Universidad Icesi Departamento de Matemáticas y Estadística

Transcripción

1 Universidad Icesi Departamento de Matemáticas y Estadística Solución del primer examen parcial del curso Cálculo de una variable Grupo: Once Período: Inicial del año 000 Prof: Rubén D. Nieto C. PUNTO 1. a. Encuentre una función f(x) para la cual el gráfico de su derivada sea: b. Para la función f(x) x x + x + 10 encuentre un número real w con 1 <w< tal que f() f( 1) f (w). SOLUCION: a. A partir del gráfico se deduce que se trata de la función g(x) 1 la cual es la derivada de f(x) x o, más general aun, de la función f(x) x + c donde c es una constante. La respuesta a este subpunto es entonces: Una función que satisface la condición exigida es f(x) x + c donde c es una constante b. La derivada del polinomio f(x) es: f (x) x x +1 f (w) w w +1 De las evaluaciones: f() , f( 1)( 1) ( 1) +( 1) se desprende: f() f( 1) f (w) 1 6 w w +1 w w +1 w w 10 w ± + La respuesta a este subpunto es entonces: Un número real que cumple los requerimientos es + 7 ± o también PUNTO. Un punto que se mueve sobre el eje x tiene un desplazamiento x(t) t 7t +10t en el instante t (segundos). Halle la distancia total recorrida en los primeros siete segundos. SOLUCION: La derivada del desplazamiento x(t) es: x (t) t 1t +10t 7t +10(t )(t ) 1

2 Un análisis de signos para la derivada x (t) es entonces: x(t) x (t) + + t + + t + Intervalo (0, ) (, ) (, 7) El anterior análisis muestra que entre t 0yt el desplazamiento es hacia la derecha, entre t yt el desplazamiento es hacia la izquierda y entre t yt 7 el desplazamiento es de nuevo hacia la derecha, por tanto, d t la distancia total recorrida en los primeros siete segundos es: d t [ ] [ ] [ ] x() x(0) x() x() + x(7) x() Entonces, la respuesta a este punto es: La distancia total recorrida en los primeros siete segundos es 11 6 [ ] [ ] [ ] unidades longitudinales PUNTO. Respecto de la siguiente función definida a trozos: x + a cuando x< 1 f(x) x + b cuando 1 x + x + cuando <x Determine las constantes a y b para que la función f sea continua en todas partes. SOLUCION: Por definición de f(x) se tiene: x + f(x) x + + x f(x) x + b + b +b x x Por tanto, para que la función f(x) sea continua en x se debe tener: x x Por definición de f(x) también se tiene: f(x) f(x) +b b b + f(x) x + b ( 1) + b 1+b 1+1 x 1 + x 1 + x + a f(x) 1+a x 1 x 1

3 Por tanto, para que la función f(x) sea continua en x 1 se debe tener: f(x) 1+a f(x) 1 1+a a +1 a x 1 x 1 + Entonces, la respuesta a este punto es: Para que la función f sea continua en todas partes las constantes a y b deben valer a yb. PUNTO. Encuentre una ecuación para la recta tangente en el punto P (1, )alagráfica de la ecuación: x +x y xy +x +0 SOLUCION: Derivando la expresión dada respecto de la variable x resulta: [ x + x y + x y dy ] [ y + xy dy ] +0 x +1x y +8x y dy y 9xy dy +0 [ ] dy 8x y 9xy y x 1x y dy y x 1x y 8x y 9xy Entonces, la pendiente m de la recta tangente en el punto (1, ) a tal gráfica es: m dy ] x1,y Por tanto, la ecuación de dicha recta es: Se concluye que la respuesta a este punto es: y y 0 m(x x 0 ) y (x 1) Una ecuación para la recta tangente en el punto P (1, )alagráfica de tal ecuación es y (x 1) PUNTO. Encuentre los siguientes límites: tg x a. x 0 sen x x +x 1 b. x +x +x +1 SOLUCION: a. Se tiene: tg x sen x sen x cos x sen x sen x sen x cos x sen x x x cos x 1 sen x sen x x x cos x 1 sen x x x tg x sen x sen x x cos x 1 sen x x

4 Por tanto: x 0 tg x sen x x 0 sen x x cos x 1 sen x x sen x x 0 x cos x 1 sen x x 0 x 0 x Entonces, la respuesta a este subpunto es: b. Se tiene: x +x 1 x +x 1 x x +x x +x Se concluye que la respuesta a este subpunto es: x x 0 tg x sen x + x 1 x + x + x + x 1 x x +x 1 x +x +x +1 PUNTO 6. El radio de un globo esférico mide 0 cm y el error máximo en la medición es de 0.1 cm. Estimar el máximo error que se comete al calcular el volumen de la esfera. SOLUCION: La fórmula para el volumen v de una esfera y su derivada v son: v(r) πr v (r) πr v (r) πr En un sistema de coordenadas con el eje v para las ordenadas y el eje r para las abscisas, dibujemos un esquema que represente la función v(r) en el cual se muestre el punto ( 0,v(0) ) v 1000 α r A partir del gráfico y por definición de derivada se tiene: 0 v r v r tgα v (0) πr ] π0 600π r0 v 600π r 600π 0.1 0π La respuesta a este punto es entonces: En tal ocasión el máximo error que se comete al calcular el volumen de la esfera es de: 0π lo cual aproximadamente es centímetros cúbicos

5 PUNTO 7. Respecto de la función: f(x) x x +60x a. Encuentre los intervalos de crecimiento. b. Encuentre los intervalos de decrecimiento. c. Encuentre los intervalos de concavidad hacia arriba. d. Encuentre los intervalos de concavidad hacia abajo. e. Dibuje un gráfico aproximado de la correspondiente curva. SOLUCION: La derivada de la función f(x) es: f (x) 1x 7x (x x + ) 1(x 1)(x ) f (x) 1(x + 1)(x 1)(x + )(x ) Un análisis de signos para la función f (x) es entonces: Por tanto, una respuesta parcial a este punto es f(x) f (x) x x x x + Intervalo (, ) (, 1) ( 1, 1) (1, ) (, + ) a. Los intervalos de crecimiento son: (, ), ( 1, 1)y(, + ) b. Los intervalos de decrecimiento son: (, 1) y(1, ) La derivada segunda de f(x), es decir, la derivada primera de f (x) es: ( f (x) 60x 10x 60x x 10 ) ( 60x x ) ( f (x) 60x x + 60 Entonces, un análisis de signos para la función f (x) es: )( x ) f(x) f (x) + + x x + + x Intervalo + ( ) ( ) ( ) ( ),, 0 0,, +

6 Otra respuesta parcial a este punto es entonces: ( ) c. Los intervalos de concavidad hacia arriba son, 0 ( 1.8, 0) y ( ), + (1.8, + ) ( ) ( ) d. Los intervalos de concavidad hacia abajo son, (, 1.8) y 0, (0, 1.8) Utilizando la información establecida en las respuestas parciales y en las siguientes evaluaciones: f( ) 16, f( 1) 8, f(1)8, f()16, f( 1.8).7, f(0)0, f(1.8).7 podemos trazar un gráfico aproximado de la función f(x), así: PUNTO 8. Encuentre el punto de la gráfica y x +1más cercano al punto (, 1). SOLUCION: En la figura aparece la parábola y x + 1, el punto (, 1) y z que es el cuadrado de la distancia a un punto arbitrario (x, y) de la parábola 1 (x, y) z (, 1) Porlafórmula para la distancia entre dos puntos aplicada a los puntos P 1 (x, y) yp (, 1) se puede afirmar: z (x ) +(y 1) (1) 6

7 De que el punto P 1 (x, y) está sobre la parábola se sabe que debe satisfacer la ecuación de esta, es decir: Reemplazando () en (1) se obtiene: y x +1 () z (x ) +(y 1) (x ) +(x +1 1) (x ) +(x ) (x ) + x x 6x +9+x z x + x 6x +9 Como se trata de minimizar a z, porque minimizando a z se minimiza su raíz cuadrada z, obtengamos su derivada: dz x +x 6 dz (x + x ) Por el criterio de la raíz racional se puede establecer que 1 es una raíz de la derivada y por el teorema del factor que ella es divisible por x 1. Utilizando división sintética para calcular el cociente se obtiene: A partir de la información obtenida y de que el cociente x +x + es una parábola que se abre hacia arriba y cuyo vértice ( está enelpuntov 1, ) se puede construir el siguiente análisis de signos para la derivada dz : z dz + x 1 + x +x Intervalo (, 1) (1, + ) El anterior análisis muestra que en x 1 la función z presenta un mínimo absoluto. Por la fórmula () el correspondiente valor de y en la parábola es: ] ] y x x1 x1 La respuesta a este punto es entonces: El punto de la gráfica y x +1más cercano al punto (, 1) es: (1, ) 7

8 PUNTO 9. El área de un triángulo equilátero disminuye a razón de centímetros cuadrados por minuto. Calcule la rapidez de variación de la longitud de sus lados en el momento en que el área del triángulo es de 00 centímetros cuadrados. SOLUCION: En el triángulo equilátero de la figura x h x x/ en el cual la longitud de cualquiera de sus lados es x y la longitud de su altura es h, aplicando el teorema de Pitágoras, se tiene: ( x ) x + h El área a del triángulo es entonces: ( x ) h x x x x x x x h x a base altura x h x x x Por tanto, la derivada de x respecto del tiempo t es: a x x a x a dt 1 da a 1/ dt 1 da a dt Como el área a del triángulo disminuye a razón de centímetros cuadrados por minuto, en el momento en tal área a es de 00 centímetros cuadrados resulta: dt 1 ( ) La respuesta a este punto es entonces dt En tal momento la rapidez de variación de los lados del triángulo es aproximadamente de: 0.1 centímetros por minuto 8