = 0, encontrar
Más detallesTORNEOS GEOMÉTRICOS Primera Ronda Primer Nivel - 5º Año de Escolaridad Apellido Nombres DNI Tu Escuela.. Localidad Provincia
Primer Nivel - 5º Año de Escolaridad Problema 1. El hexágono regular de la figura tiene área 6cm 2. Halla el área de la región sombreada. Problema 2. Usando sólo una regla sin marcas, dibujar en la cuadrícula
Más detallesdonde n es el numero de lados. n APOTEMA: Es la altura de un triangulo formado por el centro del polígono regular y dos vértices consecutivos.
Polígonos regulares 1 POLIGONOS REGULARES DEFINICION: Un polígono regular es el que tiene todos sus lados y sus ángulos congruentes. DEFINICION: Un polígono esta inscrito en una circunferencia si sus vértices
Más detalles1.1 Si ˆ y ˆ son suplementarios entonces l 1. //l 2
611 EJERCICIOS PROPUESTOS Temas: Consecuencias del VPE Problemas generales l1 2 1 En la figura t es secante a y a l respectivamente Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles
Más detalles1. Si en una recta señalas un punto en cuántas partes queda dividida la recta? cómo se llaman cada una de las partes?
Guía de trabajo 1. Si en una recta señalas un punto en cuántas partes queda dividida la recta? cómo se llaman cada una de las partes? Respuesta: a) En dos partes b) semirrectas. 2. En el ejercicio anterior
Más detallesMATHEMATICA. Geometría - Recta. Ricardo Villafaña Figueroa. Material realizado con Mathematica. Ricardo Villafaña Figueroa
MATHEMATICA Geometría - Recta Material realizado con Mathematica 2 Contenido Sistema de Coordenadas... 3 Distancia entre dos puntos... 3 Punto Medio... 5 La Recta... 8 Definición de recta... 8 Pendiente
Más detallesCÁLCULO II ESCUELA MILITAR DE INGENIERÍA MISCELÁNEAS DE PROBLEMAS VECTORES. 1. Sean A = (1, 2), B = ( 1, 3) y C = (0, 4); hallar: a) A + B
ESCUELA MILITAR DE INGENIERÍA MISCELÁNEAS DE PROBLEMAS CÁLCULO II VECTORES. 1. Sean A = (1, 2), B = ( 1, 3) y C = (0, 4); hallar: a) A + B b) A B + C c) 4A 3B d) 4(A + B) 5C e) 1 2 (A B) + 1 4 C 2. Sean
Más detallesLíneas notables de un triángulo
Líneas notables de un triángulo Los cuatro grupos de líneas notables más importantes que se trabajan en los triángulos son las siguientes: Medianas: segmentos que unen los puntos medios de cada lado con
Más detallesEJERCICIOS VOLUNTARIOS DE GEOMETRIA CON SOLUCIÓN. 2º BACHILLERATO
EJERCICIOS VOLUNTARIOS DE GEOMETRIA CON SOLUCIÓN. 2º BACHILLERATO ESPACIO AFIN 1.Hallar la ecuación del plano que contenga al punto P(1, 1, 1) y sea paralelo a las rectas: r x 2y = 0 ; y 2z + 4 = 0; s
Más detallesPágina 209 PARA RESOLVER. 44 Comprueba que el triángulo de vértices A( 3, 1), B(0, 5) y C(4, 2) es rectángulo
44 Comprueba que el triángulo de vértices A(, ), B(0, ) y C(4, ) es rectángulo y halla su área. Veamos si se cumple el teorema de Pitágoras: AB = (0 + ) + ( ) = AC = (4 + ) + ( ) = 0 BC = 4 + ( ) = 0 +
Más detallesBLOQUE II. GEOMETRÍA.
BLOQUE II. GEOMETRÍA. PROBLEMAS SELECTIVIDAD (PAU) CANTABRIA 2000-204 I.E.S. LA MARINA. CURSO 204/205. MATEMÁTICAS II. Condidera el plano y la recta r dados por : ax + 2y 4z 23 = 0, r: 3 a) ( PUNTO) Halla
Más detallesVECTORES EN EL ESPACIO
VECTORES EN EL ESPACIO ACTIVIDADES 1 Dados los puntos del espacio: 7 Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los P(1, 1, ) siguientes puntos: A(1, 0, ), B(,, ) y C(, 1, ) 6 Q(,,) R(, 0, 1) S(,,
Más detallesÁngulos consecutivos, suplementarios, adyacentes, opuestos por el vértice y complementarios.
ÁNGULOS Dadas dos semirrectas de origen común (Ox, Oy), no opuestas ni coincidentes, llamaremos ángulo convexo de vértice O, a la intersección del semiplano de borde la recta sostén de Ox, que contiene
Más detalleses el lugar geométrico de los puntos p tales que ; R (1)
LA RECTA DEL PLANO ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS La recta en el plano como lugar geométrico Dados un punto p un vector no nulo u, la recta T paralela a u que pasa por p es el lugar geométrico
Más detallesGEOMETRÍA. (x 1) 2 +(y 2) 2 =1. Razónalo. x y + z = 2. :3x 3z +1= 0 es doble de la distancia al plano π 2. : x + y 1= 0. Razónalo.
GEOMETRÍA 1. (Junio, 1994) Sin resolver el sistema, determina si la recta x +3y +1= 0 es exterior, secante o tangente a la circunferencia (x 1) +(y ) =1. Razónalo.. (Junio, 1994) Dadas las ecuaciones de
Más detallesESTALMAT-Andalucía Actividades 06/07
EL LENGUAJE MATEMÁTICO Actividad 1 Cuando hablamos o escribimos en Matemáticas lo hacemos en nuestra lengua habitual, el español, pero utilizamos frases con palabras que designan objetos y símbolos que
Más detalles12. Espacios afines euclídeos
12. Espacios afines euclídeos Distancia y sistema de referencia métrico Ejercicio 12.1. Teorema de Sylvester-Gallai. Sean P 1,...,P n,n 3 puntos del espacio euclídeo afín A 2 (R) que no están sobre una
Más detallesIntroducción. Este trabajo será realizado con los siguientes fines :
Introducción Este trabajo será realizado con los siguientes fines : Aprender mas sobre la geometría analítica. Tener mejores conceptos sobre ella ; los cuales me pueden ayudar con las pruebas ICFES. Otro
Más detallesGEOMETRÍA. Contenidos a desarrollar: Lugar geométrico. Circunferencia. Mediatriz. Bisectriz. Alturas. Medianas. Puntos notables del triángulo.
GEOMETRÍA Contenidos previos: Recta. Segmento. Semirrecta. Ángulos. Clasificación. Ángulos opuestos por el vértice. Ángulos adyacentes. Clasificación de triángulos. Propiedades elementales. Contenidos
Más detallesDefinición: Un triángulo es la unión de tres rectas que se cortan de dos en dos.
Triángulos Definición: Un triángulo es la unión de tres rectas que se cortan de dos en dos. Teoremas 1) La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180º. δ + β+ α = 180 0 2) Todo
Más detallesCAPÍTULO 7. DESIGUALDADES EN EL TRIÁNGULO
CAPÍTULO 7 DESIGUALDADES EN EL TRIÁNGULO Introducción Avanzando sobre las propiedades que rodean al triángulo, se han destacado hasta el momento las que se derivan fundamentalmente de la congruencia Ahora
Más detallesR E S O L U C I Ó N. sabemos un punto A (1, 2, 0) y su vector director u (3,0,1). x 1 3 0
x 13t Considera el punto P(1, 1,0) y la recta r dada por y 2. z t a) Determina la ecuación del plano que pasa por P y contiene a r. b) Halla las coordenadas del punto simétrico de P respecto de r. MATEMÁTICAS
Más detallesModulo de aprendizaje de matemática. Semejanza de figuras planas.
Modulo de aprendizaje de matemática. Semejanza de figuras planas. Concepto de semejanza. EJEMPLO. Dos polígonos convexos son semejantes si tienen la misma forma con diferentes dimensiones. Diremos que
Más detallesOLIMPIADAS COSTARRICENSES DE MATEMÁTICAS UNA - UCR - TEC - UNED - MEP - MICIT. Geometría. II Nivel I Eliminatoria
OLIMPIS OSTRRIENSES E MTEMÁTIS UN - UR - TE - UNE - MEP - MIIT Geometría II Nivel I Eliminatoria Mayo, 06 ontenido II Nivel (8 y 9 ) - Geometría. Presentación..........................................
Más detalles3º - Matemática B La Blanqueada Nocturno Práctico Nº 6 - Repaso
3º - Matemática B La Blanqueada Nocturno Práctico Nº 6 - Repaso 1) Hallar los puntos de corte de la recta x+ y= 3 y la cfa: x 2 + y 2 = 5 2) Sea v= ( 1,2) tal que OB v. Halle el área del triángulo OBC
Más detallesFundación Uno. 2x La gráfica que se muestra en la figura siguiente corresponde a la función:
ENCUENTRO # 49 TEMA: Ángulos en Geometría Euclidiana. CONTENIDOS: 1. Introducción a Geometría Euclidiana. 2. Ángulos entre rectas paralelas y una transversal. 3. Ángulos en el triángulo y cuadriláteros.
Más detallesColegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas
Geometría. Problema 1: Calcula la distancia del punto P(1, 1, 1) a la recta Problema 2: Dadas las rectas, se pide: a) Analiza su posición relativa. b) Halla la ecuación general del plano π que contiene
Más detalles