MATE Dr. Pedro V squez UPRM. P. V squez (UPRM) Conferencia 1/ 23

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1 Dr. Pedro V squez UPRM P. V squez (UPRM) Conferencia 1/ 23

2 Series de potencias MATE 4009 IntroducciÛn Recuerde que una serie de potencias en x! a es una serie inönita de la forma: c n (x! a) n = (1) n=0 La serie anterior se dice que est centrada en a. Por ejemplo: n=0 (x! π) n est centrada en. Es importante recordar algunos conceptos: P. V squez (UPRM) Conferencia 2/ 23

3 Convergencia Recuerde una serie de potencias (1) converge si: lim S N (x) = lim existe. N! N! Intervalo de convergencia Toda serie de potencias tiene un intervalo de convergencia, que es un subconjunto de los n meros reales x para los cuales la serie converge. Radio de convergencia Toda serie de potencia tiene un radio de convergencia R. Si R > 0, entonces la serie (1) converge para jx! 1j < R y diverge fuera del intervalo. Si R = 0, la serie solo converge para x = a. Si R =, la serie converge para todo n mero real x. Convergencia absoluta En el intervalo de convergencia una SP converge absolutamente. P. V squez (UPRM) Conferencia 3/ 23

4 Prueba de la razûn En muchos casos la convergencia de una SP se determina por la prueba de la razûn. Suponga que c n 6= 0 para todo n y que: c n+1 (x! a) n+1 lim n!! c n (x! a) n! = Si L < 1, la serie converge; si L = 1 la prueba no es concluyente y si L > 1 la serie diverge. Una serie de potencias deöne una funciûn Una SP deöne una funciûn f (x) = c n (x! a) n cuyo dominio es el intervalo de convergencia de la n=0 serie. Si R > 0, entonces f es continua, diferenciable e integrable en el intervalo (a! R, a + R). Adem s, f 0 (x) y R f (x) dx se pueden determinar diferenciando e integrando tèrmino a tèrmino. Por ejemplo si y = c n x n es una SP en x, entonces: y 0 = n=0 nc n x n!1, y 00 = n (n! 1) c n x n!2 n=10 n=2 P. V squez (UPRM) Conferencia 4/ 23

5 Propiedad de la identidad Si n=0 n meros x en el IC, entonces c n = 0 para todo n. c n (x! a) n = 0, R > 0 para todos los Punto analìtico Una funciûn f es analìtica en un punto a si puede ser representada por una SP en x! a con un radio de convergencia positivo o inönito. Recuerde las series de potencia para las funciones e x, cos x. sin x, ln (1! x) para a = 0 y su RC es inönito. Entonces, sus SP son analìticas en x = 0. AritmÈtica de SP Las SP se pueden combinar a travès de las operaciones de suma, multiplicaciûn o divisiûn. P. V squez (UPRM) Conferencia 5/ 23

6 TraslaciÛn de Ìndices Al resolver ED usando el mètodo de SP se aplicar n los cambios de Ìndices de las sumas inönitas para que todas las series envueltas tengan la misma potencia. Ejemplos 1 Halle el RC e IC de (100) n n=0 n! (x! 3) n P. V squez (UPRM) Conferencia 6/ 23

7 2 Reescriba la siguiente SP en la cual aparezca la potencia x k : nc n x n+2! c n x n+1 n=1 n=0 P. V squez (UPRM) Conferencia 7/ 23

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9 SoluciÛn de ED usando SP La ED de 2do orden: a 2 (x) y 00 + a 1 (x) y 0 + a 0 (x) y = 0 (2) se puede escribir en su forma est ndard dividiendo por a 2 (x): y 00 + p (x) y 0 + q (x) y = 0 (3) Punto singular ordinario Un punto x 0 se dice que es un punto ordinario de la ED (2) si las funciones p (x) y q (x) en la ED (3) son analìticas en x 0. Un punto que no es ordinario, se dice que es un punto singular de la ecuaciûn. Theorem Existencia de soluciones de SP Si x = x 0 es un punto ordinario de la ED (2), siempre se pueden encontrar dos soluciones linealmente independientes en la forma de SP centradas en x 0, esto es, y = c n (x! x 0 ) n. Una soluciûn de series converge al n=0 menos en un intervalo deönido por jx! x 0 j < R, donde R es la distancia desde x 0 hasta el punto singular m s cercano. P. V squez (UPRM) Conferencia 9/ 23

10 3 Halle dos soluciones en SP de la ED dada para el punto ordinario x = 0 de: y 00 + x 2 y = 0 P. V squez (UPRM) Conferencia 10 / 23

11 P. V squez (UPRM) Conferencia 11 / 23

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13 4 Halle dos soluciones en SP de la ED dada para el punto ordinario x = 0 de: # x 2! 1 $ y 00 + xy 0! y = 0 P. V squez (UPRM) Conferencia 13 / 23

14 P. V squez (UPRM) Conferencia 14 / 23

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16 5 Resuelva el PVI por el mètodo de SP (x + 1) y 00! (2! x) y 0 + y = 0, y (0) = 2, y 0 (0) =!1 P. V squez (UPRM) Conferencia 16 / 23

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