MATE Dr. Pedro Vásquez UPRM. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1/ 24

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1 Dr. Pedro Vásquez UPRM P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1/ 24

2 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 2/ 24 MATE 3031 Valores máximos y mínimos Las aplicaciones más importantes del cálculo diferencial se dan en los problemas de optimización, en los cuales se desea obtener lo óptimo (lo mejor) de algo. Por ejemplo, podemos mencionar: 1 Minimizar los costos de una compañía que produce un cierto producto. 2 Maximizar las ganancias de una empresa. 3 Determinar la máxima aceleración de una nave espacial. Los problemas anteriores se reducen a determinar los valores máximos y mínimos de una función.

3 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 3/ 24 Observe la siguiente gráfica: El punto más alto de la gráfica es (3,5), es decir el valor más grande de f es f (3) = 5 El punto más bajo de la gráfica es (6,2), es decir el valor más pequeño de f es f (6) = 2

4 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 4/ 24 Definición: Seac un número en el dominio D de una función f. Entonces f (c) es el: valor máximo absoluto de f en D si f (c) f (x) para todo x en D. valor mínimo absoluto de f en D si f (c) f (x) para todo x en D. f (a) es un mínimo absoluto f (d) es un máximo absoluto Nota: Los máximos o mínimos absolutos también se les llama máximos o mínimos globales

5 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 5/ 24 En general, si se consideran intervalos que contienen a ciertos números del dominio se puede determinar máximos o mínimos en dichos intervalos. Por ejemplo, en la gráfica anterior, si se construye un intervalo alrededor de b se puede concluir que f (b) es el mayor valor en dicho intervalo, es ese caso se dice que existe un máximo local. Similarmente, si se construye un intervalo alrerdedor de a se puede concluir que f (a) es el menor valor en dicho intervalo, es ese caso se dice que existe un mínimo local. Lo anterior nos lleva a la siguiente definición: Definición: Elnúmerof (c) es un: valor máximo local de f si f (c) f (x) cuando x está cerca de c. valor mínimo local de f si f (c) f (x) cuando x está cerca de c. De la gráfica anterior, podmeos decir que f posee mínimos locales en c y e, y máximos locales en b y d.

6 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 6/ 24 Ejemplos 1. En la siguiente gráfica, para cada número a, b, c, d, r y s, determine si la gráfica posee un mínimo o máximo local y absoluto o ninguno de ellos.

7 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 7/ En la siguiente gráfica, determine los valores máximos o mínimos absolutos de la función g (x).

8 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 8/ Trace la gráfica de una función f continua en [1, 5] y que satisface: tiene un máximo absoluto en 5, un mínimo absoluto en 2, máximo local en 3ymínimoslocalesen2y4. y x

9 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 9/ Trace la gráfica de la función f (x) = sin x, 0 x < p 2 valores máximos y mínimos absolutos y locales de f y e identifique los x

10 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 10 / 24 MATE 3031! 4 x 2 si 2 x < 0 5. Trace la gráfica de la función f (x) = 2x 1 si 0 x 2 identifique los valores máximos y mínimos absolutos y locales de f y e x

11 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 11 / 24 MATE 3031 Se han discutido ejemplos de funciones donde algunas tienen valores extremos y otras no. El siguiente teorema da algunas condiciones para que una función posea valores extremos: Theorem (Teorema del valor extremo) Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f tiene un valor máximo absoluto f (c) y un valor mínimo absoluto f (d) en algunos números c y d en [a, b]. Los diferentes casos del teorema del valor extremo se ilustran en la siguiente gráfica:

12 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 12 / 24 El teorema del valor intermedio indica que una función continua en un intervalo cerrado tiene un máximo y un mínimo absoluto, sin embargo no nos indica como hallarlos. Por ejemplo observe la siguiente gráfica: La función f tiene un mínimo local en d y un máximo local en c. Observe que en los puntos de máximos o mínimos las rectas tangentes parecen tener pendiente 0, es decir: f 0 (c) = 0, f 0 (d) = 0

13 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 13 / 24 El siguiente teorema, confirma las observaciones anteriores: Theorem (Fermat) Si f tiene un máximo o mínimo local en c, y f 0 (c) existe, entonces f 0 (c) = 0.

14 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 14 / 24 Definición: Un número crítico de una función f es un número c en el dominio de f tal que f 0 (c) = 0 ó f 0 (c) no existe. 6. Halle los número críticos de: a. f (x) = x 3 + 6x 2 15x

15 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 15 / 24 b. f (p) = p 1 p 2 + 4

16 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 16 / 24 c. f (x) = x 2 ln x

17 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 17 / 24 Nota: Sif tiene un máximo o mínimo local en c, entonces c es un número crítico de f. Para hallar los máximos y mínimos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado, se observó en los ejemplos, que es un extremo local (en este caso ocurre en un número crítico) u ocurre en un extremo del intervalo. Se sugiere considerar los siguientes pasos para hallar los máximos y mínimos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado [a, b]: 1 Halle los valores de f en los números críticos de f en (a, b). 2 Halle los valores de f en los extremos del intervalo. 3 El mayor de los valores en los pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto y el menor de los valores es el valor mínimo absoluto.

18 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 18 / Halle los valores máximos y mínimos absolutos de f en el intervalo dado: a. f (x) = x 2x 3, [0, 4]

19 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 19 / 24 b. f (x) = x + 1, [0.2, 4] x

20 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 20 / 24 c. f (t) = t + cos (t/2), [p/4, 7p/4]

21 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 21 / 24 d. f (x) = x ln x 3, " 1 2, 2#

22 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 22 / 24 MATE Un objeto con peso W es arrastrado sobre un plano horizontal por una fuerza que actúa sobre una soga atada al objeto. Si la soga hace un ángulo q con el plano, entonces la magnitud de la fuerza es: F = µw µ sin q + cos q donde µ es una constante positiva llamada el coeficiente de fricción y donde 0 q p/2. Demuestre que F alcanza su mínimo cuando tan q = µ.

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