Unidad didáctica 4. Ecuaciones de primer y segundo grado

Transcripción

1 Unidad didáctica Ecuaciones de primer y segundo grado

2 1. Definición de ecuación. Una ecuación es una igualdad en la que existen cantidades conocidas y una cantidad desconocida, que se quiere averiguar, a la que se le da el nombre de incógnita y se suele representar con la letra x (aunque no siempre). La estructura de una ecuación es la siguiente: Los rectángulos simbolizan las expresiones matemáticas situadas al lado izquierdo y derecho. Al miembro de la izquierda se le llama también primer miembro y al de la derecha, segundo miembro. La igualdad () es un símbolo de orden (o un comparador). En el caso de que el símbolo de orden fuera (>,,, <) se llamaría inecuación..- Ecuación de primer grado con una incógnita (Ecuaciones lineales) Su forma general: a x + b 0, (donde a y b son números reales). Se llama de primer grado porque la incógnita, x, está elevada 1. Estas ecuaciones tienen una única solución. Ejemplo: x El proceso de resolución consiste en someter la ecuación original a sucesivos pasos algebraicos, consistentes en aislar en uno de sus miembros todos los términos que contiene la incógnita y al otro lado de la ecuación todos los números. A este proceso se le llama despejar la incógnita. Ejemplo de despejar la incógnita: x Ejemplo de resolución de una ecuación lineal sin paréntesis: 7x + 7 x x 9 1 er paso: agrupar los términos con la x en un miembro de la ecuación y los términos sin la x en el otro (recuerda que, al pasar un término de un miembro a otro de la ecuación, lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando): 7x x x º paso: operar: x er paso: despejar la x (recuerda que, al pasar un término de un miembro a otro de la ecuación, lo que está multiplicando pasa dividiendo y lo que está dividiendo pasa multiplicando): - x Unidad didáctica : Ecuaciones de primer y segundo grado pag. 1

3 ..- Ejemplo de resolución de una ecuación lineal con paréntesis: x (6x 5) x + (x + 16) 1 er paso: quitar paréntesis (Cuidado al multiplicar los signos): x x + 10 x + x + 19 º paso: agrupar los términos con la x en un miembro de la ecuación y los términos sin la x en el x x x x er paso: operar: 5x 18 º paso: despejar la x: x Ejemplo de resolución de una ecuación lineal con fracciones: x er paso: quitar denominadores haciendo el mínimo común múltiplo (m.c.m.) m.c.m. (,, ) 18x Ahora se puede quitar los denominadores: x 9x x x 18x + + 9x x º paso: agrupar los términos con la x en un miembro de la ecuación y los términos sin la x en el 18x 9x + x er paso: operar: 1x 7 º paso: despejar la x: 7 x 1 Unidad didáctica : Ecuaciones de primer y segundo grado pag.

4 .- Ecuaciones de segundo grado. Su forma general es: ax + bx + c 0 (donde a, b y c son números reales). Las soluciones de la ecuación se obtienen con la siguiente fórmula: x b ± b a ac La expresión b a c, se llama discriminante y permite conocer cuántas soluciones tiene la ecuación de segundo grado: Si > 0, la ecuación tiene dos soluciones distintas Si 0, la ecuación tiene dos soluciones guales. Si < 0, la ecuación no tiene solución. Se llaman ecuaciones de segundo grado incompletas a aquellas en las que b ó/y c son iguales a cero. Por ejemplo: x 0 ó x + x Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas con b 0. Ejemplo: x 0 1º paso: agrupar los términos con x en un miembro de la ecuación y los términos sin x en el x º paso: despejar la x : er paso: operar: x x 16 º paso: Calcular la raíz cuadrada. (Recuerda que las raíces de índice par tienen dos soluciones posibles una positiva y otra negativa). x 16 ± Unidad didáctica : Ecuaciones de primer y segundo grado pag.

5 ..- Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas con c 0. Siempre tiene dos soluciones y una de ellas siempre es cero. Ejemplo: x + x 0 1º paso: se saca factor común x. x ( x + ) 0 º paso: para que un producto de dos factores sea igual a cero, uno de los dos factores tiene que ser cero. Primer factor igual a cero: x 0 (que es una de las soluciones) Segundo factor igual a cero: x + 0 er paso: agrupar los términos con la x en un miembro de la ecuación y los términos sin la x en el x º paso: despejar la x: Las dos soluciones son: x x 0 y x..- Resolución de ecuaciones de segundo grado completas. Ejemplo: x x 1 0 Se sustituyen en la fórmula los coeficientes a, b y c por su valor: (-1) ± ( 1) ( 1) x 1 ± ± 9 1± Las soluciones son: x 1 y x 1 1 Unidad didáctica : Ecuaciones de primer y segundo grado pag.

6 Ejercicios 1.- Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: a) x 9x + 15 x 180 b) 6 x (x ) 7 (x ) c) (x 1) (x 5) d) (x 6) [x (x 8) + 1] ( x) e) f) x 6 x 5 x x g) x 15 h) x + x + x Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas: a) 7x b) x + 0 c) 9x x d) x 9x 0 e) x x 0.- Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado completas: a) x + x 6 0 b) 0x 100x 1 c) x x Cuanto vale el discriminante en las siguientes ecuaciones? a) x + x 9 0 b) 5x 6x c) x 1 x d) x x Indica cuáles de las siguientes ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones distintas, cuáles dos soluciones iguales y las que no tienen solución. a) x x b) x x c) x + x + 0 d) x + x + 0 e) x x + 0 f) x + x Unidad didáctica : Ecuaciones de primer y segundo grado pag. 5