Universidad Icesi Departamento de Matemáticas y Estadística

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1 Universidad Icesi Departamento de Matemáticas y Estadística Solución del examen final del curso Algebra y funciones Grupos: Todos Período: Final del año 004 Profesores: Todos PUNTO. Simplifique la expresión dada y elimine cualquier exponente negativo x + y x + y ) x + y ) xy ) SOLUCION: Aplicando propiedades de los exponentes, se obtiene: x + y x + y ) x + y ) ) xy x + ) x + y y xy x + y x + y x y x + y x y x + y x + y x + y x + y ) ) ) x + y x + y xy PUNTO. Encuentre las ecuaciones para el círculo y para la recta tangente al circulo que aparecen en la figura: 5, ) SOLUCION: El círculo está centrado en el origen, por tanto, la distancia r del punto 5, ) situado sobre el circulo) al origen, es el radio del círculo. Calculemos dicha distancia: r x x + y y r 3 Como la ecuación de un círculo de radio r y centro en el punto h, k) esx h +y k r, se concluye que, en el caso, la ecuación del círculo viene dada por: x 0 + y 0 r x + y 3 69 Denominemos m a la pendiente de la recta que pasa por el punto P 5, ) y por el origen y m a la pendiente de la recta tangente en P al círculo. Como estas rectas son mutuamente perpendiculares y, por tanto, la pendiente de la una es el opuesto del inverso multiplicativo de la pendiente de la otra, se tiene: m y y x x m 5 m m 5 m 5 Como la ecuación de una recta que pasa por el punto a, b) y tiene pendiente m es y b mx a), se concluye que la segunda ecuación pedida es: y 5 ) x +5 que equivale a: y 5 x + 69 que equivale a: 5x y +690

2 PUNTO 3. Simplifique la expresión 6x 7x 3 x 4 6x 3x 5 x x SOLUCION: Aplicando productos notables y formas generales, se obtiene: 6x 7x 3 x 4 6x 3x 5 x x 3x +)x 3) x +)x ) 3x +)x 5) x )x +) 3x +)x 3)x )x +) x +)x )3x +)x 5) x 3)x +) x +)x 5) x x 3 x x 0 6x 7x 3 x 4 6x 3x 5 x x x x 3 x x 0 PUNTO 4. Entre todos los rectángulos que tienen un perímetro de veinte pies, determine las dimensiones de aquel que tiene la mayor área. SOLUCION: Consideremos un rectángulo con largo y ancho variables pero con perímetro constante, como el de la figura. x y Denominemos a al área del rectángulo. Como, según aparece en la figura, x es el largo y y el ancho, se tiene: a xy ) De que el perímetro del rectángulo es constante e igual a veinte pies, se sigue: x +y 0 x + y 0 y 0 x ) Reemplazando este resultado en ), se obtiene: a xy x 0 x ) 0x x x 0x + ) x 0x +5 ) +5 x 5 +5 a 5 x 5 En consecuencia, se trata de una parábola que se abre hacia abajo y cuyo vértice es el punto V 5, 5), por tanto, el área a es máxima cuando x 5y,por), se deduce y 5. Entonces, se concluye que la respuesta a este punto es: Las dimensiones del rectángulo, con perímetro veinte pies y que tiene la mayor área, son largo y ancho de cinco pies.

3 PUNTO 5. Obtenga todas las soluciones reales de cada una de las siguientes ecuaciones: a) x 4 x 3 b sen x cos x 0 SOLUCION: a) Podemos proceder de la siguiente manera: x 4 x 3 x 34 x x 3 4 x x 64x + 3 6x x 80x x 40± ± { ± 4 x 6 Debido a que en el proceso de solución de la ecuación dada elevamos al cuadrado, tenemos que chequear todas las soluciones obtenidas para descartar las posibles soluciones extrañas. Para ello podemos dar al sistema algebraico de computo MuPAD el par de órdenes: ecuacion : x bool x 4 sqrtx) 3 ) : ecuacionx) $x in [ 64, 6 ] Después de ejecutadas tales órdenes dicho sistema responde: De lo cual se concluye que la respuesta a este punto es: TRUE, FALSE La única solución real de la ecuación dada es x 64 b) De que la fórmula para el seno del ángulo doble es sen x sen x cos x, se deduce: ) sen x cos x 0 sen x cos x cos x 0 4 sen x cos x cos x 0 ) cos x 4 sen x 0 cos x 0 sen x 4 Por tanto, se presentan dos casos, así: Cuando cos x 0. Como el período para la función cos x es π, del ciclo fundamental de dicha función, se sigue: x π +rπ con r Z x π + π +rπ π +r +)π con r Z x π + kπ donde k Z π 3π π + π Cuando sen x /4. Denominemos θ 0 al arco cuyo seno es /4, el cual es aproximadamente igual a Entonces, como el período para la función sen x es π, del ciclo fundamental de dicha función, se sigue: /4 π θ 0 π x θ 0 +rπ con r Z x π θ 0 +rπ θ 0 +r +)π con r Z } { θ0 +kπ θ 0 x θ 0 +k +)π donde k Z 3

4 PUNTO 6. Encuentre el dominio de la función hx) 4 x + x SOLUCION: De que el dominio de la función raíz cuadrada real está constituido por el conjunto de los números reales no negativos se desprende que para que un número real x esté en el dominio de la función hx) debe satisfacer las siguientes desigualdades: x 0 4 x 0 x +)x ) 0 4 x x +)x ) 0 x 4 Entonces, procedemos empleando el siguiente análisis de signos: Intervalo, ), ), 4) x x + x +)x ) + + De este análisis de signos se concluye que la respuesta a este punto es: El dominio de la función hx) es el conjunto S, ] [, 4 ] PUNTO 7. El conteo en un cultivo de bacterias fue de 400 después de dos horas y de 5600 después de seis horas. a) Cuál es la tasa de crecimiento relativo de la población de bacterias? b) Cuál fue el tamaño inicial del cultivo? c) Determine una fórmula para nt), el número de bacterias después de t horas. d) Determine el número de bacterias después de cuatro horas y media. e) Cuándo llegará a cincuenta mil el número de bacterias? SOLUCION: La fórmula que modela o describe el crecimiento de una población de animales o bacterias viene dada por: nt) n 0 e rt ) donde t es el tiempo transcurrido, nt) es la población en el tiempo t, n 0 es el tamaño inicial de la población, o sea, la población cuanto el tiempo es cero y r es la tasa de crecimiento relativo de la población. a) De la información que facilita el enunciado del punto se desprende: 400 n 0 e r 5600 n 0 e r e6 r e r e4 r 64 e 4 r 6 e r) 4 6/4 e r 3/ e r r ln 3/ r 3 ln ) De este resultado se concluye que la respuesta a esta parte del punto es: La tasa de crecimiento relativo de la población de bacterias es r 3 ln

5 b) De la información que suministra el enunciado del punto, por ) y ), se tiene: 400 n 0 e r n 0 e 3ln n 0 e ln ) 3 n n 0 n ) De este resultado se concluye que la respuesta a esta parte del punto es: El tamaño inicial del cultivo fue de cincuenta bacterias c) De todos los resultados obtenidos, por ), ) y 3) se sigue: nt) 50e 3/ ) ln) t 4) d) Aplicando la fórmula 4) para un tiempo t de cuatro horas y media, resulta: n4.5)50e 3/ ) ln) n4.5) Se concluye que la respuesta a esta parte del punto es: Después de cuatro horas y media el número de bacterias es de cinco mil trecientas ochenta y dos e) Aplicando la fórmula 4) para un número de bacterias igual a cincuenta mil, resulta: e 3/ ) ln) t 000 e 3/ ) ln) t e ln)) 3/) t 3/) t 0 3 3/) t 3ln0 3 ln0 t ln ln0t ln t ln Se concluye que la respuesta a esta parte del punto es: El número de bacterias llegará a cincuenta mil después de aproximadamente horas PUNTO 8. Determine la amplitud, el período y el corrimiento de fase de la función y 3 4 cos x + π ) 3 SOLUCION: El intervalo para el ciclo fundamental de la función cos x es [ 0, π ]. correspondiente a la función dada podemos proceder de la siguiente manera: Por tanto, para determinar el 0 x + π x 3 π 0 + π ) π 0 x + π 3 3 π π 3 x π π 3 De este resultado se deduce que el período es: período π 3 π ) π π 3 3π 3 π período π Se concluye que la respuesta a este punto es: π 3 x π 3 Respecto de la función dada su amplitud es 3 4,elperíodo es π y el corrimiento de fase es π 3 5

6 PUNTO 9. La torre CN de Toronto, Canadá es la torre más alta del mundo. Una señora en la plataforma de observación a mil ciento cincuenta pies sobre el nivel del piso desea determinar la distancia entre dos marcas sobresalientes sobre el piso. Observa que el ángulo entre las líneas de visión a estas dos marcas es de cuarenta y tres grados, también observa que el ángulo entre la vertical y la línea de visión a una de las marcas es de sesenta y dos grados, y entre la vertical y la linea de visión a la otra marca es de cincuenta y cuatro grados. Determine la distancia entre las dos marcas sobresalientes. SOLUCION: Un gráfico que geométricamente modela o representa la situación a que se refiere el punto es: S Q d P b a h O De la información que suministra el enunciado del punto se conoce que h es igual a 50 pies. Para facilitar los cálculos denominemos α al ángulo OSP que es de 6 grados, β al ángulo OSQ que es de 54 grados y θ al ángulo PSQ que es de 43 grados, entonces: Como el triángulo POS es rectángulo en O, se tiene: sec α a h Como el triángulo QOS es rectángulo en O, se tiene: sec β b h a h sec α b h sec β Por tanto, aplicando la ley de los cosenos al triángulo PSQ, resulta: d a + b ab Se concluye que la respuesta a este punto es: La distancia entre las dos marcas sobresalientes es aproximadamente de pies PUNTO 0. Compruebe la identidad + tan θ sec θ SOLUCION: De la identidad trigonométrica fundamental sen θ +cos θ se deduce sen θ cos θ, por tanto, expresando el lado de la derecha de la identidad dada en términos de senos y cosenos, resulta: tan θ sec θ sen θ cos θ sen θ cos θ cos θ ) sen θ cos θ ) sen θ ) + ) ) ) + tan θ sec θ + 6