MATE Dr. Pedro V squez UPRM. P. V squez (UPRM) Conferencia 1/ 15

Transcripción

1 Dr. Pedro V squez UPRM P. V squez (UPRM) Conferencia 1/ 15

2 Problemas de optimizaciûn En las secciones anteriores han aprendido a hallar valores extremos, n meros crìticos, intervalos de crecimiento, decrecimiento, cûncava hacia arriba, cûncava hacia abajo, puntos de ináexiûn y la regla de LíHospital, en esta secciûn se ponen en pr ctica todo lo aprendido anteriormente para resolver problemas de la vida real. Por ejemplo: maximizar reas, vol menes; minimizar costos, distancias, tiempos, etc. El gran reto es convertir el problema dado en forma verbal en un problema de optimizaciûn. Pasos para resolver problemas de optimizaciûn: 1 Entender el problema: Recuerde leer el problema hasta entenderlo, ello incluye deöniciûn de variables, datos que se incluyen en el problema. 2 Hacer un diagrama: En muchos problemas es importante que haga un diagrama para entender mejor al problema. P. V squez (UPRM) Conferencia 2/ 15

3 3 Introducir notaciûn: Asigne una variable a la cantidad que va a ser optimizada (variable dependiente) y seleccione otras variables a las cantidades desconocidas. 4 Variable dependiente: Exprese a la variable dependiente en tèrminos de las otras variables. 5 SimpliÖcar variable dependiente: Si la variable dependiente depende de m s de una variable independiente, trate de encontrar la relaciûn entre ellas, tal que la variable dependiente dependa de una sola variable. 6 Valores m ximos y mìnimos locales: Determine los n meros crìticos de f, y use el criterio de la primera o segunda derivada. 7 Resolver el problema: Use los mètodos de las secciones 4.1 y 4.3 para hallar los m ximos o mìnimos absolutos o locales, dependiendo del problema. P. V squez (UPRM) Conferencia 3/ 15

4 Prueba de la primera derivada para hallar extremos absolutos: Suponga que c es un n mero crìtico de una funciûn f continua deönida en un intervalo: 1 Si f 0 (x) > 0 para todo x < c y f 0 (x) < 0 para todo x > c, entonces f (c) es el valor m ximo absoluto de f. 2 Si f 0 (x) < 0 para todo x < c y f 0 (x) > 0 para todo x > c, entonces f (c) es el valor mìnimo absoluto de f. Ejemplos: Formule y resuelva los siguientes problemas de optimizaciûn. 1. Halle dos n meros cuyo diferencia es 100 y cuyo suma es mìnima. P. V squez (UPRM) Conferencia 4/ 15

5 2. Determine la distancia mìnima entre las par bolas y = x y y = x " x 2. P. V squez (UPRM) Conferencia 5/ 15

6 3. Halle las dimensioes de un rect ngulo con rea de 1000 m 2, cuyo perimetro es el menor posible. P. V squez (UPRM) Conferencia 6/ 15

7 4. Una caja con una base cuadrada y abierta tiene un volumen de 32,000 cm 3. Encuentre las dimensiones de la caja para que se minimize la cantidad de material usado. P. V squez (UPRM) Conferencia 7/ 15

8 5. Halle las dimensiones del trapezoide m s grande que que se puede inscribir en un cìrculo de radio 1 y cuya base es el di metro del cìrculo. P. V squez (UPRM) Conferencia 8/ 15

9 6. Un cilindro triangular recto est inscrito en un cono de altura h y radio r. Halle el mayor volumen posible del cilindro. P. V squez (UPRM) Conferencia 9/ 15

10 7. Un poster debe tener un rea de 180 pul 2 con un margen de 1 pulgada en los lados y la parte de abajo y dos pulgadas en la parte de arriba. Determine las dimensiones tal que el rea sea la mayor posible. P. V squez (UPRM) Conferencia 10 / 15

11 8. Durante el verano Mercedes prepara y vende collares en la playa. El verano pasado ella vendiû los collares por $10 cada uno y su promedio de ventas fue de 20 por dìa. Si aumentaba el precio en $1, encontrû que en promedio sus ventas disminuìan en 2 collares por dìa. a. Halle la funciûn de demanda, asuma que es lineal. b.si el material por cada collar es de $6, determine el precio de venta para que Mercedes maximize sus ganancias. P. V squez (UPRM) Conferencia 11 / 15

12 9. Un bote sale de un puerto a las 2:00 pm y viaja hacia el sur a una velocidad de 20 km/h. Otro bote se dirige al este a una velocidad de 15 km/h y llega al mismo puerto a las 3:00 pm. A que hora estuvieron los botes lo m s cercano posible? P. V squez (UPRM) Conferencia 12 / 15

13 10. Una estatua de 6 m. de altura tiene su base a 2 m. arriba del nivel del ojo de un observador. øa què distancia de la estatua debe colocarse el observador para que el ngulo subtendido desde su ojo a la estatua sea m ximo?. P. V squez (UPRM) Conferencia 13 / 15

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15 P. V squez (UPRM) Conferencia 15 / 15