Divergencia de sucesiones

Transcripción

1 Tema 7 Divergencia de sucesiones Nuestro próximo objetivo es prestar atención a ciertas sucesiones no acotadas de números reales, ue llamaremos sucesiones divergentes. Estudiaremos su relación con los otros tipos de sucesiones ue han aparecido hasta ahora: convergentes, acotadas y monótonas. También adaptaremos las reglas sobre cálculo de límites, para poder manejar sucesiones divergentes Sucesiones divergentes Hasta ahora, el estudio de las sucesiones de números reales se ha reducido prácticamente a considerar sucesiones acotadas, ue ciertamente son las más útiles. Sin embargo, hay preguntas sobre sucesiones acotadas, o incluso sobre sucesiones convergentes, ue no tienen aún respuesta satisfactoria, precisamente porue no hemos prestado más atención a las sucesiones no acotadas. Para ver una pregunta sencilla de este tipo, recordemos ue si {x n } es una sucesión de números reales no nulos tal ue {x n } 0, entonces la sucesión {y n } = {1/x n } no está acotada. Sin embargo, el recíproco no es cierto, tomemos por ejemplo x n = 1 n + ( 1) n n + 1 n N con lo ue y n = n + ( 1) n n + 1 n N Claramente la sucesión {y n } no está acotada, ya ue {y 2n } = {4n+1}, pero {x n } no converge a cero, ya ue x 2n 1 = 1 para todo n N. Es razonable por tanto preguntarse ué condición (necesaria y suficiente) debe cumplir {y n } para poder asegurar ue {x n } 0. Encontraremos una respuesta satisfactoria con el estudio de las sucesiones divergentes ue ahora iniciamos. Tomemos como guía la sucesión {n} de los números naturales, la sucesión { n} de sus opuestos y la sucesión alternante {( 1) n n}. Las tres son sucesiones no acotadas, pero muestran comportamientos especiales ue ahora vamos a catalogar. Decimos ue una sucesión {x n } diverge positivamente cuando, para cada número real K, se puede encontrar un número natural m tal ue, para n m, se tenga x n > K. En tal caso, se dice también ue {x n } tiende a + y escribimos {x n } +. Simbólicamente: {x n } + [ K R m N : n m x n > K ] 57

2 7. Divergencia de sucesiones 58 Para decirlo de otra forma euivalente, es claro ue {x n } + si, y sólo si, para todo K R, se tiene ue el conjunto {n N : x n K} es finito. Análogamente, decimos ue {x n } diverge negativamente, o bien ue {x n } tiende a, y escribimos {x n }, cuando para cada número real K existe m N verificando ue x n < K para n m: {x n } [ K R m N : n m x n < K ] Euivalentemente, {x n } cuando el conjunto {n N : x n K} es finito, para todo K R. Por ejemplo, es evidente ue {n} + mientras ue { n}. De hecho, dada una sucesión {x n }, es claro ue {x n } si, y sólo si, { x n } +. Decimos simplemente ue una sucesión {x n } diverge, o es una sucesión divergente, cuando la sucesión { x n } diverge positivamente. En tal caso, se dice también ue {x n } tiende a y escribimos {x n }. Por tanto: {x n } { x n } + [ K R m N : n m x n > K ] Es claro ue, si {x n } + o {x n }, entonces {x n } es divergente, pero el recíproco no es cierto. Por ejemplo la sucesión {x n } = {( 1) n n} es divergente, puesto ue { x n } = {n}, pero {x n } no diverge positivamente, porue el conjunto {n N : x n 0} es infinito, y tampoco diverge negativamente, porue {n N : x n 0} también es infinito. Merece la pena hacer un par de observaciones sobre las nociones recién introducidas, para aclarar su significado y evitar malentendidos. En primer lugar, conviene insistir en ue, + y sólo son símbolos ue usamos para indicar ue una sucesión diverge y, en su caso, ue lo hace positiva o negativamente. Al escribir, por ejemplo, {x n } +, no estamos diciendo ue la sucesión {x n } sea convergente (nada más lejos de la realidad) ni ue {x n } tenga límite +. Aunue ahora trabajemos con sucesiones divergentes, la noción de sucesión convergente y de límite de una tal sucesión no han cambiado, ni deben cambiar. Por tanto, expresiones ue a veces se usan, como decir ue {x n } converge a +, o notaciones ue a veces también se usan, como lím{x n } = +, pueden crear confusión y deben evitarse, pues no aportan ninguna utilidad o comodidad. Por otra parte, debe uedar claro desde el principio ue, para una sucesión de números reales, ser divergente no es lo contrario de ser convergente. Cierto ue una sucesión divergente no puede ser convergente, puesto ue ni siuiera está acotada, pero hay sucesiones ue no son convergentes ni divergentes, como {( 1) n }, sin ir más lejos Relación con otros tipos de sucesiones Conviene empezar esta discusión observando lo ue ocurre con las sucesiones parciales de sucesiones divergentes: Toda sucesión parcial de una sucesión divergente es divergente. De hecho, si {x σ(n) } es una sucesión parcial de una sucesión {x n }, entonces: {x n } + {x σ(n) } + y {x n } {x σ(n) }

3 7. Divergencia de sucesiones 59 La comprobación de estos hechos es bastante inmediata. Si {x n } +, para todo K R, existe m N tal ue, para n m se tiene x n > K. Entonces, también para n m, por ser σ(n) n m, tenemos x σ(n) > K. En el caso {x n }, como { x n } +, tendremos { x σ(n) } +, es decir, {x σ(n) }. Finalmente, si {x n } es divergente, de { x n } + deducimos ue { x σ(n) } +, es decir, {x σ(n) } también diverge. Como consecuencia de lo anterior, usando el Teorema de Bolzano-Weierstrass, obtenemos una caracterización de las sucesiones divergentes ue explica por ué las llamamos así: Para una sucesión {x n } de números reales, son euivalentes: (i) {x n } no es divergente (ii) {x n } admite una sucesión parcial acotada (iii) {x n } admite una sucesión parcial convergente (i) (ii). Si {x n } no es divergente, sabemos ue { x n } no tiende a +, luego existe K R tal ue el conjunto A = {n N : x n K} es infinito. Por tanto existe una aplicación estrictamente creciente σ : N A, con lo ue {y n } = {x σ(n) } es una sucesión parcial de {x n } ue está acotada, ya ue y n K para todo n N. (ii) (iii). Si {y n } = {x σ(n) } está acotada, el Teorema de Bolzano-Weierstrass nos dice ue {y n } admite a su vez una sucesión parcial {z n } = {y τ(n) } ue es convergente. Pero {z n } también es una sucesión parcial de {x n }. En efecto, es claro ue {z n } = {x ϕ(n) }, donde ϕ(n) = σ ( τ(n) ) para todo n N, y se comprueba fácilmente ue ϕ : N N es estrictamente creciente. (iii) (i). Hemos visto anteriormente ue una sucesión parcial de una sucesión divergente también es divergente. Así pues, una sucesión de números reales es divergente si, y sólo si, no admite ninguna sucesión parcial convergente. Colouialmente diríamos ue, para una sucesión, ser divergente es una manera extrema de no ser convergente. Completemos ahora la relación entre divergencia y acotación. Es claro ue una sucesión ue diverge positivamente está minorada pero no mayorada. El recíproco no es cierto, como muestra la sucesión {x n } dada por x n = n [ 1 + ( 1) n ] n N 4 Está minorada, pues x n 0 para todo n N, y no está mayorada, porue x 2n = n para todo n N, pero no es divergente, ya ue x 2n 1 = 0 para todo n N. Análogamente, si una sucesión diverge negativamente, está mayorada pero no minorada y tampoco es cierto el recíproco, basta pensar en la sucesión { x n } donde {x n } se define como antes. Es claro ue una sucesión divergente nunca está acotada, puede estar minorada, como le ocurre a {n}, mayorada como le ocurre a { n}, y puede no estar mayorada ni minorada, como le ocurre a la sucesión {( 1) n n}. Completamos la discusión con un ejemplo de una sucesión ue no está mayorada, tampoco está minorada, pero no es divergente. Basta considerar la sucesión {y n } definida por y 3k 2 = k, y 3k 1 = k, y 3k = 0 para todo k N. Intuitivamente, se trata de la sucesión: 1, 1, 0, 2, 2, 0, 3, 3, 0...

4 7. Divergencia de sucesiones 60 En resumen, observamos ue la divergencia de una sucesión siempre nos permite saber si la sucesión está mayorada o minorada pero, recíprocamente, sabiendo ue una sucesión no está mayorada, o no está minorada, o ambas cosas, no podemos asegurar la divergencia. Nótese el paralelismo con el hecho de ue toda sucesión convergente está acotada, no siendo cierto el recíproco. La situación se clarifica enormemente si consideramos sucesiones monótonas: Toda sucesión creciente y no mayorada diverge positivamente. Toda sucesión decreciente y no minorada diverge negativamente. Por tanto, toda sucesión monótona es convergente o divergente. En efecto, si {x n } es creciente y no mayorada, dado K R, existe m N tal ue x m > K, pero entonces, para n m tenemos x n x m > K, luego {x n } +. Si {x n } es decreciente y no minorada, entonces { x n } es creciente y no mayorada, luego { x n } + y {x n }. Veamos nuevos ejemplos de sucesiones divergentes. Para x R con x > 1, la sucesión {x n } es creciente y no está mayorada, luego {x n } +. Como consecuencia, si x < 1 tenemos ue { x n } = { x n } +, luego {x n }, pero está claro ue ahora {x n } no diverge positivamente y tampoco negativamente Sumas con sucesiones divergentes Vamos a revisar las reglas de cálculo de límites ya conocidas, involucrando ahora sucesiones divergentes. Para evitar repeticiones, en todo lo ue sigue fijamos dos sucesiones {x n } e {y n }. En primer lugar, anotemos un criterio de comparación bastante obvio: Supongamos ue x n y n para todo n N. Entonces: {x n } + = {y n } + ; {y n } = {x n } Pensemos ya en la sucesión suma {x n +y n }. Sabemos ue {x n +y n } es convergente siempre ue {x n } e {y n } lo sean. Nos preguntamos ué ocurre cuando una de ellas, digamos {x n }, es divergente, y la otra es convergente o divergente. La respuesta se deducirá de la siguiente observación básica: Si {x n } + e {y n } está minorada, entonces {x n + y n } + La comprobación es inmediata. Existe α R tal ue y n α para todo n N y, dado K R, existirá m N tal ue, para n m, se tiene x n > K α, luego x n + y n > K. Veamos ya lo ue ocurre al sumar una sucesión divergente con otra convergente: (i) Si {x n } + e {y n } converge, entonces {x n + y n } +, ya ue {y n } está minorada. (ii) Si {x n } e {y n } converge, entonces {x n + y n }, pues basta pensar ue { x n } + mientras ue { y n } está minorada, luego { (x n + y n )} +. (iii) Si {x n } diverge e {y n } converge, entonces {x n + y n } diverge. En efecto, basta tener en cuenta ue x n + y n x n y n para todo n N. Como { x n } + y { y n } es convergente, tenemos { x n y n } + y, por comparación, { x n + y n } +.

5 7. Divergencia de sucesiones 61 Con respecto a la suma de dos sucesiones divergentes podemos afirmar: (i) Si {x n } + e {y n } +, entonces {x n + y n } +, pues {y n } está minorada. (ii) Si {x n } e {y n }, entonces {x n + y n }, pues basta aplicar lo anterior a las sucesiones { x n } y { y n }. Quedan posibilidades no contempladas en la discusión anterior. Por ejemplo, nada hemos dicho sobre lo ue ocurre con {x n + y n } cuando {x n } + e {y n }. De forma más general, la pregunta sería si podemos afirmar algo sobre la suma de dos sucesiones de las ue sólo sabemos ue son divergentes. Vamos a ver ue, en el primer caso, y por tanto en el segundo, nada se puede afirmar. De hecho, toda sucesión {z n } puede expresarse en la forma {x n + y n } con {x n } + e {y n }. En efecto, para cada n N, basta tomar x n = z n + z n + n y, lógicamente, y n = z n x n, con lo ue tenemos x n n, y n = z n n n. Deducimos ue {x n } + y ue {y n }, como se uería. En particular, ueda claro ue toda sucesión se expresa como suma de dos sucesiones divergentes. En situaciones como esta, se dice ue tenemos una indeterminación. En el caso ue nos ocupa, decimos ue la indeterminación es del tipo [ ]. Esto no es más ue una forma de hablar: al decir ue tenemos una indeterminación del tipo [ ] sólo estamos recordando ue no existe (no puede existir) ningún resultado general ue nos dé información sobre la suma de una sucesión ue diverge positivamente con otra ue diverge negativamente, menos aún sobre la suma de dos sucesiones de las ue sólo sabemos ue son divergentes. Por supuesto, ello no uiere decir ue en cada caso concreto no podamos describir con toda precisión el comportamiento de tales sumas. De hecho, más adelante veremos métodos específicos para resolver, en ciertos casos, indeterminaciones de varios tipos Productos y cocientes De nuevo fijamos dos sucesiones {x n } e {y n }, para estudiar ué le ocurre al producto {x n y n }, suponiendo ue {x n } diverge, mientras ue {y n } puede ser convergente o divergente. La observación básica es la siguiente: Supongamos ue {x n } + y ue existen α > 0 y p N tales ue, para n p, se tiene y n > α. Entonces {x n y n } + En efecto, dado K R, existe N tal ue, para n, se tiene x n > K/α, luego tomando m = máx{p,}, para n m tenemos x n y n > K, lo ue prueba ue {x n y n } +. Las hipótesis del resultado anterior parecen muy restrictivas, pero permite responder con facilidad la pregunta planteada. Empezamos con el producto de dos sucesiones divergentes: Si {x n } e {y n }, entonces {x n y n }. En efecto, basta usar ue { x n } + y ue existe p N tal ue y n > 1 para n p, luego { x n y n } +. De hecho, vemos claramente ue si {x n } e {y n } divergen ambas positivamente, o ambas negativamente, entonces {x n y n } +, mientras ue si una diverge positivamente y otra negativamente, entonces {x n y n }.

6 7. Divergencia de sucesiones 62 Veamos ahora el producto de una sucesión divergente por una convergente: Si {x n } e {y n } λ R, entonces {x n y n }. En efecto, basta observar ue tomando 0 < α < λ, existirá p N tal ue para n p se tenga y n > α. De hecho, es fácil ver ue si {x n } + y λ > 0, o {x n } y λ < 0, entonces {x n y n } +, mientras ue si {x n } + y λ < 0, o {x n } y λ > 0, entonces {x n y n }. Nada hemos dicho aún sobre el producto de una sucesión divergente por una sucesión ue converja a cero. Nada se puede afirmar, tenemos auí la indeterminación del tipo [0 ]. De nuevo comprobamos ue toda sucesión {z n } puede escribirse en la forma {x n y n }, con {x n } +, {y n } 0. En efecto, para cada n N, basta tomar x n = n( z n +1) y, lógicamente, y n = z n /x n, con lo ue se tiene claramente x n n, y n 1/n. Luego {x n } +, {y n } 0, como ueríamos. Para estudiar el cociente de dos sucesiones convergentes o divergentes, una vez estudiado el producto, sólo ueda pensar lo ue le ocurre a la sucesión {1/x n }, sabiendo ue {x n } es una sucesión de números reales no nulos, convergente o divergente. La observación clave es la siguiente, ue contesta una pregunta planteada como motivación al principio de este tema. Sea x n R para todo n N. Entonces {x n } 0 si, y sólo si, {1/x n } es divergente. La demostración de ambas implicaciones es inmediata. Si {x n } 0, dado K R + podemos encontrar m N de forma ue, para n m, se tenga x n < 1/K y, por tanto, 1/x n > K, luego { 1/x n } +. Recíprocamente, dado ε > 0, la divergencia de {1/x n } nos proporciona un m N tal ue, para n m, se tiene 1/x n > 1/ε, luego x n < ε. Naturalmente, dadas dos sucesiones convergentes o divergentes {x n } e {y n }, con y n 0 para todo n N, para obtener información sobre la sucesión cociente {x n /y n } podemos verla como producto de {x n } por {1/y n }. Entonces podemos encontrarnos con la indeterminación [0 ]. Más concretamente, ello ocurre cuando {x n } e {y n } convergen a cero, y también cuando ambas son divergentes. Por ello se habla a veces de indeterminaciones del tipo [0/0] o [ / ]. No se trata en realidad de nuevos tipos de indeterminación, sólo son diferentes aspectos ue puede tomar la indeterminación del tipo [0 ] Raíces Suponiendo ue una sucesión {x n } de números no negativos sea convergente o divergente, es natural preguntarse ué le ocurre a la sucesión de raíces cuadradas { xn }, o más en general, a la sucesión de raíces -ésimas { x n }, con N fijo. La respuesta no es difícil de adivinar: Sea x n R + 0 para todo n N, y fijemos N. Entonces: (i) {x n } x R + 0 = { } x n x (ii) {x n } + = { } x n +

7 7. Divergencia de sucesiones 63 (i). Supongamos primero ue x > 0 y recordemos la siguiente igualdad, comprobada al estudiar las potencias: y z = (y z) k=1 y k z k 1 y,z R Fijado n N, usamos la igualdad anterior para y = x n 0 y z = x 0, con lo ue, al tomar valores absolutos en ambos miembros, obtenemos x n x = x n x ( ) k ( ) k 1 xn x xn x ( x ) 1 k=1 La última desigualdad se debe simplemente a ue la suma de números no negativos será siempre mayor o igual ue el último sumando. Puesto ue x > 0, tenemos 0 x n x x n x ( x ) 1 n N de donde se deduce claramente la conclusión deseada: { x n } x. El caso x = 0 es más sencillo: dado ε > 0, usando ue {x n } 0, encontramos m N de forma ue, para n m, se tiene x n < ε y, por tanto, x n < ε. (ii). También es fácil: dado K R, usando ue {x n } +, encontramos m N de forma ue, para n m, se tiene x n > K y, por tanto, x n > K K Primeros ejemplos de cálculo de límites Para ilustrar las reglas sobre operaciones con sucesiones convergentes o divergentes ue hemos obtenido, estudiemos una sucesión del tipo {P(n)/Q(n)} donde P y Q son polinomios con coeficientes reales, de grados respectivos p, N {0}. Suponemos lógicamente ue Q(n) 0 para todo n N, y descartamos el caso trivial de ue P sea idénticamente nulo. Para resolver las indeterminaciones ue a primera vista podrían presentarse, usaremos un método ue puede ser útil en otras muchas ocasiones: tanto en el numerador como en el denominador, detectamos el sumando ue domina a todos los demás. Más concretamente, destacamos los coeficientes principales de P y Q, escribiendo P(x) = ax p + R(x), Q(x) = bx + S(x) x R donde a,b R y R,S son polinomios de grados menores ue p y respectivamente, ue pueden ser idénticamente nulos. La observación clave, en la ue se manifiesta la dominación antes aludida, es la siguiente: R(n) lím n n p S(n) = lím n n = 0 (1) Comprobaremos la afirmación sobre R, pues la referente a S es análoga. Podemos suponer ue p > 0, pues en otro caso R es idénticamente nulo y no hay nada ue comprobar.

8 7. Divergencia de sucesiones 64 Para convenientes coeficientes a 0,a 1,...,a p 1 R, tenemos R(n) n p = 1 p 1 n p k=0 a k n k = p 1 k=0 a k n p k n N y basta ahora usar ue {1/n m } 0 para todo m N, cosa ue se comprueba inmediatamente por inducción sobre m. Tenemos {1/n p k } 0, para k = 0,1,..., p 1, luego {R(n)/n p } es una suma de p sucesiones convergentes a cero. Finalmente podemos escribir P(n) Q(n) = n p n a + (R(n)/n p ) b + (S(n)/n ) = n p n H(n) n N donde H : N R se define por esta misma igualdad. En vista de (1) tenemos lím n H(n) = a/b. En cuanto a la sucesión cociente {n p /n }, está claro ue converge a cero si p < mientras ue diverge positivamente cuando p >. Hemos evitado así cualuier indeterminación ue pudiera haberse presentado. Concluimos ue la sucesión {P(n)/Q(n)} se comporta como sigue: Si p <, se tiene lím n P(n) Q(n) = 0 Si p =, tenemos lím n P(n) Q(n) = a b Si p >, entonces {P(n)/Q(n)} es divergente. De hecho diverge positivamente cuando a/b > 0 y negativamente cuando a/b < Ejercicios 1. Dar un ejemplo de una sucesión ue diverja positivamente y no sea creciente. 2. Sea A un conjunto no vacío de números reales. Probar ue A no está mayorado si, y sólo si, existe una sucesión de elementos de A ue diverge positivamente. Se puede conseguir ue dicha sucesión sea creciente? 3. Sea {x n } una sucesión y k N fijo. Probar ue {x n } + si, y sólo si, {x k+n } Probar ue una sucesión {x n } diverge positivamente si, y sólo si, las sucesiones {x 2n 1 } y {x 2n } divergen positivamente. Qué ocurre con los otros tipos de divergencia? 5. Probar ue toda sucesión divergente, o bien diverge positivamente, o bien admite una sucesión parcial ue diverge negativamente. 6. Estudiar la convergencia de las siguientes sucesiones: (a) { n + 1 n } (b) { 3 n n 1 } (c) { 3 } n n n + 1 n