La Derivada y las Reglas Básicas de Diferenciación
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- Susana Sevilla Juárez
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1 La Derivada y las Reglas Básicas de Dierenciación MATE 0 Cálculo 8/0/06 Pro. José G. Rodríguez Aumada de 6
2 Cálculo - MATE 0 Actividades. Reerencia: Sección. Derivación, Ver ejemplos al ; Ejercicios de Práctica: Impares 7. Sección. Las Reglas básicas de derivación y razón de cambio; Ver ejemplos, y 7.; Ejercicios de Práctica: Impares 6. Asignación: Sección.: #8; Sección. # (incluya copia de la imagen de la gráica), 8, 60 Reerencia en el Web: Kan Academy Introducción a las Derivadas Calculus Pobe Tutorials - Te Dierence Quotient Kan Academy Te Power Rule Calculus Pobe Te Power Rule 8/0/06 Pro. José G. Rodríguez Aumada de 6
3 Cálculo - MATE 0 Deinición La derivada de una unción en un número denotada por (a), es '( a) lim 0 ( a ) ( a) si este límite eiste. En ese caso, se dice que la unción es dierenciable en a 8/0/06 Pro. José G. Rodríguez Aumada de 6
4 Cálculo - MATE 0 Ejemplo Encuentre la derivada de la unción en el valor, donde: Solución: ( ) '() lim 0 ( ) () [( ) ] [() ] lim 0 [ 4 ] lim 0 lim 0 4 lim 0 ( 4) 4 La derivada de la unción en = es 4 8/0/06 Pro. José G. Rodríguez Aumada 4 de 6
5 Cálculo - MATE 0 Interpretación Geométrica de la Derivada La derivada en es la pendiente de la recta tangente a una curva en : '( ) lim 0 ( ) ( ) 8/0/06 Pro. José G. Rodríguez Aumada de 6
6 Cálculo - MATE 0 Ejemplo Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráica de la unción en = dado que: ( ) '() Solución: La derivada de en = es la pendiente de la recta tangente en el punto (, ). Como () =, la pendiente de la tangente es. y ( ) = ( ) y + = 6 y = 7 8/0/06 Pro. José G. Rodríguez Aumada 6 de 6
7 Interpretación de la Derivada como razón de cambio Cálculo - MATE 0 La razón de cambio instantánea de un unción cuando = a, está dado por: lim ba ( b) b a ( a) ( ) lim 0 ( ) siempre que este límite eista. La razón de cambio instantánea de un unción cuando = a es la derivada de la unción en a. Esto es, (a). 8/0/06 Pro. José G. Rodríguez Aumada 7 de 6
8 Cálculo - MATE 0 Encuentre la razón de cambio promedio entre los valores - a. y ( b) ( a) b a 6 () ( ) ( ) 4 ( 6) Ejemplo ( ) Encuentre la razón de cambio instantáneo en. '( ) lim 0 '() lim lim 0 lim 0 0 [( ) ( ) ( ) [9 6 lim ( ) ( ) () ( )] [ ] [4] 0 ()] 8/0/06 Pro. José G. Rodríguez Aumada 8 de 6
9 Cálculo - MATE 0 La Derivada como unción ( ) sin cos ( ) sin 8/0/06 Pro. José G. Rodríguez Aumada 9 de 6
10 Cálculo - MATE 0 Ejemplo 4 8/0/06 Encuentre la unción (), si () =. ) ( ) ( lim ) '( 0 0 ) ( ) ( lim 0 ) ( ) ( lim 0 lim 0 lim ) ( ' Pro. José G. Rodríguez Aumada 0 de 6
11 Cálculo - MATE 0 Cuándo deja una unción ser dierenciable? Gráica tiene: discontinuidad. una tangente vertical. Observe: Función es continua en P. Pero no es dierenciable en P 8/0/06 Pro. José G. Rodríguez Aumada de 6
12 Cálculo - MATE 0 Cuándo deja una unción ser dierenciable? Gráica termine en una esquina o pico. 8/0/06 Pro. José G. Rodríguez Aumada de 6
13 Cálculo - MATE 0 Reglas de dierenciación () Si = número, entonces = 0 Ejemplos: Si () =, entonces () = 0 Si () = π, entonces () = 0 Si () = n, entonces = n n para cualquier número real n dierente de 0. Ejemplos Si () = 8, entonces () = 8 7 Si () =, entonces () = 4 8/0/06 Pro. José G. Rodríguez Aumada de 6
14 Cálculo - MATE 0 Reglas de dierenciación () Si = número g entonces = número g Ejemplo: Si = 6, entonces = 6 = 8 Si = 6, entonces = 6 = = 8/0/06 Pro. José G. Rodríguez Aumada 4 de 6
15 Cálculo - MATE 0 Ejemplo Determine () si ( ) ( ) '( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) 8/0/06 Pro. José G. Rodríguez Aumada de 6
16 Ejercicios # Determine la unción derivada:. F() = 4. F() =. F() = 9 4. F() = -4 F( ) 4 F( ) F( ) 0 9 F( ). F() = F ( ) F'( ) F( ) 8 8/0/06 Pro. José G. Rodríguez Aumada 6 de 6
17 Cálculo - MATE 0 Ejemplo 6 Problema: Si = calcule la derivada de la unción en =. Solución: Paso calcule la unción derivada () = = Paso Evalúe la unción derivada en = = = 60 Otras maneras de presentar el mismo problema: Calcule la pendiente de la recta tangente cuando = Calcula la razón de cambio instantáneo cuando = 8/0/06 Pro. José G. Rodríguez Aumada 7 de 6
18 Cálculo - MATE 0 Reglas de dierenciación: Adición y Sustracción Si () = u() + v() entonces: () = u () + v () Si () = u() - v() entonces: () = u () - v () 8/0/06 Pro. José G. Rodríguez Aumada 8 de 6
19 Cálculo - MATE 0 Encuentre la unción derivada de: Solución: ( ) 8 Ejemplo 7 ( ) 8 '( ) 8() ( ) Encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráica de la unción en = () = 8/0/06 Pro. José G. Rodríguez Aumada 9 de 6
20 Cálculo - MATE 0 Nomenclatura Primera derivada ( uncíon derivada ): '( ) y' dy d d d D La primera derivada en = '() y' dy d d d D Segunda derivada ''( ) y' ' d d y d d D 8/0/06 Pro. José G. Rodríguez Aumada 0 de 6
21 Cálculo - MATE 0 Determine: a Ejercicio # d d ) b) d d a) d d b) d d /0/06 Pro. José G. Rodríguez Aumada de 6
22 Derivadas de unciones Cálculo - MATE 0 trigonométricas d d (sin ) cos d d (cos ) sin d d (tan ) sec 8/0/06 Pro. José G. Rodríguez Aumada de 6
23 Cálculo - MATE 0 Ejemplo 8. Calcule: d (sin cos tan ) d d d sin cos tan d d d d cos sin sec. Calcule: dy d sin cos + tan =π cos sin sec = cos π + sin π + sec (π) = cos π = = 0 Cómo se podrá describer la recta tangente por el punto (π, (π))? Recuerde: Si la derivada de una unción en un valor es igual 0, entonces la recta tangente por el punto (, ()) será una recta orizontal. 8/0/06 Pro. José G. Rodríguez Aumada de 6
24 Cálculo - MATE 0 Ejercicio # Aproime a cuatro lugares decimales: dy d tan = = - sec = = sec () = 4 = 4 cos () [cos /0/06 Pro. José G. Rodríguez Aumada 4 de 6
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