OLCOMA En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 6cm y el perímetro 14 cm. Entonces el área del triángulo es

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1 OLCOMA 1 PARTE I: SELECCIÓN ÚNICA 1 Si x 2 + y 2 = 6xy, con x > 0, y > 0 y x > y entonces el valor de la razón x+y x y corresponde a (a) 2 (b) 3 (c) 5 (d) 6 Partiendo, x 2 + y 2 = 6xy y completando cuadrados de dos maneras direferentes tenemos: I) x 2 + 2xy + y 2 = 8xy (x + y) 2 = 8xy x + y = 8xy II) x 2 2xy + y 2 = 4xy (x y) 2 = 4xy x y = 4xy entonces de I y II se obtiene, x+y x y = 8xy 4xy = 8xy 4xy = 2 Por lo que la opción correcta es a) 2 En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 6cm y el perímetro 14 cm Entonces el área del triángulo es (a) 7cm 2 (b) 10cm 2 (c) 14cm 2 (d) 28cm 2 Sean x y y las medidas de los catetos Al ser rectánculo tenemos que el área es 1 2 xy Aplicando Pitágoras obtenemos x2 + y 2 = 36, por otro lado tenemos que x + y + 6 = 14, entonces x + y = 8 Por lo tanto 64 = (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 = xy, esto implica que xy = 14 y el área es 7 Entonces la opción correcta es a)

2 OLCOMA 2 3 La cantidad de números de cuatro cifras tales que el producto de sus cifras es 343, corresponde a (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 Observamos primero que 343 = 7 3 Entonces tres de las cuatro cifras deben ser 7, y la restante debe ser 1 Hay cuatro formas de acomodar estas cuatro cifras Por lo que la opción correcta es d) 4 Sean A, B, C, D puntos en una circunferencia tales que AB = AC, m BAC = 30, DB = BC y sea E el punto de intersección de AB y DC Entonces la medida del AEC es (a) 95 (b) 100 (c) 105 (d) 110 En el triángulo ABC: m ABC + m ACB + m BAC = 180 de donde 2m ABC = 150 m ABC = 75 Ahora, los ángulos BDC = BAC miden 30, pues subtienden el mismo arco En el triángulo DBC: BDC = BCD, pues DCB es agudo, de donde m BCD = 30 Por lo tanto, m AEC = = 105, pues es ángulo externo del EBC Entonces la opción correcta es la opción c)

3 OLCOMA 3 5 Considere la función f : Z Z que satisface las siguientes condiciones para todos los valores enteros de m y n f(2) = 2 f(mn) = f(m)f(n) Si m > n entonces f(m) > f(n) Entonces el valor de f ( ) corresponde a (a) 1 (b) 2 (c) (d) ( ) f (2 n ) = f 2 } {{ 2} = f (2) f (2) = 2 }{{}} {{ 2} = 2 n ; así f ( ) = n veces n veces n veces Por lo que la opción correcta es d) 6 Considere la figura adjunta, donde se tiene que el punto D (centro de la circunferencia) equidista de los segmentos AB, BC y AC Si DE = 4, entonces la longitud del segmento EC corresponde a (a) 12 A E D C (b) 4 3 (c) 8 3 (d) 6 3 Como el punto D equidista de los segmentos AB, BC y AC se tiene que AB = BC = AC (por teorema de cuerdas: cuerdas equidistantes del centro son congruentes ), de donde se sigue que es un triángulo equilátero y entonces el punto D es el baricentro del triángulo pues equidista de las tres B

4 OLCOMA 4 cuerdas del círculo Por propiedades del baricentro DB = 2DE Así, BE= AD + DE Así por triángulos especiales se tiene que, BE = AD + DE = 3DE = 12 Así la medida de EC = 4 3 B o 8 3 E 4 60 o 3 C Entonces la opción correcta es B 7 Si una máquina y media produce un artículo y medio en un día y medio Entonces, la cantidad de máquinas que son necesarias para producir una docena de artículos por día es (a) 14 (b) 16 (c) 18 (d) 20 Si una máquina y media produce un artículo y medio en un día y medio, entonces produce tres artículos en tres días Luego, tres máquinas producen seis artículos en tres días, continúando con este razonamiento obtenemos la siguiente tabla máquinas artículos días 3/2 3/2 3/2 3/ Por lo tanto, son necesarias 18 máquinas

5 OLCOMA 5 Entonces la opción correcta es c) 8 El número de soluciones enteras que tiene la ecuación 2 3+x x = 65 es (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 Como 65 es entero y de las expresiones 2 3+x y 2 3 x si las dos no son enteras entonces ambas son menores que 1, lo que no puede ser, por lo tanto ambas tienen que ser enteras Tenemos entonces que 3 x 3 Como x es entero podemos probar cada una de las posibilidades (o podemos ver que las únicas potencias de 2 que funcionan son 64+1) Obtenemos entonces dos soluciones, x = 3, x = 3 Por lo que la opción correcta es c) 9 La cantidad de enteros n entre 1 y 50, tales que x 2 + x n se puede factorizar como producto de dos factores lineales con coeficientes enteros es (a) 0 (b) 2 (c) 6 (d) 7 Las soluciones para x 2 + x n serían b ± b 2 4ac = 1 ± 1 + 4n 2a 2 Para que dicha solución sea coeficiente entero se debe cumplir que 1 + 4n sea un cuadrado perfecto Además 1 n n También 4n + 1 de ser impar Ahora las posibilidades para 4n + 1 serían 9, 25, 49, 81, 121, 169; así n = 2, 6, 12, 20, 30, 42 es decir 6 enteros cumplen las condiciones solicitadas Entonces la opción correcta es c)

6 OLCOMA 6 10 Un conductor debe realizar un viaje de una ciudad A a B y luego regresar Desea hacer una velocidad promedio de 60 km/h en todo el viaje de ida y vuelta Al llegar a la ciudad B observó que su velocidad promedio hasta ese momento era de 40 km/h Entonces, para lograr su objetivo, en el viaje de vuelta debe viajar en promedio a (a) 80 km/h (b) 90 km/h (c) 100 km/h (d) 120 km/h Llamemos d a la distancia entre A y B, t 1 al tiempo tardado en el viaje de ida, t 2 al tiempo del viaje de regreso, x la velocidad promedio en el viaje de regreso Sabemos que d 40 = t d 1 x = t 2 Para lograr una velocidad promedio de 60km/h en todo el recorrido debe 2d darse = 60 de donde t 1 + t 2 2d d 40 + d = 60 2 = 60 80x = 60(x + 40) x = 120 x + 40 x 40x Por lo tanto debe viajar a 120 km/h en el viaje de regreso Entonces la opción correcta es d) 11 La cantidad de números primos p tales que 9p + 1 es un cubo perfecto corresponde a (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 Si 9p + 1 es un cubo perfecto, entonces 9p + 1 = n 3 para algún n, es decir, 9p = n 3 1, entonces 9p = (n 1)(n 2 + n + 1) Dado que p es primo, los

7 OLCOMA 7 factores de 9p son 1, 3, 9 y p, por lo que las posibles formas de factorizar 9p son: 9p = 1 9p, 9p = 3 3p, 9p = 9 p Dado que n es positivo, se tiene que n 1 < n 2 + n + 1 Tomando el primer caso, se tiene n 1 = 1, n 2 +n+1 = 9p, pero se tendría n = 2, es decir p = 7 9, lo cual es un absurdo Si n 1 = 3 y n 2 +n+1 = 3p, se tiene que n = 4, y así = 21 = 3p, por lo que p = 7 Para el tercer caso, por simple inspección, se puede verificar que los primos menores que 9 salvo el 7 no cumplen la propiedad, por lo que para obtener nuevas posibilidades verificamos el caso 9 < p tomamos n 1 = 9, y n 2 + n + 1 = p, así n = 10, y n 2 + n + 1 = 111 = p, pero 111 no es primo Por lo tanto el único primo que cumple la propiedad es 7 Entonces la opción correcta es a) 12 Dos ciudades A y B están a 999Km de distancia entre sí A lo largo de la carretera hay postes a cada kilómetro que indican la distancia hacia A y la distancia hacia B (por ejemplo, el primero poste, en A, está indicado por el par ordenado (0, 999) el siguente por (1, 998) y así sucesivamente) Entonces la cantidad de estos postes que tienen números que se escriben con exactamente dos cifras distintas (por ejemplo (272,727)) es (a) 10 (b) 20 (c) 40 (d) 80 Notemos que si en uno de los números aparece el dígito x en el otro aparecerá 9 x Por lo tanto las parejas de dígitos que se utilizarán son 0 y 9, 1 y 8, 2 y 7, 3 y 6, 4 y 5 Para cada una de estas parejas, como tenemos que formar números de tres cifras (con repeticiones), tenemos 2 3 = 8 maneras de armar los números Por lo tanto la cantidad de números formados con dos cifras es 5 8 = 40 Entonces la opción correcta es c)

8 OLCOMA 8 PARTE II: DESARROLLO 1 El ABC es acutángulo y AB = AC = 1 Sea D el punto de interseción de la bisectriz del ACB con AB Si ACD es obtusángulo isósceles, determine la medida de BC Llamemos α = m ACD Como ABC es acutángulo, entonces BAC y ACD son agudos, luego ACD también es agudo Como ACD es obtusángulo, EL ADC debe ser obtuso, y como además dicho es isósceles, necesariamente AD = DC y m ACD = m DAC = α Como AB = AC, m ABC = m ACB = 2α Así que 2α + 2α + α = 180 de donde α = 36 Entonces m CBD = m CDB = 72, ie, BCD es isósceles, y además es semejante con BAC Sea x = BC, entonces BD = 1 x Por la semejanza se triángulos se tiene BD BC = BC AB ie 1 x = x de donde x 1 x 2 + x 1 = 0, = = 5 x = 1 ± 5 2 x = Manuel y Teresa tienen menos de cien años cada uno Si escribimos juntas las edades, de izquierda a derecha comenzando con la edad de Teresa, obtenemos un número de 4 dígitos que es un cuadrado perfecto (es decir, el cuadrado de un núumero natural) De igual forma sucedería si dentro de trece años hacemos el mismo acomodo, el nuevo número sería también cuadrado perfecto Determine las edades actuales de Teresa y Manuel Sean ab y cd las edades de Teresa y Manuel respectivamente, entonces abcd es un cuadrado perfecto, digamos x 2 Dentro de trece años las edades de Teresa y Manuel serían respectivamente, ab+13 y cd+13 Colocarlas juntas equivale a sumar 1313 a abcd que, de nuevo, sería un cuadrado perfecto, digamos y 2 Tenemos entonces, x = y 2 y 2 x 2 = 1313 (y + x)(y x) = 1313 Como 1313 = , necesariamente, y x = 13 y y + x = 101; de donde, x = 44 y y = 57 Como x 2 = 1936 las edades de Teresa y Manuel son 19 y 36 años respectivamente

9 OLCOMA 9 3 Sea f una función real de variable real, tal que f(6) = 19 y f(x + y) = f(x) + f(y) + xy, para todo x,y Entonces calcular f(21) 1) Paso Como f(6) = f(3 + 3) = f(3) + f(3) ) Paso Entonces, f(6) = 2 f(3) + 9 f(3) = 5 3) Paso De la misma manera, f(9) = f(6 + 3) = f(6) + f(3) ) Paso Por lo que f(9) = 42 5) Paso Continuando, f(15) = f(9 + 6) = f(9) + f(6) ) Paso Entonces, f(15) = 115 7) Paso Finalmente, f(21) = f(15+6) = f(15)+f(6)+15 6 f(21) = 224