MATE Dr. Pedro Vásquez UPRM. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1/ 13

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1 Dr. Pedro Vásquez UPRM P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1/ 13

2 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 2/ 13 Ecuaciones Ejemplos 1 La suma de tres números enteros positivos consecutivos es 50, halle los números. En este caso puede definir a x como el primer número, x + 1comoelsegundonúmeroyx + 2 como el tercer número, la ecuación a resolver es: x + x x + 2 = 50: 2 El perímetro de un rectángulo es 60 pies. Encuentre su longitud (l) y su ancho (a) si la longitud es 8 pies más larga que su ancho Se debe resolver la ecuación 2a + 2 (a + 8) = 60 Expresión algebraica Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. 3 Las ecuaciones de los ejemplos anteriores representan expresiones algebraicas. 4 8x! 4y = 3x + 36.

3 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 3/ 13 MATE 3086 Ecuación Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos (números reales), y desconocidas o incógnitas (variables), relacionados mediante operaciones matemáticas. Propiedades Para resolver ecuaciones es importante recordar las siguientes propiedades: Propiedad de la identidad de la igualdad: Para todo a 2 R, a = a. Propiedad del inverso aditivo de la igualdad: Para todo a 2 R, a + (!a) = 0. Propiedad conmutativa de la igualdad: Para todo a, b 2 R, si a = b, entonces b = a. Propiedad transitiva de la igualdad: Para todo a, b, c 2 R, si a = b, y b = c, entonces a = c. Propiedad aditiva de la igualdad: Para todo a, b, c 2 R, si a = b, entonces a + c = b + c. Propiedad multiplicativa de la igualdad: Para todo a, b, c 2 R, si a = b, entonces a # c = b # c.

4 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 4/ 13 5 Algunas aplicaciones de las propiedades: a Si a = 3, existe!a =!3 tal que 3 + (!3) = 0 1 b Si 5 = 5 existe un número real c tal que 5 + c = 5 + c, paracualquier valor de c. Conjunto solución El conjunto solución de una ecuación es el subconjunto de los números reales que al sustituirse por las variables satisfacen la ecuación. Ecuación lineal Una ecuación en la variable x es lineal si se puede expresar en la forma ax + b = c, dondea, b y c son números reales, y a 6= 0.

5 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 5/ 13 MATE 3086 Pasos para resolver una ecuación lineal. 1Paso 1 Simplificar cada lado de la ecuación. Paso 2 Aplique las propiedades aditiva e inverso aditivo de la igualdad tantas veces como sea necesario para aislar la variable en un lado de la ecuación. Paso 3 Aplique la propiedad multiplicativa de la igualdad para determinar el valor de la variable que satisface la ecuación. 6 Resolver las siguientes ecuaciones: a 5x! 4 = 2x + 8 b 3 (2x + 4) = 3 (3! 4x) + 5

6 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 6/ 13 Solución de ecuaciones que contienen fracciones Primero se eliminan los denominadores y se procede similar al caso anterior. Pasos para resolver una ecuación con fracciones. 1Paso 1 Encuentre el mínimo común denominador (MCD) de todas las fracciones en la ecuación. Paso 2 Multiplique ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador. Paso 3 Resuelva la ecuación. 7 Resuelva las siguientes ecuaciones. a 3 5 x! 8 5 = 2 5 x + 3 5

7 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 7/ 13 1 b 2 3 (4z! 3) = 2 5! 15 1 (4z + 3) Solución de ecuaciones que contienen decimales Primero se eliminan los decimales y se procede similar al caso de las ecuaciones con coeficientes enteros. Pasos para resolver una ecuación con decimales. Paso 1 Exprese todos los números decimales con la misma cantidad de cifras decimales o exprese los decimales en forma de fracción y proceda como en el caso de ecuaciones con fracciones. Paso 2 Multiplique ambos lados por una potencia de 10 para eliminar los números decimales Paso 3 Resuelva la ecuación.

8 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 8/ 13 8 Resuelva las siguientes ecuaciones. a 3x! 4.2 = 2.15x + 3 b 2 (2.3x ) = 3 (3.12! 4.8x)

9 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 9/ 13 MATE 3086 Solución de ecuaciones con valor absoluto Para resolver ecuaciones lineales de una variable que contiene valor absoluto, se debe recordar lo siguiente: Valor absoluto El valor absoluto de un número real x se denota por x, ysedefineporlaregla: x =! x si x % 0!x si x < 0 Por ejemplo: 5 = 5,!8.5 =! (!8.5) = 8.5. Propiedades: 1 a % 0, para todo a 2 R 2 a % a, para todo a 2 R 3 a =!a 4 ab = a b

10 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 10 / 13 5 " a " = a b b, b 6= 0 6 a + b & a + b, desigualdad triangular 7 a = 0siysólosia = 0 8 a = b si y sólo si [b % 0 y (a = b o a =!b)] 9 a = p a 2 y a 2 = a 2 Pasos para resolver una ecuación con valor absoluto. Paso 1 Aisle la expresión con valor absoluto en un lado y la expresión restante en el otro lado de la ecuación. Paso 2 Aplique las propiedades 7, 8, ó 9 según sea el caso. Paso 3 Resuelva las ecuaciones resultantes. Paso 4 Verifique si las soluciones satisfacen la ecuación original.

11 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 11 / 13 9 Resuelva las siguientes ecuaciones. a 3x! 4 = 6 b 4x! 3 = 2! 3x

12 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 12 / 13

13 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 13 / 13