Derivadas y razones de cambio. Tangentes. Derivadas Relaciones de cambio Velocidades. Derivadas y razones de cambio
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- Natividad Santos Olivares
- hace 6 años
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1 y razones de cambio y razones de cambio Tangentes Notas de clase Resumen Cálculo I - A1234 1/5
2 y razones de cambio y razones de cambio Tangentes Si una curva C tiene la ecuación y = f (x) y quiere hallar la tangente a C en el punto P (a, f (a)), entonces considere un punto cercano Q (x, f (x)), donde x a, y calcule la pendiente de la ĺınea secante P Q: Notas de clase Resumen Cálculo I - A1234 1/5
3 y razones de cambio y razones de cambio Tangentes Si una curva C tiene la ecuación y = f (x) y quiere hallar la tangente a C en el punto P (a, f (a)), entonces considere un punto cercano Q (x, f (x)), donde x a, y calcule la pendiente de la ĺınea secante P Q: m P Q = f (x) f (a). x a Notas de clase Resumen Cálculo I - A1234 1/5
4 y razones de cambio y razones de cambio Tangentes Si una curva C tiene la ecuación y = f (x) y quiere hallar la tangente a C en el punto P (a, f (a)), entonces considere un punto cercano Q (x, f (x)), donde x a, y calcule la pendiente de la ĺınea secante P Q: m P Q = f (x) f (a). x a Enseguida, acerque Q a P a lo largo de la curva C, haciendo que x tienda a a. Si m P Q tiende a un número m, después defina la tangente t como la recta que pasa por P con pendiente m. Notas de clase Resumen Cálculo I - A1234 1/5
5 y razones de cambio y razones de cambio Tangentes Si una curva C tiene la ecuación y = f (x) y quiere hallar la tangente a C en el punto P (a, f (a)), entonces considere un punto cercano Q (x, f (x)), donde x a, y calcule la pendiente de la ĺınea secante P Q: m P Q = f (x) f (a). x a Enseguida, acerque Q a P a lo largo de la curva C, haciendo que x tienda a a. Si m P Q tiende a un número m, después defina la tangente t como la recta que pasa por P con pendiente m. (Hacer figura) Notas de clase Resumen Cálculo I - A1234 1/5
6 y razones de cambio y razones de cambio Definición La recta tangente a la curva y = f (x) en el punto P (a, f (a)) es la recta que pasa por P con pendiente cuando el ĺımite existe. m = lím x a f (x) f (a) x a Notas de clase Resumen Cálculo I - A1234 2/5
7 y razones de cambio y razones de cambio Definición La recta tangente a la curva y = f (x) en el punto P (a, f (a)) es la recta que pasa por P con pendiente cuando el ĺımite existe. m = lím x a f (x) f (a) x a Observación: Si h = x a, en este caso x = a + h y así la pendiente de la ĺınea secante P Q es m P Q = f (a + h) f (a) (a + h) a = f (a + h) f (a) h Si Q está a la derecha de P, entonces h > 0, si Q está a la izquierda de P, entonces h < 0. (Hacer figura) Notas de clase Resumen Cálculo I - A1234 2/5
8 y razones de cambio La derivadas de una función Definición La derivada de una función f en un número a, denotada por f (a), es definida por f f (a + h) f (a) (a) = lím h 0 h si este ĺımite existe. Notas de clase Resumen Cálculo I - A1234 3/5
9 y razones de cambio La derivadas de una función Definición La derivada de una función f en un número a, denotada por f (a), es definida por f f (a + h) f (a) (a) = lím h 0 h si este ĺımite existe. Observe que si se utiliza la notación inicial para la secante, entonces f f (x) f (a) (a) = lím. x a x a Notas de clase Resumen Cálculo I - A1234 3/5
10 y razones de cambio La derivadas de una función Definición La derivada de una función f en un número a, denotada por f (a), es definida por f f (a + h) f (a) (a) = lím h 0 h si este ĺımite existe. Observe que si se utiliza la notación inicial para la secante, entonces Proposición f f (x) f (a) (a) = lím. x a x a La recta tangente a y = f (x) en el punto (a, f (a)) es la ĺınea que pasa por el punto (a, f (a)) y con pendiente igual a f (a). y f (a) = f (a) (x a). (Hacer figura) Notas de clase Resumen Cálculo I - A1234 3/5
11 y razones de cambio x = x 2 x 1 y y = f (x 2 ) f (x 1 ) Notas de clase Resumen Cálculo I - A1234 4/5
12 y razones de cambio El cociente de diferencias x = x 2 x 1 y y = f (x 2 ) f (x 1 ) y x = f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 se llama razón de cambio promedio de y con respecto a x en el intervalo [x 1, x 2 ]. Notas de clase Resumen Cálculo I - A1234 4/5
13 y razones de cambio El cociente de diferencias x = x 2 x 1 y y = f (x 2 ) f (x 1 ) y x = f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 se llama razón de cambio promedio de y con respecto a x en el intervalo [x 1, x 2 ]. El ĺımite de estas relaciones de cambio promedio se llama razón (instantánea) de cambio de y con respecto a x en x = x 1, lo cual se interpreta como la pendiente de la tangente a la curva y = f (x) en el punto P (x 1, f (x 1 )): y razón de cambio instantánea = lím x 0 x = lím f (x 2 ) f (x 1 ) = f (x 1 ). x 2 x 1 x 2 x 1 Notas de clase Resumen Cálculo I - A1234 4/5
14 y razones de cambio El cociente de diferencias x = x 2 x 1 y y = f (x 2 ) f (x 1 ) y x = f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 se llama razón de cambio promedio de y con respecto a x en el intervalo [x 1, x 2 ]. El ĺımite de estas relaciones de cambio promedio se llama razón (instantánea) de cambio de y con respecto a x en x = x 1, lo cual se interpreta como la pendiente de la tangente a la curva y = f (x) en el punto P (x 1, f (x 1 )): y razón de cambio instantánea = lím x 0 x = lím f (x 2 ) f (x 1 ) = f (x 1 ). x 2 x 1 x 2 x 1 Observación: La derivada f (a) es la razón de cambio instantánea de y = f (x) con respecto a x cuando x = a. Notas de clase Resumen Cálculo I - A1234 4/5
15 y razones de cambio : s = f (t): desplazamiento o función de posición de un objeto velocidad promedio = desplazamiento tiempo = f (a + h) f (a). h Notas de clase Resumen Cálculo I - A1234 5/5
16 y razones de cambio : s = f (t): desplazamiento o función de posición de un objeto velocidad promedio = desplazamiento tiempo = f (a + h) f (a). h Velocidad o velocidad instantánea v (a) en el instante t = a f (a + h) f (a) v (a) = lím = f (a). h 0 h Notas de clase Resumen Cálculo I - A1234 5/5
17 y razones de cambio : s = f (t): desplazamiento o función de posición de un objeto velocidad promedio = desplazamiento tiempo = f (a + h) f (a). h Velocidad o velocidad instantánea v (a) en el instante t = a f (a + h) f (a) v (a) = lím = f (a). h 0 h La rapidez de la partícula es el valor absoluto de la velocidad, es decir, f (a). Notas de clase Resumen Cálculo I - A1234 5/5
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