Sucesiones. Convergencia

Transcripción

1 Sucesiones. Convergencia Sucesión: Es una aplicación de IN en IR: f : IN IR n = f (n) En vez de f (n) se escribe a n, que se denomina término general de la sucesión. A la sucesión se le representa por: {a n } n IN. Sucesión Convergente: la sucesión {a n } n N, tiende a l IR; o converge a l IR; o tiene por ĺımite l IR; o es convergente y su ĺımite es l IR; o {a n } n IN l; o lim a n = l, si ε R +, n 0 N, n = n (ε), tal que n > n 0, n N a n l < ε, o lo que es lo mismo: a n (l ε, l + ε), es decir fuera del entorno de centro l y radio ε quedan, a lo más, un número finito de términos de la sucesión. En una sucesión convergente el ĺımite: o es un punto de acumulación del conjunto de las imágenes, o es un punto aislado del conjunto de las imágenes.

2 Sea la sucesión: {1, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4,, 4, }, esta sucesión es convergente a 4, y el conjunto de las imágenes de la aplicación es un conjunto finito, todos los términos de la sucesión, excepto un número finito de ellos, toman el mismo valor, es este caso el ĺımite es un punto adherente, que es aislado, del conjunto de las imágenes de la sucesión. Si no existen infinitos términos de la sucesión que toman el mismo valor el ĺımite es un punto de acumulación del conjunto de las imágenes de la sucesión. Ejemplo {a n } n IN, a n = 1 n. Puede suceder si infinitos términos que toman el mismo valor e infinitos términos que tomen distinto valor y que el ĺımite sea un punto de acumulación, en este caso el valor de los infinitos términos que valen lo mismo ha de ser el ĺımite. Ejemplo {a n } n IN, a 2n = 1 n, a 2n 1 = 0, siendo el conjunto de las imágenes {0, 11, 0, 12, 0, 13, 0, 14,, 0, 1n, } Las sucesiones que no tienen ĺımite se dicen no convergentes

3 Sucesión monótona y acotada Una sucesión monótona creciente, decreciente, y acotada es convergente y su ĺımite es el extremo superior, inferior. Si {a n } n IN es creciente y su extremo superior es α, sea l el ĺımite, si l > α, l α = ε 1. El E (l, ε 1 ) no contiene ningún término de la sucesión. si si l < α, α l = ε 2. El E ( ) l, ε2 2 contiene infinitos términos de la sucesión, sea uno de ellos a n0, por ser m.c. a n0 a n0+1 a n l + ε 2 2 < α contra la hipótesis de que α es el extremo superior, pues entre l + ε2 2 y α, hay cotas superiores de la sucesión contra la hipótesis de α era el sup {a n } n IN

4 Sucesión Divergente Una sucesión se dice divergente, o que tiene por ĺımite infinito,, y escribimos {a n } n IN o lim a n = si K R +, existe un n 0 IN, n = n (K), tal que para todo n > n 0, n IN, se cumple que a n > K, o lo que es lo mismo a n (, K) (K, + ), no perteneciendo a este conjunto un número finito de términos de la sucesión. Sea la sucesión { n 2} n N cuyo ĺımite es, y sea K = K 0, entonces n 2 > K0 n > [ ] k 0 n 0 = E k0 + 1 Si se considera el conjunto de las imágenes, decimos que en una sucesión divergente es un punto de acumulación de este conjunto, definiendo E ( ; r) = {x R x > r } = (, r) (r, + )

5 Sucesión Oscilante Una sucesión es{ oscilante cuando } no es convergente ni divergente. Sea la sucesión ( 1) n 3n 17 que no tiene ĺımite, es n + 1 n N oscilante. { 1 si n = 2k Sea la sucesión a n = n que no tiene ĺımite, log n si n = 2k + 1 es oscilante. Límites de oscilación: Sea la sucesión {a n } n N, decimos que b R,, es ĺımite de oscilación de {a n } n N si todo entorno de b R,, contiene infinitos términos de la sucesión. En algunos textos en vez de hablar de ĺımites de oscilación hablan de valores adherentes o valores de acumulación. n si n = 2k, k N Sea a n = 1 n si n = 2k 1, k N, la sucesión es { 1, 2, 1 3, 4, 1 5, 6,, 1 } 2n 1, 2n, cualquier E (0; ε), ε < 1 contiene infinitos términos de la sucesión, todos los a 2n+1 y cualquier entorno de + contiene infinitos términos de la sucesión, todos los a 2n.

6 Límite superior e inferior de oscilación Si el conjunto de los ĺımites está acotado 1 al mayor ĺımite superior de oscilación: lim. a n, 2 al menor ĺımite inferior de oscilación, lim. a n Si el conjunto de los ĺımites no está acotado 1 lim a n = + a n = 2 lim El ĺımite superior de oscilación{ y el} ĺımite{ inferior de oscilación } son α ĺımite superior únicos. Otra definición es: es de β ĺımite { } inferior α oscilación si en cada intervalo de centro y radio r existen β infinitos { términos } de la{ sucesión} y sólo existe un número finito que mayores α + r son que. menores β r

7 Principio de sustitución El ĺımite de una sucesión convergente o divergente no se altera al sustituir uno de sus factores o divisores por otro asintóticamente equivalente. a n Sea a n <> b n o lim, y supongamos que estamos calculando el b n ĺımite, que existe finito o infinito, de a n c n lim. (ancn) = lim. (ancn) lim. ( bn a n ) ( ) b n = lim. a nc n = lim. a (bncn) n Sea a n <> b n, y supongamos que estamos calculando el ĺımite, que existe finito o infinito, de a n c n lim. ( an c n ) = lim. ( ) an c n lim. ( bn a n ) ( ) an b n = lim. = lim. c n a n ( ) bn Una de las equivalencias más usuales es: Si lim a n = a, entonces a n <> a. No hemos dicho que se pueda sustituir en una suma un sumando por otro equivalente. La aplicación de esta afirmación, falsa, da lugar a veces a resultados erróneos. c n

8 Equivalencias elementales Lista de infinitésimos equivalentes, a n 0 sen a n <> a n arc sen a n <> a n tg a n <> a n arc tg a n <> a n sh a n <> a n arg sh a n <> a n 1 cos a n <> a2 n 2 1 ch a n <> a2 n 2 log (1 + a n ) <> a n Lista de infinitos equivalentes si n + n! <> e n n n 2πn a 0 n p0 + a 1 n p1 + a 2 n p2 + <> a 0 n p0 si p 0 > p 1 > p 2 > ; p 0 > 0 log (a 0 n p0 + a 1 n p1 + a 2 n p2 + ) <> log n p0 si p 0 > p 1 > p 2 > ; p 0 > 0, a 0 > 0

9 Límite de expresiones racionales α n = a 0n p0 + a 1 n p1 + + a k n p k b 0 n q0 + b 1 n q1 + + b k n q k p 0 < q 0 Si dividimos numerador y denominador por n p 0 : ; { p0 > p 1 > ; p 0 > 0 a 0 0 q 0 > q 1 > ; q 0 > 0 b 0 0 a 0 + a 1 n p1 p0 + + a k n p k p 0 b 0 n q0 p0 + b 1 n q1 p0 + + b k n q k p 0 a 0 = 0 p 0 > q 0 Si dividimos numerador y denominador por n q 0 a 0 n p0 q0 + a 1 n p1 q0 + + a k n p k q 0 b 0 + b 1 n q1 q0 + + b k n q k q 0 b 0 = p 0 = q 0 Si dividimos numerador y denominador por n p 0 a 0 + a 1 n p1 q0 + + a k n p k q 0 b 0 + b 1 n q1 q0 + + b k n q k q 0 a 0 b 0

10 Límite de expresiones irracionales p a p b p a b = [ a p 1 + a p 2 b + + ab n 2 + b p 1] si: a = p f (n) y b = p g (n), será j=p 1 f (n) g (n) ( p = [f (n)] f (n) p g (n)) p 1 j [g (n)] j p f (n) p g (n) = j=0 j=p 1 j=0 f (n) g (n) p [f (n)] p 1 j [g (n)] j si a = r f (n) y b = s g (n), si t = m.c.m. {r, s}, será: r f (n) s t g (n) = [f (n)] tr t [g (n)] t s diferencia de raíces del mismo índice.

11 Cálculo práctico de ĺımites (1) Límite de expresiones 1, 0 y 0 0 : Su cálculo se realiza o buscando el número e o tomando logaritmos y resolviendo la indeterminación 0 Criterio de Stolz-Cesaro: Sea una sucesión c n, tal que, c n = a n b n, Si la sucesión b n es creciente y divergente y si la fracción a n a n 1 b n b n 1 tiene ĺımite finito o infinito de signo determinado, se verifica a n a n 1 a n lim. = lim. = lim. b n b n 1 b cn n El criterio de Stolz-Cesaro también se cumple si las sucesiones a n y b n son infinitésimas, siendo b n decreciente.

12 Cálculo práctico de ĺımites (2) Criterio de la media aritmética Si {c n } tiene ĺımite finito o infinito, de signo determinado, se verifica lim. j=n c j j=1 n lim. c n Criterio de la media geométrica Si {c n } es una sucesión de términos positivos, convergente o divergente, se verifica lim. n c1 c 2 c n = lim. c n Límites de la razón y de la raíz Sea {a n } de términos positivos; si la razón divergente, se verifica lim. n an = lim. a n a n 1 a n a n 1 es convergente o

13 Series potenciales o de potencias Son: a n (x x 0 ) n, a n IR, y en general a n = f (n), x 0 IR y fijo. Si x = x 1 IR, obtenemos la serie numérica: a n (x 1 x 0 ) n. Todos los valores de x, que hacen que la serie numérica correspondiente sea convergente, forman el subconjunto de IR en el que existe convergencia, subconjunto que se denomina campo de convergencia. El campo de convergencia al menos contiene un punto: el x 0 a n (x 0 x 0 ) n = a 0. Ejemplos: (n!) (x x 0 ) n ; (n + 1) (x x 0 ) n ; Por comodidad se estudian para x 0 = 0. x x 0 = z a n (x 0 x 0 ) n = a n z n 1 n! (x x 0) n

14 Serie geométrica o Progresión geométrica Sea {a n } n N definida del modo siguiente: a 1 = k, a n+1 = ra n ; con la que se genera la serie a n, cuyas sumas parciales son: n=1 S 1 = a 1 = k S 2 = a 1 + a 2 = k + kr S 3 = a 1 + a 2 + a 3 = k + kr + kr 2 S n = a 1 + a a n = k + kr + kr kr n 1 Estudiemos S n en los casos r 1, es decir r ±1, tenemos S n = k + rk + kr 2 + kr kr n 2 + kr n 1 rs n = kr + kr 2 + kr 3 + kr kr n 1 + kr n restándolas: S n rs n = k kr n = S n = k kr n 1 r

15 k kr n tomando ĺımite: lim S n = lim 1 r Presentándose los casos = k 1 r lim kr n 1 r. r < 1, que es lim kr n = 0, y por tanto lim S n = convergentes. k 1 r r > 1, que es lim kr n =, y por tanto lim S n = divergentes. Si r = 1. r = 1, entonces S n = nk y lim S n = divergente. r = 1, entonces S 1 = a 1 = k = k S 2 = k k = 0 S 3 = k k + k = k S 3 = k k + k k = 0 S 2n 1 = k k + k + k ( 1) 2n 2 = k S 2n = k k + k + k ( 1) 2n 1 = 0 por lo que la serie resulta oscilante.

16 Campo de convergencia absoluta Si a n x n converge para x = x 1 entonces es absolutamente convergente en el conjunto: {x R x < x 1 }; es decir converge a n x n. Si diverge para x = x 1 entonces es divergente en el conjunto: {x R x 1 < x }. Por la convergencia de a n x1 n, su término general, a n x1 n 0, por lo tanto la sucesión {a n x1 n } está acotada, por lo que, K R + a n x1 n < K, n = 0, 1, 2, Sea x tal que x < x 1 : x x 1 = r < 1 a nx n = a nx1 n n a n x1 n x < Kr n a n x n Kr n, luego la serie x 1 x n x1 n está acotada por una progresión geométrica convergente. = a n x n

17 Si a n x1 n es divergente y existe un x = x 0, x 1 < x 0, para la cual la serie a n x0 n converge, entonces: por la primera parte, a n x1 n será absolutamente convergente, contra la hipótesis de que es divergente.

18 Intervalo de convergencia Dada una serie de potencias a n x n, denominemos A al conjunto de puntos para los cuales converge. Se llama radio de convergencia de la serie a n x n al número real R 0, definido a continuación: R = 0 si a n x n converge solamente para x = 0. R = + si a n x n converge x IR. R = sup x para todos los puntos en los que x A a n x n converge. Al intervalo ( R, R) se le denomina intervalo de convergencia.

19 Una serie de potencias a n x n : converge absolutamente x ( R, R). diverge para x > R. Si R = 0 no hay nada que probar. Si R 0, sea un x tal que x < R, por la densidad de los números reales, x 0 R tal que x < x 0 < R para el que la serie, por definición de R, converge y por lo visto anteriormente converge absolutamente en x < R. Si la serie no diverge para un x 0 tal que x 0 > R significa que la serie converge para x 0, en contradicción con que R es el sup A.

20 Determinación del radio de convergencia El radio de convergencia de una serie de potencias dado por: R = 0 si lim n a n = +. R = + si lim n a n = 0. R = n lim 1 an n si lim an < + a n x n viene Si aplicamos el criterio de la raíz a la serie existe convergencia, si a n x n, sabemos que n lim an x n < 1 x lim n a n < 1 por lo que si

21 lim n n lim an = 0 habrá convergencia x R. an = + habrá convergencia solo si x = 0. 0 < lim n a n < + habrá convergencia solo si 1 x < an. n lim Por lo estudiado en sucesiones, sabemos que: Si existe lim n a n también existe lim n a n, luego en ciertos casos podemos así determinar el radio de convergencia. Si existe lim a n n a n 1 también existe lim an y son iguales, luego en ciertos casos podemos así determinar el radio de convergencia.

22 Campo de convergencia Una vez determinado el intervalo de convergencia, si R +, se ha de estudiar la convergencia de las series numéricas: a n R n ; a n ( R) n si ambas convergen, el campo de convergencia es [ R, R]. si ambas series divergen, el campo de convergencia es ( R, R). si solo converge a n R n, el campo de convergencia es ( R, R]. si solo converge [ R, R). a n ( R) n, el campo de convergencia es

23 Justificación del criterio de la raíz Sea b n, n b n 0. Sea lim n b n = α < 1. Por las propiedades de los ĺımites: dado ε < 1 α, n 0 IN tal que n n 0 n bn < α + ε = α 1 < 1 b n < α n 1 luego n=n 0 b n n=n 0 α n 1 Por lo que la suma de infinitos términos de la serie está acotada por una progresión geométrica convergente

24 En el interior del campo de convergencia uniforme, se cumple: Si S (x) = a n x n, S (x) es continua. Si S (x) = a n x n S (1 (x) = na n x n 1 = (n + 1) a n+1 x n n=1 Campo de convergencia uniforme es: cualquier intervalo cerrado que esté contenido en el campo de convergencia.

25 Desarrollo de una función en serie de potencias Sabemos que a una función que sea indefinidamente derivable, podemos aplicarle la fórmula de Taylor o MacLaurin, según el punto que estemos considerando y obtendremos: f (x) = n=n a n x n + T n (x) = S n (x) + T n (x) y será f (x) = a n x n = lim S n (x) cuando lim T n (x) = 0 Por lo que el desarrollo en serie de MacLaurin es ĺıcito para todo valor de x que, sustituido en el término complementario, cumpla la condición anterior.