ii. f 1 (x) = 1 + x v.ninguna de las anteriores

Transcripción

1 UPR Departamento de Ciencias Matemáticas RUM MATE 7 Práctica # //09 Profesor Nombre Instrucciones. Resuelva cada uno de los ejercicios por usted mismo y si tienen dudas preguntele a su instructor o busque ayuda en los mismos.. En los siguientes ejericicos seleccione la mejor alternativa: (a) La función inversa de f(x) = x es: considerando y = x y despejando para x se obtiene: x = y + i. f (x) = x ii. f (x) = + x iv. f (x) = x (b) Si f(x) = x ; entonces f f () =: f f () = f f( ) = f () = i. ii. iii. iv. 0 (c) Si P (0) = y P () =, entonces: Se tienen dos casos, i y iv que permiten localizar un cero del polinomio i. existe un cero del polinomio P (x) en el intervalo (0; ) ii.existe un cero del polinomio P (x) en el intervalo ( ; ) iii.existe un cero del polinomio P (x) en el intervalo ( ; 0) iv. existe un cero del polinomio P (x) en el intervalo ( ; ) y la función inversa es f (x) = + x iii. f (x) = + x (d) Los posibles ceros racionales del polinomio P (x) = x x + 8x 9 son: divisores de : ; y los divisores de -9: ; ; 9, los posibles ceros racionales del polinomio son: ; ; ; ; 9; 9 i. ; ; ; 9; 9 ii. ; ; ; 9; 9 iii. ; ; ; 9; 9 iv. ; ; ; ; 9; 9 (e) El polinomio de menor grado que le corresponde a la siguiente grá ca es: es, ya que la grá ca del polinomio tiene tres intersectos con el eje X i. ii.5 iii. iv.6 v.ninguna de las anteriores (f) El residuo al dividir P (x) = x 5 x + x + x por x + es: aplicando al división sintética se obtiene: 0 el residuo es 0 0 i. ii. iii. 0 iv.

2 5 y x (g) Si - y i son ceros de un polinomio con coe cientes reales P (x), entonces el menor grado de P (x) es: es, puesto que i es un cero del polinomio i. ii. iii. 5 iv. (h) Si f(x) = x 5 8x + x, entonces: como el grado del polinomio es impar, la respuesta es ii, porque el coe ciente principal es negativo y por lo tanto los extremos se invierten, es cecir, si x! entonces f! y si x! entonces f! i. si x! entonces f! y si x! entonces f! ii.si x! entonces f! y si x! entonces f! iii.si x! entonces f! y si x! entonces f! iv. si x! entonces f! y si x! entonces f! (i) i 0 = i 00 i = i i 00 = i ( ) 00 = i: i. i ii. iii. i iv. (j) i +i = multiplicando por el conjugado del denominador: i +i = i i +i i = +i i +i i i. ii. iii. +i iv. (k) Si f(x) = x 7 x + x x + 6, entonces: por la regla de Descartes: RR + : ó ó 0 f( x) = x 7 x x + x + 6 RR : ; por lo tanto la respuesta correcta es iv i. f tiene a lo más ceros reales positivos y ceros reales negativos ii.f tiene a lo más ceros reales positivos y ceros reales negativos iii.f tiene a lo más ceros reales positivos y ceros reales negativos iv. f tiene a lo más ceros reales positivos y cero real negativo

3 (l) Un polinomio con coe cientes reales P (x) de grado con ceros ; i se puede representar por: como i también es un cero, la respuesta es iii i. P (x) = a (x ) (x + ) (x i) (x i) ii.p (x) = a (x ) (x + ) (x i) (x + i) iii.p (x) = a (x ) (x ) (x i) (x + i) iv. P (x) = a (x + ) (x + ) (x + i) (x i). En los siguientes ejercicios indique la respuesta en el espacio en blanco: (a) La inversa de la función f(x) = x ; x 0 es: considerando y = x y despejando para x, se obtiene x = y + ) x = p y + como x toma valores negativos se tiene que x = f (x) = p x + p y + y la inversa es (b) Si P (x) = x 8,los factores lineales de P (x) son: factorizando x 8 = x 9 x + 9 = (x ) (x + ) (x i) (x + i) (c) Los ceros del polinomio P (x) = x x son: _; i factorizando x x = x x + = (x ) (x + ) (x + i) (x i) (d) Un polinomio con coe cientes reales de grado 6 tiene como raíces simples a ; i; i;, los ceros que faltan son: + i; + i (e) El residuo al dividir el polinomio P (x) = x x 0 x x por x + es: -8 se suman los coe cientes del polinomio P ( x) = x 500 6x 0 x + x y se obtiene -8 (f) El valor de p + i es p + i = p p + i 0 i = i + i i 5 = i + i( ) = 9i. Resuelva los siguientes ejercicios: (a) Halle el cociente y residuo de 5x x + x 5x 9 x x + 5x + x + x x + 5x x + x 5x 9 5x + 5x 0x x 7x 5x 9 x + 9x 6x x x 9 x + 96x 6 65x 7 cociente: 5x + x + y residuo: 65x 7 (b) Halle la función inversa de f(x) = x + x considerando y = x + y despejando para x: x y (x ) = x + ) x(y ) = + y ) x = + y y f (x) = + x x y la inversa es:

4 (c) Dada la función polinómica f(x) = x 5 + x 0x x + 6; responda las siguientes preguntas:. los ceros de la función son los posibles ceros son ; ; ; 6, como los coe cientes suman cero, es un cero y las suma de los coe cientes de f( x) = x 5 + x 0x + x + 6 es cero, - también es un cero. Aplicando división sintética se tiene: y se obtiene la ecuación cuadrática x + 5x + 6 = (x + ) (x + ) = 0 y los ceros son: f ; ; ; (multiplicidad )g. el intercepto en el eje Y (0; 6). los interceptos en el eje X ( ; 0) ; ( ; 0) ; ( ; 0) ; (; 0). si x! ; y! 5. si x! +; y! + 6. trace la grá ca de f y x 5 (d) Resuelva la ecuación x + x + x = 0 x + x + x = x x + x + = x (x + ) (x + ) y las raíces de la ecuación son f ; ; 0g (e) Halle todos los ceros del polinomio P (x) = x + x factorizando x + x = x + x = (x + i) (x i) x p x + p (f) Si i es un cero del polinomio P (x) = x x + x 5; halle los otros ceros del polinomio como el polinomio tiene coe cientes reales, + i es otro cero, por lo tanto, podemos aplicar división sintética para hallar los otros ceros

5 0 5 i i 6 8i + i 5 i 7 8i + i 0 + i + i 6 + 8i i 8 0 y se obtiene la ecuación cuadrática x + 8x = 0 ) x = 8 p ( p ) i; = 8 6p y los ceros son: (g) Halle un polinomio de grado 5 con coe cientes reales y con intercepto en y =, cuyos ceros son (multiplicidad ), y i. (Se puede dejar expresado como el producto de sus factores lineales). el polinomio es P (x) = a 5 (x + ) (x ) (x + i) (x i) donde P (0) =, multiplicando se obtiene: P (x) = a 5 (x + ) (x ) x + = a 5 x 5 x x x 5x ) a 5 = 5