Series y sucesiones de números complejos

Transcripción

1 1 Universidad Simón Bolívar. Preparaduría nº 8. Series y sucesiones de números complejos Definición: una sucesión de números complejos tiene un límite si para todo existe un tal que si, entonces. Escribimos: Teorema: sean y, entonces: Definición: Sean una expresión de la forma: números complejos. Definimos a una serie de números complejos como Tenemos: Si existe el límite finito de la sucesión de sumas parciales, es decir: Entonces se dice que la serie converge a la suma S. Teorema: sean y. Entonces: Sea la serie de potencias denotada por: Teorema de Abel

2 2 Si ésta converge en el punto, entonces converge absolutamente en todos los puntos que satisfacen la desigualdad, es decir, en todos los puntos interiores a. Si ésta diverge en el punto, entonces es divergente en todos los puntos que satisfacen la desigualdad, es decir, en todos los puntos exteriores a. Podemos afirmar que el campo de convergencia (curva verde) de la serie es un radio de disco abierto con centro en el origen. El radio de este disco se denomina radio de convergencia (r). Si entonces la serie converge en un único punto. Si entonces la serie converge en todo el plano complejo. En el borde de puede ocurrir cualquier cosa. Adicionalmente: Factorial de Stirling para infinitos equivalentes: cuando en alguna expresión donde se tiene que: aparezca Si se tiene la función definida por: Teorema de derivación de series de potencias La cual converge en el disco, entonces f es analítica en el disco y su derivada viene dada por:

3 3 Teorema de Taylor (teorema converso) Sea una función analítica en un abierto U y. Entonces, puede ser representada en forma de serie de Taylor: Función Desarrollo 1. Halle el radio de convergencia de la siguiente serie: Vemos que la serie tiene la forma (una serie de potencias). En tal caso, identificamos:

4 4 El radio de convergencia podemos calcularlo mediante dos formas distintas: Método 1: Método 2: 2. Halle el radio de convergencia de la siguiente serie: Vemos que la serie tiene la forma (una serie de potencias). En tal caso, identificamos: Calculamos entonces el radio de convergencia: 3. Halle el radio de convergencia de la siguiente serie: Tenemos entonces una serie de potencias. Identificamos: Calculamos el radio de convergencia:

5 5 Tenemos entonces una indeterminación del tipo. Resolvemos por separado: Aplicando la regla de L Hopital: Finalmente: 4. Halle la suma de la serie: Desarrollamos la serie: Sabemos que: Derivamos: Derivamos por segunda vez:

6 6 Multiplicamos la serie (1) por y la serie (2) por : Ahora bien: Finalmente, la suma será: 5. Alrededor de, represente la siguiente función en serie de Taylor: Sabemos que: Adicionalmente, se tiene que: Es decir: Igualando se obtienen los valores de las constantes:

7 7 La función podemos escribirla como: Tendremos entonces: Como se trata de una serie geométrica se tiene que ésta será convergente cuando razón será, a lo cual, se obtendrá que ésta será convergente cuando.. En este caso, la Como z es un número complejo se tiene que: Básicamente, el conjunto radio de convergencia será. será el campo de convergencia de la serie. El De la misma manera: La razón será, a lo cual, la serie será convergente cuando. Se tiene pues:

8 8 Básicamente, el conjunto radio de convergencia será. será el campo de convergencia de la serie. El Finalmente, la serie de Taylor de la función será: Tenemos dos maneras de hallar el radio de convergencia: Método 1:

9 9 Método 2: buscamos la intersección de los campos de convergencia: La serie es convergente sólo en el interior de que es, básicamente, el campo de convergencia. El radio de este campo será el radio de convergencia, así que. 6. Halle el desarrollo de la serie de Taylor de alrededor de. Tenemos: 7. Calcule los primeros cuatro coeficientes de la serie de Taylor centrada en de la función: Tenemos que la función viene dada por:

10 10 El desarrollo de la serie de Taylor vendrá dado por: Ahora, sabemos que: Entonces: Dividimos polinomios y obtenemos entonces una expresión de la forma: Una vez efectuada la operación se obtendrá: Así, los cuatro primeros términos del desarrollo de la serie de Taylor serán: 8. Halle el desarrollo de MacLaurin de la función: Notemos que podemos escribir la función como: Sabemos que: Entonces:

11 11 9. Halle los cuatro primeros términos no nulos del desarrollo de Taylor centrado en y determine en qué región es válido el desarrollo de la función: Tenemos que: Separamos los desarrollos: Adicionalemente: Ahora bien:

12 12 Ahora bien: En general: Entonces: De manera análoga: Finalmente, los cuatro primeros términos serán: 10. Sea C la curva parametrizada por con. Calcule la integral: Tenemos que:

13 13 Entonces: Básicamente, queremos calcular: Vemos que la parametrización viene dada por: Es decir: No nos interesa cuál es la curva que describe. Como queremos calcular la integral de línea a lo largo de C, sólo nos interesa saber si ésta es una curva cerrada (su inicio es igual a su final). Vemos que si entonces, de la misma manera, si se tiene que el valor de la parametrización es, lo que demuestra que C es una curva cerrada. Nos importa saber si los puntos y están dentro de ésta, debido que en estos la función no es analítica. Sabemos que si un punto está dentro de una curva entonces se cumple que. Lo que nos indica que está dentro de la curva. Lo que nos indica que está fuera de la curva. Básicamente:

14 14 Siendo una función analítica dentro de C y, entonces: Se agradece la notificación de errores Christian Laya