Universidad de Antioquia Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Instituto de Matemáticas

Transcripción

1 Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Instituto de Matemáticas Algebra y Trigonometría Taller 6: Funciones Polinomiales y Racionales Teorema del residuo y del factor. Hallar los valores que se piden del polinomio dado usando la división sintética y el teorema del residuo. 1) f(x) = x 3 2x 2 +3x 2; f(0.2), f( 0.1). 3) h(w) = 9w 4 3w 2 +2w 1; h(1/3), h(1/10). 2) g(z) = 3z 4 5z 3 +2z 2 7z +8; g(1), g( 2). 4) f(x) = x 5 2x 4 3x 2 2x 8; f(3), f( 1). Obtener el cociente y el residuo usando la división sintética. 5) f(x) = 4x 4 3x 2 +3x+7; x+1/2. 7) g(z) = 2z 5 14z 3 +8z 2 +7; z +3. 6) h(w) = w 6 w 4 +w 2 2; w 1. 8) f(x) = x 3 +4x 2 +7x 2; x+2.

2 Demostrar el enunciado dado por medio del teorema de residuo sabiendo que n es un número entero positivo. 9) y n c n es divisible exactamente entre y +c si n es par. 11) z n +c n no es divisible exactamente entre z +c si n es par. 10) y n +c n es divisible exactamente entre y +c si n es impar. 12) z n +c n no es divisible exactamente entre z c si n es par. Usando el teorema del factor y la división sintética, comprobar si el binomio dado es un factor del polinomio dado. 13) x 2; f(x) = x 6 5x 5 +3x 3 x ) z 1; h(z) = z 3 +2z 2 4z +1 14) w+3; g(w) = w 5 +4w 4 7w 2 +5w 3 16) x+2; g(x) = x 4 3x 3 2x 2 +5x 9 Instituto de Matemáticas 2

3 Use el teorema del factor y la división sintética para determinar si el polinomio tiene el cero que se indica. 17) f(x) = x 4 +5x 3 +4x 2 7x 3; x = 3. 19) f(z) = z 3 9z 2 +26z 24; z = 2. 18) g(w) = 5w 6 +3w 5 2w 3 7w 2 +1; w = 1. 20) h(x) = 3x 5 x 4 +2x 3 4x 2 +3x 10; x = 1. Utilizar el teorema del factor y la división sintética para obtener el resultado que se pide. 21) Demostrar que w 3 es un factor del polinomio f(w) = w 3 2w 2 23w+60 y hallar los factores restantes. 23) Hallar el valor de k para que al dividir h(x) = 4x 3 +kx 2 2x+5 entre x 1, el residuo sea 5. 22) Hallar el valor de k para el cual el polinomio f(x) = 2x 3 +kx 2 3x 4 sea divisible entre x+1. 24) Hallar los valores de a y b que hagan que z 1, z +2 sean factores del polinomio g(z) = z 4 +az 3 +bz 2. Instituto de Matemáticas 3

4 25) Usarla división sintética parahallar el cociente y el residuo de h(x) = 2x 4 5x 3 +3x 2 x+3dividido entre 2x+1. Sugerencia: Efectuar la división entre x+1/2 y luego dividir el cociente entre 2. Gráfica de un polinomio Construir la gráfica del polinomio dado y hallar los ceros reales del mismo. 26) f(x) = x 4 5x ) g(w) = w 4 2w 3 12w 2 +2w+11 27) h(z) = z 3 2z 2 8z 29) f(z) = z 3 6z 2 +11z 6 Instituto de Matemáticas 4

5 Trazar la gráfica de f(x) sin efectuar los productos indicados. 30) f(x) = (x 1) 2 (x+2) 3 32) g(x) = (x+2) 2 (x 1) 3 (x 2 1) 31) h(z) = z(z +3) 3 (z 4) 2 33) f(w) = (w +2)(w 2) 2 (w 4) 4 Construir el polinomio que contenga los ceros que se indican. 34) 1±i 2, 3±2i 35) 4, 1±2 2 2 Instituto de Matemáticas 5

6 36) 2, 5, 1±2i 38) 2, 2, 4, 3 37) 1± 2, 2± 3 39) 1, 2, 3, 5 Comprobar que el polinomio dado tiene como ceros los valores indicados de c y hallar los ceros restantes. 40) f(x) = x 3 7x 6, c = 3 42) g(w) = 3w 3 w 2 3w+1, c = 1/3 41) h(z) = 6z 4 41z 3 +64z 2 +19z 12, c = 4, c = 1/2 43) f(x) = x 4 +4x 3 x 2 +16x 20, c = 1, c = 5 Instituto de Matemáticas 6

7 Hallar todas las raíces de la ecuación polinomial dada. 48) 3x 3 4x 2 35x+12 = 0 49) 2x 4 +3x 3 10x 2 12x+8 = 0 Problemas con variación proporcional: 50) Si z es directamente proporcional a x e inversamente proporcional a w, y z = 2 cuando x = 3 y w = 9, calcular z cuando x = 10 y w = ) y es directamente proporcional a la suma de dos cantidades, la primera de las cuales es directamente proporcional a x y la segunda es inversamente proporcional a x. Si y = 3 cuando x = 2, y y = 7 cuando x = 3, hallar la relación entre x y y. Problemas adicionales 52) En los siguientes enunciados utiliza una de las palabras: Siempre, A veces o Nunca para indicar si el enunciado es verdadero siempre, a veces o nunca. Si 3 5 es una raíz de una ecuación polinómica, también lo es. Si dos polinomios tienen las mismar raíces, entonces son iguales. Si 3 i 5 es una raíz de una ecuación polinómica, 3 + i 5 también lo es. Si f(3 i 5) = 0 entonces f(3 + i 5) = 0, donde f(x) es un polinomio. Una ecuación polinómica con coeficientes reales y grado impar tiene por lo menos una raíz real. 53) Usar la división sintética y el teorema del factor para encontrar el valor de k tal que x 1 sea un factor de 2x 3 + (2 k)x 2 (k 2). 54) Encontrar el valor k para que x 2 sea un factor de x 9 kx 6 x ) Cómo se puede saber que la ecuación 2x 3 3x 2 + x 5 = 0 tiene al menos una raíz en el intervalo [1,2]? 56) Es posible, sin hacer la división, mostrar que x 1 es un factor de 100x x 7 + 1? 57) Es posible, sin hacer la división, mostrar que 1 2x + x 2 es un factor de x n+1 x n x+1? Hallar todas las raíces de la ecuación polinomial dada. 58) 4x 5 4x 4 5x 3 + x 2 + x = 0 59) x 6 x 5 2x 3 4x 2 = 0 Pruebe las siguientes afirmaciones. 60) Demostrar que el polinomio f(x) = 3x 5 x 4 + 2x 8 tiene por lo menos dos ceros complejos. 61) Demostrar que el polinomio h(x) = 2x 6 +3x 4 2x 2 6 tiene exactamente cuatro ceros complejos. 62) Demostrar que el polinomio g(x) = x 7 + 4x 6 + 2x 3 + 9x tiene por lo menos cuatro ceros complejos. 63) Demostrar que el polinomio f(x) = 4x 4 3x 3 x 10 tiene exactamente dos ceros complejos. Problemas con variación proporcional: 64) Si w es directamente proporcional a x y a z, e inversamente proporcional al cuadrado de y, y si w = 20 cuando x = 6, z = 5 y y = 3, calcular z cuando x = 8, y = 2 y w = ) w es directamente proporcional a la suma de tres cantidades, la primera de las cuales es directamente proporcional a x 3, la segunda es directamente proporcional a x 2 y la tercera es directamente proporcional a x. Si w = 4 cuando x = 1, w = 14 cuando x = 2, y w = 10 cuando x = 1, obtener la relación funcional entre x y w. 66) La resistencia eléctrica R de un alambre de sección transversal circular es directamente proporcional a la longitud L e inversamente proporcional al cuadrado del diámetro d del alambre. Calcular el porcentaje de variación en la resistencia de un alambre dado si la longitud aumenta un 40% y el diámetro un 30%. Instituto de Matemáticas 7