(A) Primer parcial. (3) Encuentre gráfica, dominio, rango, intervalos de monotonía y paridad de la función: x 2 + x 2, x = parte entera de x.

Transcripción

1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN GLOBAL E3000 ) ) + + < A) Primer parcial 3) Encuentre gráfica, dominio, rango, intervalos de monotonía y paridad de la función: f) = +3, 0. 4) Determine el dominio de la función: + f) =, = parte entera de. 5) Considere las funciones f) = { si 0 + si <0 y g) = { si 0 si <0 a) Graficar f y g. Determine rangos b) Calcule f g)) para cada número real B) Segundo parcial ) ). ) Considere las funciones f) = 3 con sus dominios naturales: a) Grafique f y g b) Calcule +g f)) c) Calcule f g)) + & g) = 9 canek.azc.uam.m: / 3/ 006.

2 EVALUACIÓN GLOBAL E3000 3) Dada la función si 5 o bien ; f) = a + b si < 3; c + d si 3 <<5; determine valores a, b, c, d con a 0 para que f resulte continua en todo R. 4) Halle un intervalo de longitud no mayor que 0. donde se encuentre una raíz del polinomio: ρ) = C) Tercer parcial ) H y h son dos números positivos tales que 0 <h<h. Considere la siguiente función: f) = h) H) a) Calcule sus puntos críticos b) Haga la gráfica de f) ) Observe la figura siguiente donde se bosqueja la gráfica de la función f ): f ) 4 4 A partir de ésta bosqueje posibles gráficas para f) y para f ). 3) Determine las dimensiones de un cono circunscrito a una esfera de radio r que tenga volumen mínimo. V = 3 πa h es la fórmula para calcular el volumen de un cono de radio a y altura h. 4) Obtenga la ecuación de una recta que es tangente simultáneamente a las curvas y = & y =.

3 Respuestas EVALUACIÓN GLOBAL E ) A) Primer parcial + + < 0. Notamos que el denominador + + ) es positivo siempre, ya que, para cada R, sucede que 0 y también que 0, por lo cual + +> 0. Por lo tanto, + + < 0 <0 ) < 0 >0 & < 0 o bien <0 & > 0; >0 & < o bien <0 & >; 0 << o bien Ø; El conjunto solución es: 0, ) Ø=0, ). CS =0, ) 0 ) 5+4. Vemos que o bien. Resolvemos por separado cada desigualdad, para luego unir los conjuntos solución obtenidos a) & <0 o bien & >0; 7 4 & <0 o bien 7 4 & >0; 4 7 & <0 o bien 4 7 & >0; 4 7 <0 o bien Ø; [ 47, 0 ) Ø= [ 47, 0 ). En este caso el conjunto solución es: CS = [ 47, 0 ).

4 4 EVALUACIÓN GLOBAL E3000 b) & <0 o bien & >0; 3 4 & <0 o bien 3 4 & >0; 4 3 & <0 o bien 4 3 & >0; 4 3 o bien, 3] 4 0, + ). >0; Aquí el conjunto solución es: CS =, 4 3] 0, + ). Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad original 5+ 4 es: CS = CS CS = [ 47 ) [, 0, 4 ] ] 0, + ) = 3 =, 4 ] [ 4 ) 3 7, 0 0, + ) = { = R 4 )} 3, 4 {0 } ) Encuentre gráfica, dominio, rango, intervalos de monotonía y paridad de la función: f) = +3, 0. Puesto que f) = +3 = + 3. La gráfica se construye de la siguiente manera: primero se traza la curva y = 3, la que es similar a y = ; luego se traza y = 3 +, desplazando una unidad hacia arriba a y = 3 ; finalmente se aplica el valor absoluto a y = 3 +, dejando igual a la parte no-negativa y reflejando en el eje a la parte negativa. La gráfica que se obtiene para la función f) = +3 es:

5 EVALUACIÓN GLOBAL E f) 3 Dominio: el dominio de la función es D f = R {0}. Rango: El rango de la función es R f =[0, + ). Monotonía: La función f es creciente en el intervalo 3, 0). La función f es decreciente en los intervalos, 3) y 0, + ). Paridad: La función f no es par ni tampoco es impar. 4) Determine el dominio de la función: + f) =, = parte entera de. Aquí debemos considerar que para Z enteros), se tiene que =, y que para Z, se cumple >. Luego entonces, para R & Z sucede que > 0. Por lo tanto, el dominio de f es: Como D f = { R Z & + 0 }. Es decir, ) ) & 0 o bien + 0 & 0; & o bien & ; o bien ;, ] [, + ). D f = {, ] } [, + ) Z.

6 6 EVALUACIÓN GLOBAL E3000 5) Considere las funciones { si 0; f) = + si <0; así como g) = { si 0; si <0. a) Graficar ambas funciones. Hallar sus rangos. Las gráficas son: La de la función f): f) La de la función g): g) Sus rangos: Rango de f = R. Rango de g = R. b) Calcule f g)) para cada número real Para obtener f g)) =f[g)], debemos aplicar primero la función g y luego la función f, por lo cual debemos hallar dónde g) 0 y dónde g) < 0. Observando la gráfica de la función g podemos decir que:

7 EVALUACIÓN GLOBAL E Si, entonces g) 0&g) =, por lo cual f[g)] = g) = ) =. Si <<0, entonces g) < 0&g) =, por lo cual f[g)] = + g)=+ ) =. Si 0, entonces g) 0&g) =, por lo que f[g)] = g) = ) =. Si >, entonces g) < 0&g) =, por lo que f[g)] = + g) =+ )=. Luego entonces, si ; si <<0; f g)) = si 0 ; si >. ) ). Tenemos que B) Segundo parcial ) = [3 + ) 3 ] = [ 3 + ) 3 ][ 3 + ) ) 3 + ] = 3 + ) ) = 3 + = = 3 + ) ) ) = 3 + [ 3 + )] 3 + [ 3 + )] = 3 + = + ) ) = 3 + = = [ + ) 3 ++ ) = 3 +] + ) 3 ++ ) = = 3.

8 8 EVALUACIÓN GLOBAL E3000 ) Considere las funciones f) = 3 con sus dominios naturales. a) Grafique f & g Para tener la gráfica de f efectuamos la división & g) = 9 f) = 3 =. Esto nos permite construir la curva y = f) por etapas mediante traslaciones y refleiones), partiendo de la curva y =. A y = se le multiplica por y se obtiene y = ;ay = se le traslada una unidad a la derecha y se obtiene y = ; a ésta se le refleja en el eje para obtener y = ; finalmente trasladamos una unidad hacia arriba a y = para obtener y = +, que es y = = f). La función f) tiene la gráfica: f) 3 3 Para obtener la gráfica de g, debemos realizar un análisis de la función. El dominio de g) = 9 + 3) 3) = + ) ) es D g = R { + ) )=0 } = R {, }. Raíces: g) =0 + 3) 3)=0 = 3 o bien =3. Por ser una función racional, g es continua en todo su dominio: D g =, ), ), + ). Por lo cual g tiene discontinuidades en = yen =. Ahora bien: Si, entonces +) 0 con valores negativos ya que < +< 0. Además +3) > 0, 3) 4 < 0& ) 3 < 0.

9 Entonces + 3) 3) + ) ) + 3) 3) + ) ) EVALUACIÓN GLOBAL E < 0, por lo cual ; esto es, g) =. Pero si +, entonces +) 0 con valores positivos ya que > +> 0. Entonces + 3) 3) + ) ) > 0 g) =+. + De manera análoga se obtiene que g) =+ & g) =. + De lo anterior se puede asegurar que la función g tiene en = yen =, discontinuidades esenciales y además que las rectas = & = son asíntotas verticales de g. En cuanto a las asíntotas horizontales se tiene que + g) = + = + 9 = + 9 = =; y de la misma manera se obtiene que g) =. Por lo tanto la recta y = es la única asíntota horizontal de g. Un posible bosquejo de la gráfica de g es entonces como sigue. La función g) tiene esta gráfica: g) 9 ) ) = b) Calcule g f)) + Tenemos +g f)) = g[f)]. + Cuando +, sucede que u = f), por lo cual g[f)] = gu) =. + u

10 0 EVALUACIÓN GLOBAL E3000 Luego entonces, +g f)) =. c) Calcule f g)) + Ahora f g)) = f[g)]. + + Cuando +, sucede que w = g), con valores g) <, por lo cual Luego entonces, + f[g)] = fw) =+. w f g)) =+. + 3) Dada la función si 5 o bien ; f) = a + b si < 3; c + d si 3 <<5; determine valores a, b, c, d con a 0 para que f resulte continua en todo R. Reescribimos la función f como si ; a + b si < 3; f) = c + d si 3 <<5; si 5. Por estar conformada por epresiones polinomiales, la función f es continua en los intervalos, ],, 3], 3, 5) & [5, + ). Se debe cuidar entonces la continuidad de f en =, =3& =5. a) f) = ) = & f) = + a + b) =a ) + b = a + b, entonces f) eiste si y sólo si f) = f) =a + b. + b) f) = 3 3 a + b) =a3) + b =9a + b & c + d) =c3) + d =3c + d, entonces f) eiste si y solo si = f) = f) 9a + b =3c + d. + 3 c) f) =c + d) =c5) + d =5c + d & 5 f) = + 5 f) = f) 5c + d = = 5, entonces f) eiste si y sólo si 5

11 EVALUACIÓN GLOBAL E3000 d) Por lo tanto, a, b, c y d deben cumplir con el sistema de ecuaciones a + b = ; 9a + b =3c + d; 5c + d =5. De a + b = se tiene que b = a. De 5c + d = 5 se tiene que d =5 5c. Sustituyendo en la segunda ecuación obtenemos 9a + a) =3c +5 5c) 8a = c +5 8a +c =6 4a + c =3. Se tiene una infinidad de soluciones: si a = t, entonces b = t, c =3 4t & d =0t 0, donde t puede ser cualquier número real. Una solución posible es para t = ): a =,b=, c= &d =0. Valores para los cuales la función f resulta ser continua en todo R. 4) Halle un intervalo de longitud no mayor que 0. donde se encuentre una raíz del polinomio: ρ) = Por ser un polinomio ρ) = , es una función continua en todo R. Ahora bien, ρ0) = > 0&ρ) = 44 < 0; entonces, por el teorema del Valor Intermedio, podemos asegurar la eistencia de al menos un 0 <c< tal que ρc) =0. El punto medio del intervalo 0, ) es = ) & ρ = < 0, por lo cual se puede asegurar que 6 0 <c<. El punto medio del intervalo 0, ) es = ) 4 & ρ = < 0, por lo cual se puede asegurar que 0 <c< 4. El punto medio del intervalo 0, ) es = ) 4 8 & ρ = > 0, lo que permite asegurar que <c< 4. El punto medio del intervalo 8, ) es = 3 ) & ρ = < 0, por lo cual podemos 4 6 asegurar que 8 < c < 3 6. Además la longitud del intervalo 8, 3 ) es l = que es menor que = 0. Por lo tanto el intervalo buscado es 8, 3 ). 6 C) Tercer parcial ) H & h son dos números positivos tales que 0 <h<h. Considere la siguiente función: f) = h) H).

12 EVALUACIÓN GLOBAL E3000 a) Calcule sus puntos críticos Derivamos: f ) = h) H) H + h) h) H) = = H + h) + hh [ h + H)] h) H) = = H + h) + hh + H + h) h) H) = = + hh h) H) =0 + hh =0 = hh = hh = ± hh. Luego, = ± hh son los únicos puntos críticos. b) Halle su dominio, raíz, asíntotas; dibuje la gráfica de f) Dominio: D f = R {h, H }. Raíz: =0. Asíntotas verticales: Ya que h h) H) = h>0, h = H>0, H H = ± & H ± h) H) = ±. h h) =0, H) =h H<0, h h) =H h>0& H) =0 ±, H ± las igualdades = h & = H son asíntotas verticales. Asíntotas horizontales: ± h) H) = ± h Luego, la recta y = 0 es la única asíntota horizontal. La gráfica de la función f) con esas condiciones es: ) H ) = 0± =0±. f) = h hh hh = H

13 EVALUACIÓN GLOBAL E ) Observe la figura siguiente donde se bosqueja la gráfica de la función f ): f ) 4 4 A partir de ésta bosqueje posibles gráficas para f) y para f ). Vamos a ver las gráficas correspondientes. La de f): f) 4 4 La gráfica de la derivada f ) es:

14 4 EVALUACIÓN GLOBAL E3000 f ) 4 4 3) Determine las dimensiones de un cono circunscrito a una esfera de radio r que tenga volumen mínimo. V = 3 πa h es la fórmula para calcular el volumen de un cono de radio a y altura h. Usando la figura A D E B C Consideramos una esfera de radio r = ED = EB y considerando un cono circular recto circunscrito de radio R = BC con altura H = AB. Los triángulos ABC y ADE son triángulos rectángulos semejantes, por lo cual BC ED = AB AD. Si AE = h, entonces AD = h r y AB = H = h + r. Luego entonces, BC ED = AB AD R r = R = H h r R r = h + r h r rh + r), donde r es conocido. h r

15 El volumen V del cono es EVALUACIÓN GLOBAL E V = 3 πr H = [ ] rh + r) 3 π h + r) = h r 3 π r h + r) h + r) h r V = 3 π r h + r) h + r) h r)h + r) V h) = 3 π r h +r 3 h + r 4. h r Derivamos respecto a h = 3 π r h +hr + r ) h r V h) = 3 π h r)r h +r 3 ) r h +r 3 h + r 4 ) h r) ; V h) = 3 π r h r 3 h 3r 4 = h r) 3 π r h hr 3r ) ; h r) V h) = πr h + r)h 3r) ; 3h r) V h) =0 πr h + r)h 3r) =0 h + r = 0 o bien h 3r =0. 3h r) De h + r = 0, se tiene que h = r, lo que no tiene sentido ya que r>0 r<0 h<0). De h 3r = 0 se tiene que h =3r, lo que sí tiene sentido. Con h =3r se tiene que H = h + r =4r, y además R = rh + r) h r = r4r) 9r r = Es decir, H =4r & R = r. Falta ver que el volumen V h) esmínimo para h =3r: 4r 8r = 4r r = r. V h) = 3 π h r) r h r 3 ) r h r 3 h 3r 4 )h r) h r) 4 = = 3 π h r) r h r) r h rh 3r )h r) = h r) 4 = 3 π r h r)[h r) h rh 3r )] = h r)h r) 3 V h) = πr [h r) h + r)h 3r)]. 3h r) 3 Valuando en h =3r, se obtiene que V 3r) = πr [r) 4r)0)] 3r) 3 = 8πr4 4r 3 = πr 3 > 0, lo que implica la eistencia de un mínimo para el volumen V cuando h =3r. El volumen mínimo es V mín = 3 πr H = 3 π r) 4r) = 8 3 πr3 ; ) 4 V mín = 3 πr3 = volumen de la esfera).

16 6 EVALUACIÓN GLOBAL E3000 4) Obtenga la ecuación de una recta que es tangente simultáneamente a las curvas y = & y =. m = Tal recta debe pasar por puntos de la forma a, a )& b a b a = a b b ab debe ser igual a a ya b, esto es: Por lo que: b, ) con a b 0 desde luego y su pendiente b a b b ab =a a b =ab a b ba b a +=0 a = b ± 4b 4 4b ; a b b b ab = b b a b 3 = ab b b a b = a b b a + a b =0 a = ± +8b 3. b b ± b4 b b = ± +8b 3 b 3 ± b b b 4 b = ± +8b 3 ±b b 4 b +8b 3 = b 3. En realidad sólo hay dos ecuaciones: b b 4 b +8b 3 = +b 3 ) 4b b 4 b)++8b 3 4b b 4 b) + 8b 3 )=+4b 3 +4b 6 4b 6 4b 3 ++8b 3 4b b 4 b) + 8b 3 ) 4b 3 4b 6 =0 4b b 4 b) + 8b 3 )=0 b 4 b) + 8b 3 )=0 bb 3 ) + 8b 3 )=0 b 3 = 0 o bien + 8b 3 =0 b 3 = o bien 8b 3 = b = o bien b 3 = 8 b = o bien b =. Veamos ambas gráficas:

17 EVALUACIÓN GLOBAL E f) 4 Claramente, de la figura se ve que b. De ahí que b = ;ycomoa = b a = b a = a = ) =. Así los puntos por los que pasa la tangente son, 4) y ), = ),. La pendiente de la tangente es: a = ) = 4, o también b = ) = 4 = 4, o inclusive 4 + = 6 3 Y la ecuación de la recta tangente es y 4= 4 +) y = y = 4 4 o también y += 4 + ) y = 4 y = 4 4. = 4.