Despejar una incógnita

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Eugenia Silva Rey
hace 6 años
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1 Ecuaciones

2 Despejar una incógnita Una ecuación es una igualad entre expresiones algebraicas que su cumplen para determinados valores de las variables denominados soluciones. Para ello, por lo general, hay que despejar la incógnita, para ello se aplica la misma operación en ambos miembros de la ecuación. x+3=0 x+3 3=0 3 x= 3 En general nos saltaremos el paso intermedio siguiendo las siguientes reglas: Si el número está sumando pasa restando. Si el número está restando pasa sumando. Si el número está multiplicando pasa dividiendo. Si el número está dividiendo pasa sumando. 3 x=5 3 3 x= 5 3 x= 5 3 Nota: Una fracción es una división. Por tanto el numerador que está multiplicando pasa dividiendo, y el denominador que está dividiendo pasa multiplicando. 3 4 x=5 6 x= x= 20 18

3 Ecuaciones de primer grado Para resolver una ecuación de primer grado: 3(x+3)=4 x 3 x+9=4 x 3 x x=4 9 Quitamos los paréntesis y denominadores si los hubiera. Juntamos las incógnitas a un lado y los términos independientes a otro lado de la ecuación. Agrupamos 2 x= 5 Despejamos la incógnita x= 5 2 = 5 2 = (5 2 ) Nota: Da igual donde coloquemos el signo -, aunque normalmente se pone o bien en el numerador o bien delante de la fracción.

4 Ecuaciones de segundo grado (i) Para resolver una ecuación de segundo grado se aplica la siguiente fórmula: ax 2 +bx+c=0 x= b± b 2 4 ac 2a Ejemplo: x 2 x 2=0 a=1 b=-1 c=-2 x= 1± ( 1) 2 4 1( 2) 2 1 = 1± 9 = 1±3 2 2 = x=2 x= 1

5 Ecuaciones de segundo grado (ii) Si la ecuación de segundo grado no está completa puede seguir aplicándose la fórmula general pero suele ser más sencillo resolverlas por los siguientes procedimientos: Ecuación de 2ºgrado incompleta b=0: Ecuación de 2ºgrado incompleta c=0: x 2 4=0 Despejamos la incógnita. x 2 x=0 Sacamos factor común. x 2 =4 x= 4 x=±2 Eliminamos el cuadrado realizando la raíz. Realizamos la raíz. x(x 1)=0 x=0 x 1=0 x=1 Resolvemos cada factor por separado.

6 Ecuaciones de grado mayor a 2 (i) Este tipo de ecuaciones se resuelven aplicando la regla de Ruffini. Sin embargo en ciertos casos pueden resolverse de una forma más cómoda: La ecuación se encuentra factorizada: x(x 1)(x 7)=0 Se resuelve cada factor por separado: x=0 x 1=0 x 7=0 x=1 x= 7 Es posible extraer factor común x=0 x 3 4 x=0 x(x 2 4)=0 Hacemos con el caso anterior y resolvemos cada factor por separado: x 2 4=0 x 2 =4 x= 4 x=±2

7 Ecuaciones de grado mayor a 2 (ii) Si no se puede extraer factor común o si al extraer nos queda una ecuación de grado 3 o superior es necesario aplicar la regla de Ruffini. x 4 x 3 4 x 2 +4 x=0 x(x 3 x 2 4 x+4)=0 Sacamos factor común. x=0 x 3 x 2 4 x+4= En ocasiones ninguno de los divisores del último número, (-4 en este ejemplo) es solución, entonces es necesario resolver la ecuación de segundo grado. x=2 x 2 4=0 x 2 =4 x= 4 x= 2 Por tanto las soluciones de esta ecuación serían 0, 1, 2 y -2

8 Ecuaciones racionales En ocasiones la x aparece en el denominador, en estos casos es necesario reducir a común denominador (igual que al sumar fracciones algebraicas). Vamos a verlo con un ejemplo. 10(x+3) 10 x 10 x(x+3) 1 x 1 x +3 = 3 10 = 3 x(x+3) 10 x(x+3) 10(x+3) 10 x=3 x(x+3) En estos ejercicios lo primero es hacer denominador común de TODOS los términos. mcm (x, x+3, 10) =10x(x+3) Multiplicamos cada término por lo que le falta para tener el denominador común. Por ejemplo en 1/x multiplicamos el 1 por 10(x+3). Como el denominador es el mismo en ambos miembros podemos quitarlo y tan solo nos quedarían los numeradores. 3 x =0 x= 9± ( 9) 2 4 3( 30) 2 3 = 9±21 = x=2 6 x= 5 x=2 x= = = 3 10 Realizamos los paréntesis y agrupamos. En este caso obtenemos una ecuación de segundo grado que tenemos que resolver. En estos ejercicios hay que COMPROBAR siempre las soluciones ya que pueden no coincidir o que salga 0 en el denominador en cuyo caso no es solución.

9 Ecuaciones con radicales La idea con este tipo de ecuaciones, tengan las raíces que tengan, es siempre la misma, aislar una raíz y elevar al índice de la raíz. Veamos un ejemplo. 3 x 1=x x 1=x 3 ( x 1) 2 =(x 3) 2 x 1=x x x 2 +7 x 10=0 1ºPaso: Aislar la raíz. Da igual que dejemos el signo negativo ya que al elevar al cuadrado se irá. 2ºPaso: Elevamos al cuadrado para eliminar la raíz. Recuerda: si elevamos una raíz a su índice el resultado es lo de dentro de la raíz. 3ºPaso: Ejecutamos los cuadrados. Si hubiera más raíces volveríamos al paso 1 hasta eliminarlas todas. 4ºPaso: Agrupamos todos los términos. x= 7± (7) 2 4 ( 1)( 30) 2 ( 1) = 7±3 2 =x=2 x=5 5ºPaso: Resolvemos la ecuación resultante. x=2 x= = =5 6ºPaso: Comprobamos si las soluciones verifican la ecuación. En este caso 2 es solución y 5 no.

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