INECUACIONES. < menor que 2x 1 < 7. > mayor que 2x 1 > 7 CRITERIOS DE EQUIVALENCIA DE INECUACIONES. menor o igual que 2x 1 7. mayor o igual que 2x 1 7

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Rosario María Nieves Luna Sáez
hace 6 años
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1 INECUACIONES DEFINICIÓN U n a i n e c u a c i ó n e s u n a d e s i g u a l d a d a l g e b r a i c a e n l a q u e s u s d o s m i e m b r o s a p a r e c e n l i g a d o s p o r u n o d e e s t o s s i g n o s : < menor que 2x 1 < 7 menor o igual que 2x 1 7 > mayor que 2x 1 > 7 mayor o igual que 2x 1 7 L a s o l u c i ó n d e u n a i n e c u a c i ó n e s e l c o n j u n t o d e v a l o r e s d e l a v a r i a b l e q u e v e r i f i c a l a i n e c u a c í ó n. P o d e m o s e x p r e s a r l a s o l u c i ó n d e l a i n e c u a c i ó n m e d i a n t e : U n a r e p r e s e n t a c i ó n g r á f i c a. U n i n t e r v a l o. 2 x 1 < 7 2 x < 8 x < 4 S o l u c i ó n x ( -, 4 ) CRITERIOS DE EQUIVALENCIA DE INECUACIONES 1. - S i a l o s d o s m i e m b r o s d e u n a i n e c u a c i ó n s e l e s s u m a o s e l e s r e s t a u n m i s m o n ú m e r o, l a i n e c u a c i ó n r e s u l t a n t e e s e q u i v a l e n t e a l a d a d a. 3 x + 4 < 5 3 x < x < S i a l o s d o s m i e m b r o s d e u n a i n e c u a c i ó n s e l e s m u l t i p l i c a o d i v i d e p o r u n m i s m o n ú m e r o p o s i t i v o, l a i n e c u a c i ó n r e s u l t a n t e e s e q u i v a l e n t e a l a d a d a.

2 2 x < 6 x < S i a l o s d o s m i e m b r o s d e u n a i n e c u a c i ó n s e l e s m u l t i p l i c a o d i v i d e p o r u n m i s m o n ú m e r o n e g a t i v o, l a i n e c u a c i ó n r e s u l t a n t e c a m b i a d e s e n t i d o y e s e q u i v a l e n t e a l a d a d a. 2 x < 6 x > 3 INECUACIONES DE 2º GRADO 1 º O b t e n e m o s l a s r a í c e s d e l a e c u a c i ó n d e s e g u n d o g r a d o, p a r a e l l o i g u a l a m o s e l p o l i n o m i o a c e r o. 2 º R e p r e s e n t a m o s l a s r a i c e s o b t e n i d a s e n l a r e c t a r e a l. T o m a m o s u n p u n t o d e c a d a i n t e r v a l o e n e l q u e q u e d a d i v i d i d a l a r e c t a y e v a l u a m o s e l s i g n o e n é l : 3 º R e p r e s e n t a m o s e s t o s s i g n o s e n l a r e c t a r e a l. E l e g i m o s l a s o l u c i ó n t e n i e n d o e n c u e n t a l e i n e c u a c i ó n i n i c i a l. EJEMPLO 1. - C o n s i d e r e m o s l a i n e c u a c i ó n: x 2 6x + 8 > 0 O b t e n e m o s l a s r a í c e s : x 2 6 x + 8 = 0 R e p r e s e n t a m o s e s t o s v a l o r e s e n l a r e c t a r e a l. T o m a m o s u n p u n t o d e c a d a i n t e r v a l o ( 0, 3, 5 ) y e v a l u a m o s e l s i g n o e n c a d a i n t e r v a l o : P ( 0 ) = > 0 P ( 3 ) = = < 0

3 P ( 5 ) = = > 0 R e p r e s e n t a m o s e s t o s s i g n o s e n l a r e c t a r e a l. E v a l u a m o s e l s i g n o d e l a i n e c u a c i ó n > 0, p o r t a n t o l a s o l u c i ó n s e d a e n d o s t r a m o s : S o l u c i ó n = ( -, 2 ) ( 4, ) 2. - R e s u e l v e: x 2 + 2x +1 0 ( x + 1 ) 2 0 C o m o u n n ú m e r o e l e v a d o a l c u a d r a d o e s s i e m p r e p o s i t i v o l a s o l u c i ó n e s Solución x 2 + 2x +1 0 (x + 1) 2 0 x 2 + 2x +1 > 0 (x + 1) 2 > 0 x 2 + 2x +1 0 (x + 1) 2 0 x = 1 x 2 + 2x +1 < 0 (x + 1) 2 < 0 x 2 + x + 1 > 0 x 2 + x + 1 = 0 C u a n d o n o t i e n e r a í c e s r e a l e s, l e d a m o s a l p o l i n o m i o c u a l q u i e r v a l o r s i : E l s i g n o o b t e n i d o c o i n c i d e c o n e l d e l a d e s i g u a l d a d, l a s o l u c i ó n e s. x x + 1 0

4 INECUACIONES IRRACIONALES L a s i n e c u a c i o n e s r a c i o n a l e s s e r e s u e l v e n d e u n m o d o s i m i l a r a l a s d e s e g u n d o g r a d o, p e r o h a y q u e t e n e r p r e s e n t e q u e e l d e n o m i n a d o r n o p u e d e s e r c e r o. EJEMPLO 1.- Resuelve la siguiente inecuación 1º Hallamos l a s r a í c e s d e l n u m e r a d o r y d e l d e n o m i n a d o r. x 2 = 0 x = 2 x 4 = 0 x = 4 2º R e p r e s e n t a m o s e s t o s v a l o r e s e n l a r e c t a r e a l, t e n i e n d o e n c u e n t a q u e l a s r a í c e s d e l d e n o m i n a d o r, i n d e p e n d i e n t e m e n t e d e l s i g n o d e l a d e s i g u a l d a d, t i e n e n q u e s e r a b i e r t a s. 3ºTomam o s u n p u n t o d e c a d a i n t e r v a l o y e v a l u a m o s e l s i g n o e n c a d a i n t e r v a l o :

5 4º L a s o l u c i ó n e s t á c o m p u e s t a p o r l o s i n t e r v a l o s ( o e l i n t e r v a l o ) q u e t e n g a n e l m i s m o s i g n o q u e l a f r a c c i ó n p o l i n ó m i c a. S o l u c i ó n = ( -, 2 ] ( 4, ) 2.- Resuelve P a s a m o s e l 2 a l p r i m e r m i e m b r o y p o n e m o s a c o m ú n d e n o m i n a d o r. H a l l a m o s l a s r a í c e s d e l n u m e r a d o r y d e l d e n o m i n a d o r. x + 7 = 0 x = 7 x 2 = 0 x = 2 E v a l u a m o s e l s i g n o : S o l u c i ó n = ( -, 2 ) ( 7, )

6 EJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES Resolver las siguientes inecuaciones 1. -2x < -2 2x > 2 x >1 { } Solución : x R, x (1, ) 2. Solución 3.

7 Solución Resuelve el sistema: 4. (x +1) 10 + x 6 (2x + 1) 10x x 12 x x + x 12x 6 10 x 4 x 4 4x < 28 x< 7 Ahora pasamos a representar la solución de cada una de las ecuaciones para dar la solución del sistema: Solución : [4, 7) x 2 +3x 4 < x x 28 < 0 Buscamos las raices igualando a cero: x 2 +3x 4 = 0 Las representamos en la recta real y elegimos un nº (-6, 0, 3)perteneciente a cada uno de los tramos en que queda dividida la recta para ver cual es su signo:

8 P( 6) = ( 6) 2 +3 ( 6) 4 > 0 P(0) = < 0 P(3) = > 0 Por tanto la solución es: ( 4, 1) 6. -x 2 + 4x - 7 < 0 x 2 4x + 7 = 0 P(0) = < 0 S olución= 7. Resolvemos la ecuación: 4x 2-16 = 0 x 2-4= 0 x 2 = 4 x 1 = -2, x 2 = 2. Las representamos en la recta real P( 3) = 4 ( 3) 2 16 > 0 P(0) = < 0 P(3) = > 0 Solución: (-, 2 ] [2, + )

9 8. x x -64x 3 >0 Como el primer factor es siempre positivo, sólo tendremos que estudiar el signo del 2º factor. P( 17) = ( 17) > 0 P(0) = < 0 P(5) = > 0 Solución: (-, 16] [4, ) 9. x 4 25x < 0 x 4 25x = 0. Ecuación bicuadrada, hacemos un cambio de variable

10 Solución:( 4, 3) ( 3, 3 ) (3, 4). 10. x 4 16x x 4 16x = (x 2-25) (x 2 + 9) 0

11 El segundo factor siempre es positivo y distinto de cero, sólo tenemos que estudiar el signo del 1 er factor. (x 2 25) 0 Solución: (-, 5] [5, + ) 12. Resuelve El binomio elevado al cuadrado es siempre positivo, pero al tener delante el signo menos. resultará que el denominador será siempre negativo. Multiplicando por 1: Solución ( -, 1] (1, + )

12 13. Resuelve Solución [ 2, 1] (1, 2) 14. Solución 15.

13 El numerador siempre es positivo. El denominador no se puede anular. Por lo que la inecuación original será equivalente a: x 2 4 > 0 ( -, 2) (2, + ) 16. Halla los valores de k para los que las raíces de la ecuación x 2 6x + k = 0 sean las dos reales y distintas. El discriminante ha de ser positivo, D= b 2-4ac > 0 ( 6) 2-4k > k > 0 4k > 36 k < 9 Solución: k (, 9)

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