MATEMÁTICAS ESPECIALES I PRÁCTICA 8 - CLASE 1 Sucesiones y series de funciones. x n, si 0 x 1 1, si x 1. 0, si 0 x < 1

Transcripción

1 PRÁCTICA 8 - CLASE Sucesiones y series de funciones.. Considere la sucesión de funciones reales ϕ n (x) = x n, si 0 x, si x, n. (a) Demostrar que converge puntualmente a ϕ(x) = 0, si 0 x <, si x. (b) Probar que la convergencia es uniforme en el intervalo [0, x 0 ], x 0 <. (c) Converge uniformemente en [0, ]? 2. Considere la sucesión de funciones reales ϕ n (x) = 4 n2 x 2 + nx, si 0 x 4 n 4 0, si n x 4, n. Demuestre que la función converge puntualmente a la función ϕ(x) = 0 para 0 x 4 pero que la convergencia no es uniforme cerca del cero. (Este ejemplo muestra que una sucesión de funciones continuas puede converger a una función límite continua aunque la sucesión no converja uniformemente). x 3. Dada la sucesión de funciones reales ϕ n (x) =, demostrar que converge uniformemente + nx2 a ϕ(x) = 0 en IR pero que lim n ϕ n(x) ϕ (x). 4. Considere la sucesión ϕ n (x) = nx( x 2 ) n para 0 x. (a) Probar que ϕ n 0 en [0, ]. (b) Calcular que lim n 0 ϕ n (x)dx 5. Considere la sucesión ϕ n (z) = z 2n, n. y decidir si la convergencia es uniforme. (a) Comprobar que converge puntualmente a ϕ(z) = si z <. (b) Comprobar que la convergencia es uniforme en el disco z a, a <. (c) Comprobar que ϕ n(z) converge uniformemente a ϕ (z) en el disco z a, a <. 6. Sea ϕ n (z)} una sucesión de funciones analíticas en un dominio D, simplemente conexo, que converge uniformemente a ϕ(z) en D. Demostrar que ϕ es analítica en D. 7. Considere la serie dada por z( z) + z 2 ( z) + z 3 ( z) + (a) Demostrar que converge puntualmente para z < y encontrar su suma.

2 (b) Probar que converge uniformemente a su suma en z /2. Converge uniformemente en z? (c) Comprobar que su suma es discontinua en z =. 8. Demostrar que las series (a) n (b) n 2 z n n n + n 2 + z 2 son absoluta y uniformemente convergentes en z. 9. Demostrar que la serie ( ) n n + z n 2 es uniformemente convergente para todo z pero no es absolutamente convergente para ningún valor de z. 0. Calcule el radio de convergencia de cada una de las siguientes series de potencias y estudiar el comportamiento en el borde del disco de convergencia. (a) n (b) n (c) n ( + 2i) n n n ( ) n n z n zn(n+) (z + 2) n 4 n (n + ) 3. Considere la serie dada por + az + a 2 z 2 + a 3 z 3 + (a) Para qué valores de z converge puntualmente? (b) Cuál es su suma? Converge uniformemente a su suma? (c) Esta suma, define una función analítica? 2

3 PRÁCTICA 8 - CLASE 2 Desarrollo en series de Taylor. Ceros de funciones analíticas. Dadas las siguientes funciones, hallar su desarrollo en series de potencias positivas alrededor del punto z 0 = 0 y determinar su región de convergencia en cada caso. (a) f(z) = sinh z (b) f(z) = cos z (c) f(z) = az + b, b 0 (d) f(z) = ze 2z 2. Desarrollar sinh z en series de Taylor alrededor del punto z 0 = iπ. 3. Desarrollar cos z en series de Taylor alrededor del punto z 0 = π/2. 4. Probar que si c es una constante compleja y f(z) = e cz z, z 0 c, z = 0 entonces, f es entera. 5. Si se elige la rama de la función f(z) = + z 3 de manera tal que f(0) =, mostrar que = + z 3 2 z z z9 +, z <. 6. Sea f(z) = ln( + z) y considere la rama para la cual f(0) = 0. (a) Encontrar el desarrollo en series de Taylor de f(z) alrededor de z 0 = 0. (b) Determinar la región de convergencia para la serie hallada. (c) Encontrar el desarrollo en series de Taylor para la función g(z) = ln z 0 = 0. Sugerencia: integrar la serie de Mclaurin para de convergencia desde s = 0 hasta s = z. + s ( ) + z alrededor de z a lo largo de un contorno interior al círculo 7. Encontrar la suma de la serie ( + n)z n para z <. Sugerencia: derivar ambos lados de la identidad z = + z + z Sea f(z) = arctan z y considere la rama para la cual f(0) = 0. Probar que: Sugerencia: integrar la serie de Mclaurin para de convergencia desde s = 0 hasta s = z. arctan z = z z3 3 + z5 5 z7 +, si z <. 7 3 a lo largo de un contorno interior al círculo + s2

4 9. Suponga que f(z) y g(z) son funciones analíticas en un entorno de z 0 y que g(z 0 ) = f(z 0 ) = 0, con g (z 0 ) 0. Pruebe que: f(z) lim z z 0 g(z) = f (z 0 ) g (z 0 ) 0. Desarrollar en series de potencias de z las siguientes funciones: (a) f(z) = e z ln( + z) (b) f(z) = cos z + z (c) f(z) = (ln( + z)) 2 Sugerencia: emplear la multiplicación de series.. Halle el orden del cero z 0 = 0 para las funciones: (a) f(z) = z 2 (e z2 ) (b) f(z) = 6 sin z 2 + z 2 (z 4 6) (c) f(z) = z 3 e z El punto z 0 es un cero de orden k para la función f(z) y un cero de orden l k para la función g(z). De qué orden es z 0 cero de las funciones que siguen a continuación? (a) h(z) = f(z)g(z) (b) h(z) = f(z) + g(z) (c) h(z) = f(z) g(z) 3. Hallar el orden de todos los ceros de las funciones dadas. (a) f(z) = z 2 (cos z ) (b) f(z) = (e πz ) 2 (z 4i) (c) f(z) = (2z 9π) 2 (e iz i) cos z (d) f(z) = z 2 ( cosh z) sin z (e) f(z) = cos z z (f) f(z) = (z 2 π 2 ) 2 + sin z 4

5 PRÁCTICA 8 - CLASE 3 Propiedades locales de las funciones analíticas. Sea f : Ω IC y z 0 Ω. Demostrar que si f es continua en z 0 y f(z 0 ) 0, entonces existe una vecindad de z 0 para la cual f(z) Sea f : Ω IC y z 0 Ω. Demostrar que si f es analítica en Ω y f(z 0 ) 0, entonces existe una vecindad de z 0 para la cual g(z) = es analítica. f(z) 3. Sea f : Ω IC y z 0 Ω. Demostrar que si f es analítica en z 0 y z 0 es un cero de orden finito, existe una vecindad de z 0 en la cual no existen otros ceros de f(z). 4. Sea f : Ω IC y z 0 Ω. Demostrar que si f es analítica en z 0 y z 0 es un cero de orden infinito, entonces f(z) es idénticamente nula en cualquier entorno de z Sea f : Ω IC una función analítica en Ω tal que f(z) = 0 para todos los puntos z que pertenecen a un arco contenido en Ω. Demostrar que f(z) es idénticamente nula en Ω. 6. Utilizar el ejercicio anterior para obtener cada una de las siguientes identidades para todo z en IC a partir de las identidades correspondientes cuando z es real. (a) sinh z + cosh z = e z (b) sin 2z = 2 sin z cos z 7. Considérense dos funciones f y g, analíticas en D = z IC : 2 < Im(z) < 2}. Supóngase que f(z) = g(z) para todos los z tal que z < Probar que f(z) = g(z) en todo el conjunto D. 8. Ejemplificar el Principio del Módulo Máximo (y Mínimo) cuando: (a) f(z) = ( + z) 2 y Ω es la región triangular con vértices en los puntos z = 0, z = 2 y z = i. (b) f(z) = z 2 3z + 2 y Ω es el disco z. Hacer esto encontrando puntos en Ω donde f(z) toma valores máximos y mínimos. 9. Hallar el valor máximo que e z toma en Ω : z = x + iy, 0 x, 0 y π/2}. 0. Demostrar el Lema de Schwarz: (a) Si una función f es analítica en el círculo z y, además se tiene que f(0) = 0 y f(z), entonces f(z) z en todo el círculo. (b) Si además en el menos un punto interior del círculo f(z) = z entonces f(z) = e iα z, donde α IR. Sugerencia: considerar la función f(z)/z y aplicarle a ella el Principio del Módulo Máximo.. Hallar todos las funciones enteras tales que lim f(z) = 5. z 5