Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales
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- Tomás Olivares Ramírez
- hace 7 años
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Transcripción
1 Carlos A. Rivera-Morales Precálculo I
2 Tabla de Contenido Contenido
3 : Contenido Discutiremos: pendiente de una línea.
4 : Contenido Discutiremos: pendiente de una línea. fórmula de la pendiente
5 : Contenido Discutiremos: pendiente de una línea. fórmula de la pendiente formas de la ecuación de una línea en el plano cartesiano.
6 : Contenido Discutiremos: pendiente de una línea. fórmula de la pendiente formas de la ecuación de una línea en el plano cartesiano. aplicaciones.
7 no Vertical en el Plano Cartesiano Sea L una línea no vertical en el plano cartesiano y sean P 1 = (x 1, y 1 ) & P 2 = (x 2, y 2 ) dos puntos diferentes de L. Entonces, la pendiente de L, denotada por m está dada por la fórmula m = y 2 y 1 x 2 x 1
8 Nota: Otras formas de denotar la pendiente de una línea no vertical son las siguientes: m = cambio en y cambio en x
9 Nota: Otras formas de denotar la pendiente de una línea no vertical son las siguientes: cambio en y m = cambio en x = y x
10 Nota: Otras formas de denotar la pendiente de una línea no vertical son las siguientes: cambio en y m = cambio en x = y x cambio vertical = cambio horizontal
11 Nota: Otras formas de denotar la pendiente de una línea no vertical son las siguientes: cambio en y m = cambio en x = y x cambio vertical = cambio horizontal elevación = avance o recorrido
12 Gráficamente: Figura: pendiente = m= y x = y 2 y 1 x 2 x 1
13 Ejemplo: Figura: pendiente = m= y x = 3 2
14 Ejemplo: Figura: pendiente = m= y x = 2 3
15 Ejercicio: Calcule la pendiente de la recta dada.
16 Ejercicio: Calcule la pendiente de la recta dada.
17 Ejercicio: Calcule la pendiente de la recta dada.
18 Ejercicio: Calcule la pendiente de la línea de la recta dada.
19 Nota: La pendiente de una recta no vertical es única. Esto es, no depende de los dos puntos particulares que se escojan para calcularla.
20 Nota: La pendiente de una recta no vertical es única. Esto es, no depende de los dos puntos particulares que se escojan para calcularla. Ejemplo 1:
21 Nota: La pendiente de una recta no vertical es única. Esto es, no depende de los dos puntos particulares que se escojan para calcularla. Ejemplo 2:
22 Posibles casos con relación a la pendiente:
23 Ejercicios: Calcule la pendiente de cada línea, de estar definida.
24 Ejercicios (Continuación): Calcule la pendiente de cada línea, de estar definida.
25 Consideremos la siguiente figura:
26 Forma Punto-Pendiente de la Ecuación de una Línea o Recta Sea L una línea no vertical en el plano cartesiano y sean P 1 = (x 1, y 1 ) & P 2 = (x 2, y 2 ) dos puntos diferentes de L. Entonces, una ecuación de la línea es y y 1 = m(x x 1 ). Nota: La forma punto-pendiente de la ecuación de una línea no es única.
27 Forma Punto-Pendiente de la Ecuación de una Línea o Recta Sea L una línea no vertical en el plano cartesiano y sean P 1 = (x 1, y 1 ) & P 2 = (x 2, y 2 ) dos puntos diferentes de L. Entonces, una ecuación de la línea es y y 1 = m(x x 1 ). Nota: La forma punto-pendiente de la ecuación de una línea no es única. Razon: Depende de los puntos particulares que se seleccionen para escribirla.
28 Figura: pendiente = m = y b x 0 = y b x
29 Por lo tanto,
30 Por lo tanto, m = y b x
31 Por lo tanto, m = y b x mx = y b : multiplicando ambos lados de la ecuación anterior por x
32 Por lo tanto, m = y b x mx = y b : multiplicando ambos lados de la ecuación anterior por x mx + b = y : sumando b en ambos lados de la ecuación anterior.
33 Por lo tanto, m = y b x mx = y b : multiplicando ambos lados de la ecuación anterior por x mx + b = y : sumando b en ambos lados de la ecuación anterior. y = mx + b : por la propiedad simétrica de la igualdad (a = b b = a)
34 Forma Pendiente-Intercepto de la Ecuación de una Línea o Recta Si la línea L intercepta al eje-y en el punto (0,b) y tiene pendiente m, entonces una ecuación de la línea es y = mx + b. Nota: La forma pendiente-intercepto de la ecuación de una línea es única.
35 Forma Pendiente-Intercepto de la Ecuación de una Línea o Recta Si la línea L intercepta al eje-y en el punto (0,b) y tiene pendiente m, entonces una ecuación de la línea es y = mx + b. Nota: La forma pendiente-intercepto de la ecuación de una línea es única. Razón: Una línea no vertical solamente tiene una pendiente y un solo intercepto-y.
36 Forma General o Estándar de la Ecuación de una Línea o Recta La gráfica en el plano cartesiano de la ecuación Ax + By = C es una línea, siempre que A y B no sean iguales a cero de forma simultánea. La forma Ax + By = C es la forma general o estándar de la ecuación de una línea. Nota: La forma general o estándar de la ecuación de una línea no es única. Depende de los valores de A, B y C que se utilicen para escribirla.
37 Ejercicios: Escriba una ecuación, en forma estándar, de la recta que pasa por los puntos:
38 Existe una conexión entre las pendientes de las rectas no verticales que son paralelas y las que son perpendiculares. Consideremos las siguientes figuras: Nota: Las dos rectas de la izquierda son paralelas (están el mismo plano y no se intersecan o cortan) y sus pendientes son iguales. Las dos de la derecha son perpendiculares (se encuentran en el mismo plano y forman cuatro ángulos rectos)y la pendiente de una de ellas es el opuesto del recíproco de la otra.
39 Pendiente, Sean L 1 y L 2 dos rectas no verticales con pendientes respectivas m 1 y m 2. Entonces 1 L1 y L 2 son paralelas si sus pendientes son iguales. Esto es, si m 1 = m 2.
40 Pendiente, Sean L 1 y L 2 dos rectas no verticales con pendientes respectivas m 1 y m 2. Entonces 1 L1 y L 2 son paralelas si sus pendientes son iguales. Esto es, si m 1 = m 2. 2 L1 y L 2 son coincidentes (es decir, se sobreponen) cuando, aparte de tener la misma pendiente, pasan por un mismo punto.
41 Pendiente, Sean L 1 y L 2 dos rectas no verticales con pendientes respectivas m 1 y m 2. Entonces 1 L1 y L 2 son paralelas si sus pendientes son iguales. Esto es, si m 1 = m 2. 2 L1 y L 2 son coincidentes (es decir, se sobreponen) cuando, aparte de tener la misma pendiente, pasan por un mismo punto. 3 L1 y L 2 son perpendiculares se cumple siempre que el producto de sus pendientes sea -1: esto es, m 1 m 2 = 1. De otra forma, m 2 = 1 m 1.
42 Ejemplo: Escriba una ecuación, en forma estándar, de la línea que pasa por el punto (6, -9) y es perpendicular a la línea con ecuación y = 3 5 x + 4.
43 Ejemplo: Escriba una ecuación, en forma estándar, de la línea que pasa por el punto (6, -9) y es perpendicular a la línea con ecuación y = 3 5 x + 4.
44 Ejercicios: 1. Escriba una ecuación, en forma estándar, para las rectas descritas:
45 2. Represente gráficamente cada una de las siguientes ecuaciones lineales en dos variables. Use los interceptos en los ejes de coordenada.
46 Ejercicios: 1. Se tienen dos recipientes iguales, A y B, vacíos completamente. Se comienzan a llenar, a las 8:45 A.M., por dos llaves que vierten diferente cantidad de litros de agua por minuto. La gráfica muestra el proceso de llenado de ambos recipientes.
47 Marca con una X la respuesta correcta.
48 Marca con una X la respuesta correcta.
49 Marca con una X la respuesta correcta.
50 Marca con una X la respuesta correcta.
51
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54 2. Pedro se dispone a limpiar los dos tanques de agua que tiene en la casa en su lucha contra el mosquito Aedes Aegypti. Para extraer el agua que le queda a los tanques, abre sus llaves. La gráfica muestra el volumen de agua, en litros, que va quedando en los tanques durante el proceso de vaciado.
55 Marca con una X la respuesta correcta.
56 Marca con una X la respuesta correcta.
57 Marca con una X la respuesta correcta.
58 Marca con una X la respuesta correcta.
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