Pendiente en forma polar

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Marta Salinas Palma
hace 7 años
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1 Cálculo vectorial Unidad I.5.. Pendiente de una recta tangente en forma polar M.C. Ángel León Unidad I - Curvas en R ecuaciones paramétricas.5.. Pendiente de una recta tangente en forma polar Para encontrar la pendiente de una recta tangente en forma polar, debemos de considerar una función que sea diferenciable. Epresando a r f en forma paramétrica, sabemos que: Mediante el uso de la forma paramétrica de Con lo cual se puede establecer el siguiente teorema: f cos f sen vista anteriormente, se obtiene: f cos f ' sen m d f sen f ' cos d r f Pendiente en forma polar Si f es una función diferenciable de, entonces la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto r, se obtiene por: Siempre que 0 d en r, Del teorema anterior, se pueden destacar dos cosas: f cos f ' sen f sen f ' cos. Las soluciones 0 d dan una tangente horizontal, siempre cuando d 0. Las soluciones 0 d dan una tangente vertical, siempre cuando d 0 r f de 5

2 Cálculo vectorial Unidad I.5.. Pendiente de una recta tangente en forma polar M.C. Ángel León Ejemplo 0: Hallar las rectas tangentes horizontales verticales de la función r sen en el intervalo 0 Epresando en su forma paramétrica a la función r sen, tenemos que: sen cos sen sen sen Y la curva puede verse en la Figura. Si derivamos las ecuaciones paramétricas: Figura. Gráfica de sen sen cos cos cos sen cos d sen cos sen d Ya con las derivadas de las ecuaciones paramétricas, para saber si ha una tangente horizontal o vertical igualamos cada una de las derivadas a cero buscamos los valores que cumplan la igualdad. Los valores obtenidos serán los puntos donde eisten tangentes: Las tangentes verticales se dan cuando 0 d, si d cos los 3 cruces por cero en el intervalo 0 se dan en, según lo 4 4 muestra la Figura. Figura. Cruces por cero de Por lo tanto, en los puntos tenemos dos tangentes verticales, según se muestra en la Figura 3: Figura 3. Tangentes verticales de 5

3 Cálculo vectorial Unidad I.5.. Pendiente de una recta tangente en forma polar M.C. Ángel León Para encontrar las tangentes horizontales, se debe de cumplir que 0, esto sucede cuando sen 0 d lo cual puede verse en la Figura 4 que se cumple en 0,, : Figura 4. Cruces por cero de Por lo tanto, tenemos tangentes horizontales en los puntos: 0, 0,,. La Figura 5 muestra esas tangentes horizontales: Figura 5. Tangentes horizontales Ejemplo 0: Hallar las rectas tangentes verticales horizontales de la gráfica de r cos Las ecuaciones paramétricas son: 4 3 cos cos cos cos cos sen sen cossen Derivando las ecuaciones anteriores: sencos d cos cos d Figura 6. Gráfica de conocida como cardioide 3 de 5

4 Cálculo vectorial Unidad I.5.. Pendiente de una recta tangente en forma polar M.C. Ángel León Sabemos que para encontrar las tangentes verticales necesitamos encontrar los valores de donde 0 d sen(cos ) 0 d De acuerdo a la Figura 7, las raíces de la función son: 0 3 sen 0 cos 5 3 Figura 7. Valores de donde Por lo tanto, en los puntos, tendremos tangentes verticales como se muestra en la Figura 8, sin embargo, no nos apresuremos a mencionar la tangente que pasa por el origen. Para las tangentes horizontales, buscaremos los valores que hagan cero a, esto es: d (cos )(cos ) 0 Vemos que las raíces serán: cos 4 3 cos 0 Por lo tanto en los puntos, para todo los valores de anteriores tenemos tangentes horizontales según lo muestra la Figura 9: Figura 8. Tangentes verticales Sucede una situación particular con el punto 0, 0 en donde la curva parece tener una tangente horizontal debido a que 0 una tangente vertical debido a que 0 d d. Pero, si recordamos la forma paramétrica de la pendiente, caemos en una indeterminación porque: 4 de 5

5 Cálculo vectorial Unidad I.5.. Pendiente de una recta tangente en forma polar M.C. Ángel León 4 3 FIgura 9. Tangentes horizontales m d d Debido a que en el punto 0, 0 nombre de polo) la curva se corta a sí misma. r f, es decir, f 0 que Suponga que la gráfica de 0 0 (este punto recibe el pasa por el polo cuando f ' 0. Entonces, la fórmula para calcular la pendiente se simplifica de la siguiente manera: f cos f ' sen f ' sen sen tan f sen f ' cos f ' cos cos Por lo tanto, la recta con es tangente a la gráfica en el punto 0, 5 de 5

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