CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E1000. (1) Sea f(x) una función cuya derivada es

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1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E000 ) Sea f) una función cuya derivada es f ) = ) y con dominio igual al de su derivada. Determine los intervalos de monotonía de f) y sus puntos etremos. ) Una lámpara se encuentra suspendida a 5 pies sobre una calle horizontal y recta. Si un hombre de 6 pies de estatura camina alejándose de la lámpara con una velocidad de 5 pies/s en línea recta, con qué rapidez se alarga su sombra? 3) Encuentre la pendiente de la recta tangente en el punto P, ) de la Lemniscata de Bernoulli + y ) =4y. 4) Sea la función f) = +. Diga en qué intervalos es cóncava hacia arriba, cóncava hacia abajo, determine los puntos de infleión y grafique. 5) Se desea construir un tanque de acero con la forma de un cilindro circular recto y semiesferas en los etremos para almacenar gas propano. El costo por pie cuadrado de los etremos es el doble de la parte cilíndrica. Qué dimensiones minimizan el costo si la capacidad deseada es de 0π pies 3? h r canek.azc.uam.m: / 3/ 006.

2 TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E000 Respuestas ) Sea f) una función cuya derivada es f ) = ) y con dominio igual al de su derivada. Determine los intervalos de monotonía de f) y sus puntos etremos. f ) f ) = ) Para determinar el dominio de f observemos que >0 6 >50 > 50 6 = 5 3 y también que 3+ =0 = 3 = 3 ; luego entonces, D f = D f = 5 ) 3, 3 3 ), + = 5 ) { 3, + 3 }. Por otra parte f ) = = 3 4) = + ) 4)=0 =, 0&4. Veamos el signo de f en los distintos intervalos, tomando en cuenta que >0 siempre. 5 Signo de Intervalo f ) f) es << 3 < < 0 < 4) + creciente 3 5 <) 3 <<< 0 < 4) + decreciente 3 5 < 3 <) <<0< 4) creciente 3 5 < 3 < ) < 0 << decreciente 3 5 < 3 < < 0 <) 4 < creciente 3

3 TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E000 3 Luego los puntos etremos =, =0& = 4 es donde f) tiene, respectivamente, mínimo relativo pues f pasa de ser decreciente a ser creciente, máimo relativo pues f pasa de ser creciente a ser decreciente y mínimo relativo pues f nuevamente pasa de ser decreciente a ser creciente. ) Una lámpara se encuentra suspendida a 5 pies sobre una calle horizontal y recta. Si un hombre de 6 pies de estatura camina alejándose de la lámpara con una velocidad de 5 pies/s en línea recta, con qué rapidez se alarga su sombra? Usamos la figura Lámpara 5 Hombre 6 5 t) Por la semejanza de los triángulos rectángulos con un ángulo agudo común, tenemos, considerando que el espacio recorrido por el hombre después de t segundos es 5t pies y que la longitud de la sombra es t): 6 5 = t) 6t)+30t =5t) 5t + t) t) = 0 3 t t) = 0 3. La sombra está creciendo a una velocidad de 0 3 pie/seg. 3) Encuentre la pendiente de la recta tangente en el punto P, ) de la Lemniscata de Bernoulli + y ) =4y. Efectivamente el punto P, ) está sobre la Lemniscata, pues sus coordenadas la satisfacen: + ) =4. Calculemos la pendiente de la recta tangente derivando, en este caso implícitamente con respecto a : + y ) +yy )=4y +4y. Trasponiendo términos, para despejar y 4y + y )y 4y =4y4 + y ). Dividamos toda la ecuación entre 4 y factoricemos y : [y + y ) ]y = y + y ).

4 4 TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E000 Por lo que: y = y + y ) y + y ). Y en el punto P, ), la pendiente será: y, ) = + ) + ) + ) = + ) = = = =. 4) Sea la función f) = +. Diga en qué intervalos es cóncava hacia arriba, cóncava hacia abajo, determine los puntos de infleión y grafique. Calculemos primero la primera y la segunda derivada f ) = + = +) +) f ) = +) + ) ) = +)4 ) = +) 4 +) 3 = = 3 6 +) 3 +). 3 Luego, los puntos de infleión se encuentran cuando 3 6 = 3) = 0 =0& = ± 3. El signo de la segunda derivada nos lo da esta misma epresión, pues el denominador +) 3 siempre es positivo. Determinemos el signo de la segunda derivada pues: Signo de Intervalo f ) f) es cóncava hacia < 3< 0 < 3) abajo 3 <<0< 3) + + arriba 3 <)0 << abajo 3 < 0 <) 3 < arriba Habida cuenta que 3)= + 3) 3) y su signo nos lo da + 3) 3). Además: D f = R ; la única raíz de f es =0&f es impar. lím ± f) = lím ± + = 0, por lo que y = 0 es asíntota horizontal. Los puntos críticos de f son = ± cuando f ) =0.

5 TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E000 5 El signo de f ) nos lo da =+) ), luego: Signo de Intervalo + f ) f) es < < ) + decreciente << creciente <) < + decreciente En =,f) = hay un máimo relativo pues f pasa de ser creciente a ser decreciente. En =, f) = hay un mínimo relativo pues f pasa de ser decreciente a ser creciente. f± 3) = ± 3 ± así como f0) = 0 son las ordenadas de los puntos de infleión. 4 Y con toda esta información la gráfica de f es: f) ) Se desea construir un tanque de acero con la forma de un cilindro circular recto y semiesferas en los etremos para almacenar gas propano. El costo por pie cuadrado de los etremos es el doble de la parte cilíndrica. Qué dimensiones minimizan el costo si la capacidad deseada es de 0π pies 3? h r El volumen del tanque es el volumen del cilindro, más el volumen de una esfera: i) V = πr h πr3 =0π.

6 6 TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E000 El área total del tanque es el área lateral del cilindro, más el área de una esfera: A =πrh +4πr. Si α por pie es el costo del material de la parte cilíndrica, se tiene que el costo total es: ii) iii) C =πrh α +4πr α) C =απrh +4r ). Ésta es la función que deseamos minimizar. Tiene dos variables r, h. Usamos i) para encontrar una relación entre estas variables. r h r3 =0 r h =0 4 3 r3 h = 0 r 4 3 r. Sustituimos este valor en ii): [ 0 C =απ r r 4 ) ] 3 r +4r Calculamos primera y segunda derivada Calculamos puntos críticos C =απ =απ 0 r 43 ) r +4r 0 r + 6 C =απ ) 3 r 0 r ) r 3 =απ 3r ) > 0. =απ 0 r + 83 ) r. Usando iii): C = r 3 =0 r 3 = 30 6 = r = h =.33) )