MATE Dr. Pedro Vásquez UPRM. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 24

Transcripción

1 Dr. Pedro Vásquez UPRM P. Vásquez (UPRM) Conferencia / 4

2 Grá cas de ecuaciones en dos variables Una ecuación en dos variables expresa una relación entre dos cantidades. Un punto (x, y) satisface una ecuación si al sustituirlo en ella los valores x e y, la igualdad se cumple. Ejemplo Dada la ecuación x + y = 6 se satisface para: (, ) porque + = 6 p, 4 porque p + 4 = 6 Pero el punto (, ) no satisface porque + = 4 6= 6 La grá ca de una ecuación en x e y es el conjunto de todos los puntos (x, y) en el plano coordenado que satisfacen la ecuación. P. Vásquez (UPRM) Conferencia / 4

3 Ejemplos.Trazar la grá ca de y = x + Se hace una tabla de valores: y 4 x y = x + (x, y) (, ) 0 (0, ) (, ) 4 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 4 / 4

4 . Trazar la grá ca de y = x + Se hace una tabla de valores: y 4 y y = x + x = y (x, y), 0 (0, ) 0, 0 0 (0, ), 4 4 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 4 / 4

5 Interceptos MATE 7 Las coordenadas x de los puntos donde la grá ca corta al eje X son llamados los interceptos de x de la grá ca y se obtienen haciendo y = 0 en la ecuación de la grá ca. Las coordenadas y de los puntos donde la grá ca corta al eje Y son llamados los interceptos de y de la grá ca y se obtienen haciendo x = 0 en la ecuación de la grá ca. Interceptos Como hallarlos Grá ca Eje X : Las coordenadas de x de los puntos donde la grá ca corta al eje X Eje Y : Las coordenadas de y de los puntos donde la grá ca corta al eje Y Haga y = 0 y resuelva para x Haga x = 0 y resuelva para y P. Vásquez (UPRM) Conferencia 5 / 4

6 90 Simetrías MATE 7 Tipos Prueba Grá ca Eje X La ecuación no cambia al sustituir y por y p. Eje Y La ecuación no cambia al sustituir x por x Origen La ecuación no cambia al sustituir y por y y x por x P. Vásquez (UPRM) Conferencia 6 / 4

7 Ejemplos Halle los interceptos e indique el tipo de simetría de:. y = 4x x Eje X Eje Y y = 0 x = 0 4x x = 0 y = 0 x (4 x) = 0 x = 0, x = 4 (0, 0), (4, 0) (0, 0) Simetrias no no P. Vásquez (UPRM) Conferencia 7 / 4

8 . x + y x y = 64 Al observar la grá ca: Eje X Eje Y y = 0 x = 0 x = 64 y = 64 x = 8 y = 4 ( 8, 0), (8, 0) (0, 4) Simetrias no si P. Vásquez (UPRM) Conferencia 8 / 4

9 Ejemplos Haga una tabla de valores e indique los interceptos, el tipo de simetría y trace la grá ca de:.y = x Se hace una tabla de valores: y 4 x y = x (x, y), 0 0 (0, 0), Simetrias Eje X Eje Y Origen 8 ( y) = ( x) 8 ( y) = = 8y x ( x) 8y = x no no si 4 4 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 9 / 4

10 .y = p 4 x Se hace una tabla de valores: x y = p 4 x (x, y) 0 (, 0) p p, 0 (0, ) p p, 0 (, 0) Simetrias Eje X Eje Y Origen q ( y) = y 4 ( x) = p q 4 x ( y) = 4 ( x) y = p 4 x no si no P. Vásquez (UPRM) Conferencia 0 / 4

11 y 4 x P. Vásquez (UPRM) Conferencia / 4

12 Ecuación de la circunferencia (círculo) "La circunferencia de un círculo es el conjunto de puntos P (x, y) en el plano cuya distancia, llamada radio, r, a un punto jo, llamado centro, C (h, k), es siempre constante". P. Vásquez (UPRM) Conferencia / 4

13 Ecuación de la circunferencia: Se obtiene al aplicar la fórmula de distancia entre el centro C (h, k) y un punto P (x, y) sobre la curva: q (x h) + (y k) = r d (C, P) = Elevando q al cuadrado: (x h) + (y k) = r ) (x h) + (y k) = r Es llamada la ecuación de la circunferencia en su forma estándard. Nota: Si el centro del círculo está en el origen, es decir, C (0, 0), entonces la ecuación es: x + y = r, cuya grá ca posee las tres simetrías al mismo tiempo. P. Vásquez (UPRM) Conferencia / 4

14 A continuación se presenta la grá ca de x + y = 5 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 4 / 4

15 Ejemplos. Halle el centro y radio de x + (y ) = 6 y trace su grá ca El centro es C (0, ) y el radio es r = p 6 y x P. Vásquez (UPRM) Conferencia 5 / 4

16 .Halle el centro y radio de x 6x + y + 5y 4 = 0 y trace su grá ca Completando cuadrados: + 5 x 6x y + 5y + 5 = Factorizando y simpli cando: (x ) + y + 5 = 77 El centro es C, 5 y y el radio es r = p 77 4 x P. Vásquez (UPRM) Conferencia 6 / 4

17 Rectas MATE 7 Objetivo es determinar la ecuación de una recta en el plano, las cuales dependen de su inclinación. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 7 / 4

18 Pendiente de una recta El concepto de pendiente está relacionado con la distancia que se mueve hacia la derecha (cambio en x) y la cantidad que aumenta o disminuye verticalmente (cambio en y). La pendiente m de una recta no vertical que pasa por los puntos A (x, y ) y B (x, y ) es: m = cambio en y cambio en x = y y x x P. Vásquez (UPRM) Conferencia 8 / 4

19 EjemplosHalle la pendiente de las rectas que pasan por los puntos:. A (, ) y B ( 4, ) La pendiente es: m = 4 = 5 6 > 0. A (6, ) y B ( 4, ) La pendiente es: m = 4 6 = 0 la recta es horizontal. A (, ) y B (, ) La pendiente es: m = no existe la recta es vertical 4. A (, ) y B (4, ) La pendiente es: m = 4 ( ) = 6 7 < 0 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 9 / 4

20 Ecuación de una recta MATE 7 Punto-pendiente: la ecuación de una recta que pasa por el punto (x, y ) y tiene pendiente m es: y y = m (x x ) Intercepto eje Y - pendiente: la ecuación de una recta que intercepta al eje Y en (0, b) y tiene pendiente m es: y = mx + b La ecuación general de una recta: la grá ca de toda ecuación lineal Ax + By + C = 0 (A, B 6= 0) es una recta. Equivalentemente, toda recta es la grá ca de una ecuación lineal. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 0 / 4

21 EjemplosResuelva los siguientes ejercicios:. Halle la ecuación de la recta cuya grá ca se muestra Hallamos la pendiente: m = 5 8 = 4 6 = > 0 Usando el caso punto-pendiente y considerando el punto (, ), la ecuación de la recta es: y = (x ) simpli cando: y = x 4 + = x P. Vásquez (UPRM) Conferencia / 4

22 . Halle la ecuación de la recta que pasa por (, ) y tiene pendiente Usando el caso punto-pendiente y considerando el punto (, ), la ecuación de la recta es: y ( ) = (x ) simpli cando: y = x 4 = x 7 La grá ca es: y x P. Vásquez (UPRM) Conferencia / 4

23 . Halle la ecuación de la recta que intercepta al eje Y en (0, ) y tiene pendiente 5 Usando el caso intercepto-pendiente, la ecuación de la recta es: y = 5 x La grá ca es: y x P. Vásquez (UPRM) 6Conferencia / 4

24 4. Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos (, ) y (, 4) Hallamos la pendiente: m = 4 ( ) = 5 > 0 Usando el caso punto-pendiente y considerando el punto (, 4), la ecuación de la recta es: y 4 = 5 (x ) simpli cando: y = 5 x = 5 x La grá ca es: y 5 4 x P. Vásquez (UPRM) Conferencia 4 / 4