MATE Dr. Pedro V squez UPRM. P. V squez (UPRM) Conferencia 1/ 26
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- Ana Belén Palma Pérez
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1 Dr. Pedro V squez UPRM P. V squez (UPRM) Conferencia 1/ 26
2 Coordenadas Polares MATE 3032 Un sistema de coordenadas representa un punto en el plano por un par ordenado de n meros llamada coordenadas. Generalmente se usa coordenadas cartesianas, que son distancias a los ejes perpendiculares. AquÌ se describe un sistema de coordenadas introducida por Newton, llamado el sistema de coordenadas polares, que es m s conveniente para ciertos propûsitos. Se elige un punto en el plano que se llama el polo (origen) y se etiqueta O. Luego se dibuja un rayo (semi recta) a partir de O llama eje polar. Este eje usualmente corresponde a la parte positiva del eje x. P es cualquier punto en el plano r es la distancia de O a P q es el ngulo (medido en radianes) entre el eje polar y la recta OP P. V squez (UPRM) Conferencia 2/ 26
3 P se representa por el par ordenado (r, q), r, q son llamadas coordenadas polares de P. Asumir; ngulo es postivo si se mide en la direcciûn contraria a las manecillas del reloj del eje polar y negativo en la direcciûn de las manecillas del reloj. Si P = O, entonces r = 0y(0, q) representa el polo para cualquier valor de q. Considere las coordenadas polares (r, q) Si r es negativo los puntos (!r, q) y (r, q) est n en la misma que contiene O y a la misma distancia jrj desde O, pero en lados opuestos de O. P. V squez (UPRM) Conferencia 3/ 26
4 Nota: 1. Si r > 0, el punto (r, q) est en el mismo cuadrante que q. 2. Si r < 0, el punto (r, q) est en el lado opuesto del polo. 3. (!r, q) representa el mismo punto que (r, q + p). Ejemplo 1. GraÖque los puntos cuyas coordenadas polares son: (2, 5p/4), (!3, p/3), (!1,!1) P. V squez (UPRM) Conferencia 4/ 26
5 Nota: Una rotaciûn completa en sentido contrario al movimiento de las menecillas del reloj es dado por un ngulo de 2p, el punto representado por las coordenadas polares (r, q) tambièn se representa por : donde n es un entero. (r, q + 2np) y (r, q + (2n + 1) p) La relaciûn entre las coordenas polares y las coordenadas rectangulares es como se muestra en la siguiente Ögura: cos q = sin q = x = y = Nota: La Ögura anterior se muestra para r > 0y0< q < p/2, es v lida para todos los valores de r y q. P. V squez (UPRM) Conferencia 5/ 26
6 Si un punto est dado en coordenadas rectangulares, para hallar r y q,.se usan las ecuaciones: r 2 = x 2 + y 2 tan q = y x 2. Halle las coordenadas cartesianas de los puntos!p 2, 3p/4 ", (!1,!5p/2), (2,!7p/6) P. V squez (UPRM) Conferencia 6/ 26
7 3. Halle las coordenadas polares de los puntos! 3 p " 3,!3, (1, 2) P. V squez (UPRM) Conferencia 7/ 26
8 Curvas Polares La gr Öca de una curva polar r = f (q) o de una forma m s general F (r, q) = 0, consiste de todos los puntos P que tienen al menos una representaciûn polar (r, q) cuyas coordenadas satsfacem la ecuaciûn. 4. Trace la regiûn en el plano 0 $ r < 2, p/3 $ q $ 5p/3 P. V squez (UPRM) Conferencia 8/ 26
9 5. Halle la ecuaciûn cartesiana de r = 2 sin q, y q = p/3 P. V squez (UPRM) Conferencia 9/ 26
10 6. Halle la ecuaciûn polar de y = 2y2y 2 = x P. V squez (UPRM) Conferencia 10 / 26
11 7. Trace la gr Öca de r = 2 cos q P. V squez (UPRM) Conferencia 11 / 26
12 SimetrÌa a. Si en una ecuaciûn polar se sustituye q por!q. y no cambia, la curva es simetrica sobre el eje polar. b. Si en una ecuaciûn polar se sustituye r por!r. o cuando se sustituye q por q + p, y no cambia, la curva es simetrica sobre el polo. c. Si en una ecuaciûn polar se sustituye q por p! q. y no cambia, la curva es simetrica sobre la recta q = p/2. P. V squez (UPRM) Conferencia 12 / 26
13 8. Trace la gr Öca de r = 1! cos q P. V squez (UPRM) Conferencia 13 / 26
14 P. V squez (UPRM) Conferencia 14 / 26
15 9. Trace la gr Öca de r = 4 sin 3q P. V squez (UPRM) Conferencia 15 / 26
16 P. V squez (UPRM) Conferencia 16 / 26
17 10. Trace la gr Öca de r = 3 cos 6q P. V squez (UPRM) Conferencia 17 / 26
18 P. V squez (UPRM) Conferencia 18 / 26
19 Tangentes a la Curva Polar Para hallar la recta tangente a una curva polar r = f (q), se escriben las ecuaciones paramètricas: x = r cos q = f (q) cos q x = r sin q = f (q) sin q Usando el mètodo para hallar las pendientes de curvas paramètricas y la regla del producto, se obtiene: P. V squez (UPRM) Conferencia 19 / 26
20 11. Prob. 56, p g. 664 P. V squez (UPRM) Conferencia 20 / 26
21 P. V squez (UPRM) Conferencia 21 / 26
22 12. Prob. 62, p g. 664 P. V squez (UPRM) Conferencia 22 / 26
23 P. V squez (UPRM) Conferencia 23 / 26
24 P. V squez (UPRM) Conferencia 24 / 26
25 P. V squez (UPRM) Conferencia 25 / 26
26 P. V squez (UPRM) Conferencia 26 / 26
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