CAPITULO 4: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES DERIVADAS PARCIALES

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1 CAPITULO : FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES FUNCIONES DE VARIAS VARIABLE En muchas situaciones prácticas el valor de una cantidad depende de otras dos o más. Por ejemplo el volumen de agua en la represa de una ciudad depende de la cantidad de lluvia caída así como del consumo de la población que ha en la comunidad el precio de venta de un artículo puede depender de su costo de producción del costo de los materiales del monto invertido en publicidad de los gastos generales el volumen de un cono depende de su radio de su altura etc. Ahora generaliaremos el concepto de unción a unciones de cualquier número de variables. Antes de etender el concepto de unción vamos deinir que entenderemos por espacio numérico n dimensional. DEFINICION. El conjunto de todas las n uplas de números reales se denomina espacio numérico n - dimensional se denota por IR n. Cada n- upla ordenada... n se llama punto del espacio numérico n dimensional. Así por ejemplo se deine un punto de IR como el número real un punto del espacio IR se deine como el par ordenado un punto del espacio IR se deine mediante la terna ordenada un punto del espacio n dimensional se representa por medio de la n upla ordenada de números reales denotada por P... n en particular si n P. DEFINICION. Una unción de n variables es un conjunto de pares ordenados de la orma P en el que dos pares ordenados distintos cualesquiera no tienen el mismo primer elemento. P es un punto del espacio numérico n dimensional es número real. El conjunto de todos los puntos P admisibles recibe el nombre de dominio de la unción el conjunto de todos los valores resultantes de se denomina rango de la unción. DEFINICION La gráica de una unción de dos variables. Si es una unción de dos variables entonces la gráica de es el conjunto de todos los puntos de IR para los cuales es un punto del dominio de. En consecuencia la gráica de una unción de dos variables es una supericie que consta de todos los puntos del espacio tridimensional cuas coordenadas cartesianas están determinadas por las ternas ordenadas de números reales. Como el dominio de es el conjunto de puntos del plano puesto que a cada par ordenado del dominio de le corresponde un solo valor de ninguna recta perpendicular al plano puede interceptar a la gráica de en más de un punto. EJEMPLO Sea la unción de dos variables : IR IR deinida por: 5.

2 El dominio de es el conjunto { / 5}. Este es el conjunto de puntos del plano sobre el círculo 5. La representación gráica del dominio de se muestra en la igura. Debido a que 5 entonces 5; por tanto el rango de es el conjunto de números reales del intervalo cerrado [ 5]. La traa de la unción con el plano se obtiene al sustituir se obtiene la ecuación 5 que es una circunerencia de radio 5 centro en el origen. Las traas con los planos se obtienen al sustituir e respectivamente de esta orma se obtienen las semicircunerencias 5 5 la sección transversal en el plano k paralelo al plano son circunerencias con centro en el eje Z radio 5 k con < k < 5 cuando k 5 se obtiene el punto 5 con esta inormación se obtiene la gráica de la unción que se muestra en la igura. Y 5 Z -5 5 X Y -5 Figura. El dominio de la unción es la región del plano el círculo 5 X Figura. El gráico de la unción es una semiesera con centro en el origen radio 5. EJEMPLO Sea la unción de dos variables : IR IR deinida por:. El dominio de la unción es todo el plano IR como el rango de la unción es. La gráica de es la supericie que tiene la ecuación. La traa de la supericie en el plano se obtiene haciendo se obtiene la ecuación la cual representa el origen. Las traas en los planos e se

3 obtienen al sustituir en la ecuación respectivamente estas traas son las parábolas. La sección transversal en el plano k paralelo al plano es una circunerencia con su centro en el eje Z radio k con esta inormación se obtiene la gráica de la unción la cual se muestra en la igura en la igura se muestran las traas de con el plano k para algunos valores de k. Z Z Y Y X Figura. Figura. X CURVAS DE NIVEL Un método útil para representar gráicamente una unción de dos variables es semejante al de representación de un relieve tridimensional por medio de un mapa topográico bidimensional. Suponga que la supericie se intercepta con el plano k que la curva de intersección se proecta sobre le plano. Esta curva proectada tiene a k como una ecuación la curva se denomina curva de nivel o de contorno de la unción en k. Cada punto de la curva de nivel corresponde a un solo punto de la supericie que se encuentra a k unidades sobre ella si k es positivo o a k unidades debajo de ella si k es negativo. Al considerar dierentes valores para la constante k se obtiene un conjunto de curvas de nivel llamado mapa de contornos. EJEMPLO. Dibujar las curvas de nivel para k 5 6. Para la unción del ejemplo. Las curvas de intersección de la supericie con los puntos del plano k donde k 5 6 son circunerencias con centros en el eje Z radio k. La igura 5 presenta las curvas proectadas sobre el plano las circunerencias proectadas son las curvas de nivel de la unción representan una vista de las circunerencias de la igura que se obtiene al mirar la supericie hacia abajo desde un punto del eje Z.

4 Y 5 6 X Figura 5. Curvas de nivel de Un mapa de contornos de muestra la variación de con respecto a e en el plano al considerar las curvas de nivel. Los valores de cambian más rápidamente cuando las curvas de nivel se encuentran más cercanas entre sí que cuando están más apartadas; esto es cuando las curvas de nivel se hallan mu próimas entre sí la supericie es escarpada cuando las curvas de nivel están separadas la elevación de la supericie respecto al plano cambia gradualmente. Esta situación se puede observar en la igura 5 para las curvas de nivel de la supericie de la igura. Eisten muchos programas que permiten traar gráicas de unciones utiliando una computadora como por ejemplo MAPLE- V MATLAB DERIVE etc. A continuación se ven dos unciones traadas en MAPLE V. Figura 6. -

5 LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE MAS DE UNA VARIABLE A continuación se analiarán las nociones de límite continuidad para unciones de dos o tres variables para esto previamente se deinirán algunos conceptos básicos. Como se vio en el capítulo la deinición límite de una unción de una variable involucra la distancia entre dos puntos de la recta numérica real. El límite de una unción de más de una variable también implica la distancia entre dos puntos. En IR la distancia entre dos puntos es el valor absoluto de la dierencia de dos números reales esto es IR d - a a En IR la distancia entre los puntos P P está dada por d. P d P En IR la distancia entre los puntos P P está dada por d. P P Si P... n Q... n son dos puntos de IR N entonces la distancia entre P Q está dada por d PQ... n n

6 Usando la órmula la distancia δ > entre dos puntos del plano IR deinimos un δ-entorno alrededor de como el disco centrado en con radio δ: δ-entorno { / < δ } si la órmula contiene el signo < se dice que el disco es abierto cuando la desigualdad se dice que el disco es cerrado esto corresponde al uso de < para deinir intervalos abiertos cerrados en IR. Un punto de la región plana R es un punto interior de R si eiste un δ- entorno alrededor de que perteneca totalmente a R; si todos los puntos de R son puntos interiores entonces decimos que R es una región abierta. Un punto es un punto rontera de R si cada disco abierto centrado en contiene puntos del interior de R del eterior de R. Por deinición una región debe contener sus puntos interiores pero no tiene porque contener a sus puntos rontera. Si una región contiene a todos sus puntos rontera entonces decimos que la región es cerrada. δ Punto Interior Punto Frontera Frontera de R Disco Abierto DEFINICIÓN Límite de una unción de dos variables Sea una unción de dos variables deinida en un disco abierto centrado en con la posible ecepción del punto sea L un número real. Entonces L si para cada ε > eiste un δ > tal que si < < δ entonces L < ε Punto rontera e interior de una región R

7 L ε L L - ε Disco de radio δ Gráicamente la deinición de límite signiica que para un punto cualquiera en el disco de radio δ el valor está entre L ε L - ε como se indica en la igura anterior. Podemos ver que eiste una clara semejana entre la deinición de límite de una unción de una variable con la deinición de límite para una unción de dos variables pero eiste una dierencia undamental a que para determinar la eistencia de un límite de una unción de una variable solamente necesitamos comprobar que ocurre al aproimarnos por dos direcciones por la iquierda por la derecha si la unción tiende al mismo límite por la derecha por la iquierda podemos concluir que el límite eiste. Sin embargo para unciones de dos variables al escribir entendemos que el punto se aproima al punto en cualquier dirección. Si el valor de Figura. Idea geométrica de la deinición de límite de una unción de dos variables. no es el mismo para todas las traectorias ormas de aproimarse a entonces el límite no eiste. EJEMPLO Demostrar que a b a

8 SOLUCIÓN Sean L a. Necesitamos probar que para cada ε> eiste un δ-entorno alrededor de a b tal que - L - a < ε siempre que sea distinto de a b esté en el entorno. Primero observamos que de < a b < δ se sigue que - a - a a a b Por lo tanto podemos elegir δ ε se veriica el límite. Los límites de unciones de dos variables tienen las mismas propiedades con respecto a las sumas dierencias productos cuocientes que las unciones de una sola variable. Empleamos estas propiedades en el siguiente ejemplo. < δ EJEMPLO Calcular los límites siguientes: a SOLUCIÓN b a Usando las propiedades de los límites de sumas productos cuocientes tenemos 5 Como el denominador no es cero podemos aplicar la propiedad del límite de un cuociente es igual al cuociente de los límites resulta 5 b SOLUCIÓN En este caso el límite del denominador es cero por lo tanto no podemos airmar la eistencia o no eistencia de un límite tomando los límites del numerador del denominador separadamente dividiendo. Analiaremos el límite a lo largo de dos traectorias distintas la recta m la parábola

9 A lo largo de la recta m m m m m m m m m m m el hecho de que el límite tomado a lo largo de todas las traectorias lineales hacia eista sea igual a cero puede conducirnos a sospechar que eiste el límite. Sin embargo a lo largo de la parábola Por tanto Para que tenga límite cuando deben coincidir los límites a lo largo de todas las traectorias de acercamiento. Dado que se han alcanado límites distintos para traectorias distintas que no eiste. OBSERVACIÓN Ha que hacer notar que si estos dos o más límites por traectorias distintas coincidiesen eso no sería suiciente para concluir que el límite eiste. Para llegar a esa conclusión sería preciso probar usando la deinición que el límite es el mismo sea cual sea el camino o traectoria por el que nos acercamos al punto el siguiente ejemplo servirá para reorar esta idea. EJEMPLO Sea calcular si eiste. SOLUCIÓN La unción está deinida en todos los puntos de IR ecepto en probaremos primero a lo largo de traectorias que siguen rectas por el origen entonces m así m m m m m m m m m m Veamos que ocurre al tomar la traectoria

10 8 8 6 Aunque se obtiene el mismo límite si se aproima a a lo largo de cualquier recta que pase por el origen así como por la parábola no se puede concluir que el límite eista sea igual a no obstante se puede esperar que este sea el caso para demostrar que el límite es usamos la deinición de límite esto es debemos probar que para cualquier ε> eiste un δ > tal que si δ < < entonces < ε < ε si δ < < entonces < ε si esto puede probarse entonces se habrá demostrado que. Como e entonces δ. De modo que se tiene una elección adecuada para δ la despejarla de δ ε; así δ ε. Con esta δ se tiene el argumento siguiente: < δ < < δ < δ ε < <ε Así si δ ε entonces se ha demostrado que. Deinición Continuidad de una unción de n variables

11 Suponga que es una unción de n variables que A es un punto de IR n. Se dice que es continua en el punto A si sólo si se satisacen las tres condiciones siguientes: i A eiste; ii P eiste; P A iii P A. P A Si una o más de estas tres condiciones no se cumple para el punto A entonces se dice que es discontinua en A. Si una unción de dos variables es discontinua en un punto a b pero eiste entonces se dice que tiene una discontinuidad a b evitable o removible en a b debido a que si se redeine en a b de modo que a b entonces la nueva unción es continua en a b. Si a b una discontinuidad no es evitable entonces se denomina discontinuidad esencial esta ocurre cuando el límite no eiste. Ejemplo Determine si la unción es continua en si si si SOLUCIÓN Al veriicar las condiciones de la deinición anterior se tiene: i por lo tanto se cumple la condición i. ii Para determinar si eiste vamos a considerar dos traectorias distintas primero a lo largo del eje recta todo punto es de la orma al calcular el límite por esta traectoria resulta Calculemos ahora el límite a lo largo de la recta todo punto es de la orma al calcular el límite por esta traectoria resulta de resulta que no eiste. Por lo tanto la unción posee una discontinuidad esencial en.

12 EJEMPLO 5:. Silla de montar. ó Z. Z Plano por el origen. Z 5 Semiesera de radio 5 Variables Independientes g Variables Independientes h... n n Variables Independientes IR g IR h IR n DEFINICIÓN: Una deinición es Continua en b a b a b a b a si está deinida en NOTA: Las deiniciones de límite continuidad de Funciones de ó más variables son completamente análogas. Si... n es una Función de n variables la Derivada Parcial de con respecto a su j-ésima variable Función obtenida dierenciando con respecto a variables como constantes. j se representa por j se deine como la j tratando a todas las otras DEFINICIÓN: Sea IR ; claramente tendremos dos Derivadas Parciales una con respecto a la otra con respecto a. SIMBOLOGIA USUAL

13 Observación d d h h h Derivada Ordinaria h h h h h h EJEMPLO 6: Si calcular Usando la deinición: h h h Derivada parcial de respecto aquí es constante Derivada parcial de respecto aquí es constante Constante h h h h h h h h h h h h h h h h h h h Constante h h h h h h

14 EJEMPLO 7. Calcular para: a b. c. ó e e e e e e e e d. Arc tan d du u u Arc d d tan

15 EJEMPLO 8. EJEMPLO 9. sen e sen e e sen e e sen e e sen e cos cos cos cos EJEMPLO Hallar las derivadas parciales de primer orden de 9

16 EJEMPLO En cada uno de los siguientes ejercicios hallar la derivada parcial en los valores indicados. a arcsen arcsen arcsen - No está deinido No está deinido sen π b e tan sen e π e sec sen e cose sen tan π π π sec cos e sen π tan e π sen e π sec π e sen π sec π π e π e

17 DE ORDEN SUPERIOR Derivadas Parciales de Derivadas Parciales. 8 Si 5 Entonces 5 Al calcular las Derivadas Parciales de obtenemos: OBSERVACIÓN coinciden. TEOREMA Para muchas unciones ocurre que las Derivadas Cruadas Si tiene Derivadas Parciales Continuas entonces La notación para las derivadas de segundo orden.

18 EJEMPLOS: Calcular las derivadas de segundo orden MÁXIMOS Y MINIMOS TEOREMA DE LOS VALORES EXTREMOS de R. Sea R una región del plano XY cua curva rontera se considera como parte Si es una unción dierenciable de dos variables independientes continua en IR entones eiste por lo menos un punto de R donde toma un valor Máimo también eiste por lo menos un punto de R donde toma un valor Mínimo. DEFINICIÓN: Diremos que una unción tiene un Máimo Relativo en eiste alguna región R que contenga a como punto Interior tal que: R. Diremos que tiene un Mínimo Relativo cuando R si

19 Z tiene un Punto Máimo tiene un Punto Mínimo DEFINICIÓN EJEMPLO: Un punto donde se anulan se llama Punto Crítico de. Un Punto Crítico en el que no es Máimo ni Mínimo es un Punto de silla La Función posee un Punto de Silla en 8

20 EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA Supongamos que es una Función de dos variables X e Y que todas las Derivadas Parciales de segundo orden de son Continuas. Sea: D D Y supongamos que a b es un punto crítico de. Si Da b < entonces tiene un punto de silla en a b. Si Da b > < entonces tiene un Máimo Relativo en a b. Si Da b > > entonces tiene un Mínimo Relativo en a b Si Da b el criterio no conclue nada puede tener un Etremo Relativo o un punto de silla en a b. EJEMPLOS: Clasiicar los Etremos Relativos de la Función: SOLUCION: PRIMERO: Hallar los puntos críticos El único punto crítico es SEGUNDO: Usar el Criterio de la segunda derivada. D Luego D > D > Además > es un Mínimo Relativo de. 9

21 . Clasiicar los puntos críticos de: SOLUCION Punto Crítico Ω D < Es un Punto de Silla SOLUCION: Calculamos la primera derivada Encontramos los puntos críticos / 6 8

22 9 P P Aplicamos el criterio de la segunda derivada D D 9 > 9 9 > 6 Mínimo Relativo 7 7 < D Punto de Silla EJERCICIO. Hallar los máimos mínimo los puntos de silla de SOLUCION: - M m s PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN. Hallar las dimensiones de la caja rectangular abierta en su parte superior que tiene el máimo volumen si el área es total. SOLUCION Sean V volumen largo ancho altura

23 Área: Despejando sustituendo en V. PUNTOS CRITICOS: V > > > V g V V V V g V V V

24 Igualando a cero V V se descarta Restando - se descarta Por - sustituendo en luego 8 Las dimensiones que dan volumen máimo son por por metros. Una tienda de licores botillería vende dos marcas A B de vino. El propietario puede obtener ambos vinos a un costo de U$ por botella estima que si el vino de la primera marca se vende a dólares por botella el vino de la segunda marca B se vende a dólares por botella. Los consumidores comprarán aproimadamente: 5 Botellas de la marca A 6 7 Botellas de la marca B por día. Qué precio deberá poner el propietario a los vinos para obtener el maor beneicio?

25 SOLUCION Sea B T BENEFICIO TOTAL B Beneicio marca A Beneicio marca B T B A Costo marca A Nº Unidades Vendidas B B Costo marca B Nº Unidades Diarias Vendidas 6 7 B T B B A B T B Derivando } se deja como ejercicio la aplicación del criterio de la segunda derivada para comprobar que la utilidad máima se obtiene para 7 e 5.