El plano cartesiano y las gráficas. Presentación 2 MATE 3171

Transcripción

1 El plano cartesiano y las gráficas Presentación 2 MATE 3171

2 Coordenadas Rectangulares Es un sistema para asignar un par ordenado (a, b) de números reales a cada punto en el plano. Se basa en dos líneas perpendiculares llamadas eje de x y eje de y. La intersección de los dos ejes se llama el origen. Dividen el plano en cuatro cuadrantes,i-iv como mostramos

3 Cuadrantes y puntos P A cada punto P en el plano le corresponden dos coordenadas: La abscisa es la distancia horizontal desde el punto hasta el eje vertical. La ordenada es la distancia vertical desde el punto hasta el eje horizontal.

4 Coordenadas de un punto Estas coordenadas se representan mediante un par ordenado (a, b) donde a es la abscisa y b es la ordenada. Usualmente al eje horizontal se le asigna la variable x y al eje vertical la variable y.

5 Coordenadas de un punto Cuál es la abscisa del punto que se muestra? y abscisa = 3 b Cuál es la ordenada del punto que se muestra? ordenada = 4 a x

6 Coordenadas cartesianas

7 Gráfica de una Ecuación en dos variables Por definición, la gráfica de una ecuación en dos variables es el conjunto de todos los puntos, P(a, b), donde (a, b) es una solución de la ecuación. Una forma de hacer un boceto ( sketch ) de la gráfica de una ecuación es localizar suficientes puntos (soluciones), hasta obtener una imagen clara de la forma de la gráfica.

8 Ejemplo Considere la ecuación y = 3x + 1. Una solución de esta ecuación es un par de valores (uno de x y uno de y) que la hagan cierta. Si x = 2, cuál es el valor de y que hace la ecuación cierta? y = 3(2) + 1 y = = 7 Así que, x = 2 y y = 7 son (el par) una solución de la ecuación.

9 Cont. Ejemplo Podemos construir más soluciones? Sustituyendo valores de x en la ecuación y obteniendo el valor correspondiente de y. Para organizar las soluciones utilizamos una tabla, la tabla de valores. y = 3x + 1 x y /

10 Cont. Ejemplo x y 2 7 (2, 7) / (-2, -5) (1, 4) (1/3, 2) (0, 1) Con cada par de valores construimos un punto cuyas coordenadas son los valores de x y y. Luego los graficamos en el plano.

11 Cont. Ejemplo (2, 7) (-2, -5) (1, 4) (1/3, 2) (0, 1)

12 Otro ejemplo Haga un boceto de la gráfica de y = x 2 3 Completar la tabla con los valores correspondientes de la y Localizemos los puntos en un plano cartesiano: (-3,6) (-2,1) (-1,-2) (0,-3) (1,-2) (2,1) (3,6)

13 Ejemplo (continución) El punto (0, -3) parece dividir la gráfica en dos partes iguales. A la derecha de este punto, podemos notar que a medida que x se hace más grande, y también se hace más grande. A la izquierda del (0, 3), notamos q a medida que x se hace más pequeño, y se hace más grande. (-3,6) (-2,1) (-1,-2) (0,-3) (1,-2) (2,1) (3,6)

14 Ejemplo (continución) Unimos los puntos con una curva suave (sin picos ni brincos) que sigue el patrón que observamos. Una gráfica con esta forma se conoce como una parábola.

15 Interceptos de una gráfica

16 Ejemplo Solución: 3,0

17 Ejemplo continuación Solución (continuación): Para determinar el intercepto en y, asignamos a la variable x el valor de 0 y simplificamos. 3,0

18 Fórmula de Distancia

19 Fórmula de Distancia Sean P 1 y P 2 dos puntos en el plano, La fórmula de distancia entre dos puntos en el plano de puede determinar.

20 Aplicando la fórmula de distancia Localice los puntos A(-3,6) y hallar d(a,b). B(5,1) en el plano y

21 Fórmula de punto medio x x y 2 2 y ,.

22 Ejemplo

23 Solución: Ejemplo

24 Ejemplo Determine todos los puntos en el eje de x que se encuentran a una distancia 5 del punto P(-2,4). Solución: Cualquier punto en el eje de x tiene coordenadas (x, 0) Utilizamos la fórmula de distancia entre dos puntos en el plano para P(-2,4) y Q(x,0) y la igualamos a 5. d =5

25 Simetría Antes vimos la gráfica de la parábola y = x 2 3. Nota que si se doblara el plano sobre el eje de y, la parte de la gráfica que queda en el lado izquierdo coincidiría con la parte de la gráfica que está en el lado derecho. Gráficas como éstas se llaman simétricas con respecto al eje de y.

26 Simetría Identifica cuál de las gráficas son simétricas con respecto al eje de y. a. b. c. d. e. f.

27 Simetría (continuación) Una gráfica es simétrica con respecto al eje de y si un punto (-x, y) está en la gráfica cuando (x, y) está en la gráfica. Para determinar si una ecuación cumple la condición anterior debemos remplazar x con x y simplificar la ecuación nueva. Si ambas ecuaciones son iguales, entonces la gráfica es simétrica con respecto a y.

28 Ejemplo Determinar si y = 3x 2 10 es simétrica con respecto al eje de y. Solución:

29 Ejemplo Determinar si y = 12 5x 3 es simétrica con respecto al eje de y. Solución:

30 Tipos de Simetría

31 Tipos (continuación)

32 Existe simetría? Deteminar si existe simetría en cada caso: x 2 + y 2 = 7 simétrica con respecto a x? y = ¾x 3 simétrica con respecto al origen?

33 Ejemplo Construya la gráfica de x = -y Solución: A. Determinar interceptos B. Determinar las simetrías:

34 Cont. Ejemplo x = -y x y

35 La ecuación de un círculo Dado un punto C(h, k) en un plano coordenado, el círculo con centro C y radio r > 0, consiste de todos los puntos en el plano que se encuentran a r unidades del centro, C. Un punto P(x, y) está en el círculo siempre y cuando d(c, P) = r, o (por la fórmula de distancia) 2 2 x h y k r

36 Círculos (continuación) Cuadrando en ambos lados de la fórmula anterior obtenemos a la ecuación estándar del 2 círculo, 2 x h y k r 2 donde (h,k) son las coordenadas del centro del círculo y r el radio. Si r = 1, llamamos al círculo un círculo unitario con 2 ecuación igual a x y 2 1

37 Ejemplo Hallar la ecuación del círculo que tiene centro en C(- 2, 3) y radio igual a 4. SOLUCION:

38 Ejemplo 2 2 Dibujar la gráfica del círculo: x 2 y 3 16

39 Hallar la ecuación del círculo El centro del círculo está en El radio del círculo es. La ecuación del círculo es:

40 Ejemplo Demuestre que la siguiente ecuación representa un círculo, hallando su radio y su centro: 3x 2 + 3y 2 12x + 18y = 9 SOLUCION: Si ésta es la ecuación de un círculo, no está en la forma estándar. Para convertirla a la forma estándar debemos usar el método de completar el cuadrado.

41 Ejemplo Encontrar el centro y radio del círculo cuya ecuación es 4x 2 +4y 2-12x+40y+77=0

42 EJEMPLO ADICIONAL DEL USO DE LA FORMULA DE DISTANCIA

43 Ejemplo Para los puntos A(-3,2) y B(5,-4), demuestre que C(7,7) es un punto en la bisectriz perpendicular al segmento AB. La bisectriz l es una recta perpendicular al segmento AB y que pasa por su punto medio. d(a,c) l d(b,c) d(a,c) = d(b,c), para cualquier punto C sobre la bisectriz

44 Solución A(-3,2) y B(5,-4), y C(7,7) d(a,c)= d(b, C) = Como d(a,c) = d(b,c), el punto C(7,7) en un punto en la bisectriz perpendicular al segmento AB.

45 EJEMPLO ADICIONAL DE SIMETRIA

46 Una gráfica simétrica con respecto al origen Por lo tanto, la gráfica de la ecuación es simétrica con respecto al origen.

47 Simetría con respecto al origen (cont.) Localizamos los puntos (0,0), 1 2, 1 32, 1, 1 4, 3 2, 27 32, 2,2