Matemática II Tema 10: funciones de múltiples variables

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1 Matemática II Tema 10: funciones de múltiples variables Índice Funciones de múltiples variables 1 Definición, dominio e imagen 1 Gráficos curvas de nivel 4 Límites continuidad 5 Límites de funciones de múltiples variables 5 Continuidad de funciones 8 Trabajo práctico 10 Ejemplos con Sage 12 Graficar funciones f (, ) 12 Funciones de múltiples variables Definición, dominio e imagen Comentarios preliminares Muchas funciones dependen de más de una variable independiente. Por ejemplo, el volumen de un cilindro circular recto es una función V = πr 2 h del radio la altura. O sea, es una función V(r, h) de dos variable r h. Etenderemos las ideas básicas que a conocemos, de funciones de una variable, a funciones de múltiples variables. Qué es una función de múltiples variales? Definición 1 (función de múltiples variables). Supongamos que D es un conjunto de n-tuplas de números reales ( 1, 2,..., n ). Una función real f en D es una regla que le asigna un único número w = f ( 1, 2,..., n ) a cada elemento del conjunto D. D es el dominio de f. El conjunto de números w es la imagen o rango de f.

2 tema 10: funciones de múltiples variables 2 w es la variable dependiente, los 1,..., n son las n variables independientes. D O (, ) (a, b) f f (a, b) 0 f (, ) z Figura 1: representación de una función f de dos variables, con su dominio D su imagen. Como siempre, para evaluar una función f reemplazamos por los valores de la variables independientes. Por ejemplo, el valor de f (,, z) = z 2 en el punto (3, 0, 4) es Dominio e imagen de f f (3, 0, 4) = = 25 = 5 Como siempre, el dominio D no debe incluir puntos que produzcan resultados no reales o divisiones por cero... Por ejemplo, si f (, ) = 2, no puede ser menor que 2... O por ejemplo, si f (, ) = 1/, no puede ser cero... Salvo que se especifique eplícitamente, el dominio D se deberá asumir tan grande como sea posible. Y la imagen será el conjunto de todos los posibles valores de f sobre D. Ejemplo 1. El dominio la imagen de algunas funciones. a) f de dos variables. Función Dominio Imagen z = 2 2 [0, ) z = 1 = 0 (, 0) (0, ) z = sin todo el plano [ 1, 1] b) f de tres variables. Función Dominio Imagen w = z 2 todo el espacio z [0, ) 1 w = z 2 (,, z) = (0, 0, 0) [0, ) w = ln z z > 0 (, )

3 tema 10: funciones de múltiples variables 3 Puntos interiores puntos frontera Definición 2 (punto interior). Un punto ( 0, 0 ) en una región (un conjunto) R del plano es un punto interior de R si es centro de un disco que esté completamente dentro de R. Definición 3 (punto frontera). Un punto ( 0, 0 ) en una región (un conjunto) R del plano es un punto frontera de R si cualquier disco del que sea centro contiene puntos dentro fuera de R. R ( 0, 0 ) Regiones abiertas regiones cerradas Definición El conjunto de puntos interiores de R forman su interior. 2. El conjunto de puntos frontera de R forman su frontera. Figura 2: ( 0, 0 ) es un punto interior de la región R del plano. 3. Una región R es abierta si solo inclue los puntos interiores. 4. Una región R es cerrada si también inclue los puntos frontera. Regiones limitada e ilimitadas R ( 0, 0 ) Definición Una región R del plano es limitada si puede ser contenida dentro de un disco de radio fijo. 2. Una región R es ilimitada si no es limitada. Ejemplos de regiones limidas: segmentos de recta Figura 3: ( 0, 0 ) es un punto frontera de la región R del plano. triángulos rectángulos discos elipses O etc. Ejemplos de regiones ilimidas: rectas ejes coordenados Figura 4: { (, ) < 1 } es un disco unidad abierto. graficos de funciones definidas en (, ) cuadrantes, semiplanos etc. Ejemplo 2. Describir el dominio D de la función f (, ) = 2. O 1. f está definida solo donde El dominio D es cerrado e ilimitado. Figura 5: { (, ) } es un disco unidad cerrado.

4 tema 10: funciones de múltiples variables 4 3. La parábola = 2 es la frontera de D. 4. Formalmente se escribe D = Gráficos curvas de nivel { } (, ) 2 0 Curvas de nivel gráfico de una función f (, ) Definición 6 (curva de nivel de f ). El conjunto de puntos en el plano, donde la función f (, ) toma un valor constante f (, ) = c, se llama curva de nivel de f. Definición 7 (gráfico de f ). El conjunto de todos los puntos (,, f (, ) ) en el espacio, para (, ) en el dominio de f, se llama gráfico de f. Al gráfico de f también se le dice superficie z = f (, ). afuera 2 < Figura 6: el dominio de f (, ) = 2. puntos interiores donde 2 > 0 la parábola = 2 es la frontera Ejemplo 3. Graficar f (, ) = dibujar las curvas de nivel f (, ) = 0, f (, ) = 51 f (, ) = 75 en el dominio de f en el plano. f (, ) = 75 z 100 la superficie z = f (, ) = es el gráfico de f 1. El dominio de f es todo el plano, su imagen es (, 100]. 2. El gráfico de f es el paraboliode z = f (, ) = La curva de nivel f (, ) = 0 es el conjunto de puntos, del plano, que cuemplen = 0 lo que es equivalente a = f (, ) = 0 Figura 7: el gráfico, algunas curvas de nivel, de la función z = f (, ) = o sea un círculo de radio r = Similarmente, las curvas de nivel f (, ) = 51 f (, ) = 75 son el círculo = 51 o sea el círculo o sea = 49 (r = 7) = = 25 (r = 5)

5 tema 10: funciones de múltiples variables 5 Funciones de tres variables Definición 8. El conjunto de puntos (,, z) del espacio donde una función de tres variables tiene un valor constante f (,, z) = c se llama superficie de nivel de f. Gráficos de funciones de tres variables Como los gráficos de funciones de tres variables consisten en puntos (,, z, f (,, z) ) de cuatro dimensiones, no pueden graficarse en nuestro espacio tridimensional. Para ver como se comporta la función debemos utilizar sus superficies de nivel z 2 = 1 Ejemplo 4. Describir las superficies de nivel de f (,, z) = z 2 z z 2 = 2 1. El valor de f corresponde a la distancia del origen al punto (,, z) z 2 = 3 2. Cada superficie de nivel f (,, z) = c, con c > 0, es una esfera de radio c con centro en el origen Es importante notar que no estamos graficando la función; estamos mirando las superficies de nivel en el dominio de f Las superficies de nivel nos dicen como cambia la función cuando nos movemos en el dominio. 5. Si nos modemos sobre una esfera de radio c, centrada en el origen, la función tendrá un valor constante. Figura 8: las superficies de nivel de la función f (,, z) = z 2 son esferas concéntricas. 6. Si nos alejamos del origen f crece, si nos acercamos al origen f decrece... Repaso de ideas clave 1. El dominio de f (, ) es una región del plano. 2. Una región es abierta o cerrada según inclua o no sus puntos frontera. 3. El gráfico de f (, ) es una superficie del espacio z. 4. Las curvas de nivel f (, ) = c se dibujan en el dominio de de la función f. Límites continuidad Límites de funciones de múltiples variables Límite de funciones de dos variables

6 tema 10: funciones de múltiples variables 6 Definición 9. Se dice que una función f (, ) tiende al ite L a medida que (, ) se acerca a ( 0, 0 ), se escribe f (, ) = L (,) ( 0, 0 ) sí, para todo número ɛ > 0, eiste un correspondiente número δ > 0 tal que para cualquier (, ) en el dominio de f f (, ) L < ɛ cuando 0 < ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 ) < δ Intepretación gráfica de la definición de ite La diferencia entre el valor de f (, ) el número L puede ser tan pequeña como queramos, si la distancia entre (, ) ( 0, 0 ) es mu pequeña (pero nunca 0). D f (, ) δ ( 0, 0 ) O O L ɛ L L + ɛ z Figura 9: en la definición de ite, δ es el radio de un disco centrado en ( 0, 0 ). Para todos los puntos (, ) dentro de ese disco, los valores de la función f (, ) caen dentro del intervalo (L ɛ, L + ɛ). Algunos comentarios importantes No puede considerarse el ite de puntos aislados en el dominio de f. Si el ite eiste, entonces es único. Para una f de una variable, el 0 f () eiste si solo si eisten, son iguales, los ites por derecha por izquierda... Para una f de dos variables, el (,) (0, 0 ) f (, ) eiste si solo si f (, ) tiende al mismo número L siempre que (, ) se aproima a ( 0, 0 ), sin importar por qué camino. (, ) puede acercarse a ( 0, 0 ) siguiendo cualquier curva que pertenezca a D. No es necesario que L = f ( 0, 0 ), incluso si f ( 0, 0 ) está definido. Teorema 1 (algunas propiedades del ite). Supongamos que L, M k son números reales, que f (, ) = L (,) ( 0, 0 ) g(, ) = M (,) ( 0, 0 )

7 tema 10: funciones de múltiples variables 7 entonces a) Suma o resta: ( ) f (, ) ± g(, ) = L ± M (,) ( 0, 0 ) b) Múltiplo: k f (, ) = kl (,) ( 0, 0 ) c) Producto: (,) ( 0, 0 ) d) Cociente: (,) ( 0, 0 ) Ejemplo 5. Calcular los siguientes ites. 1. (,) (0,1) 2. (,) (3, 4) ( f (, )g(, ) ) = LM f (, ) g(, ) = L/M = = = ( 4) 2 = 25 = 5 Ejemplo 6. Calcular 2 2 = ( 2 ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) = = ( + ) ( ) = = 0 Ejemplo 7. Calcular, si eiste, Qué pasa si nos acercamos a (0, 0) a lo largo de la recta = 0? por = = 0 0 = 0 2. Y qué pasa si nos acercamos por la recta = 0? por = = 0 0 = 0 3. Y qué pasa si nos acercamos por la recta =? por = = = 2 = Podemos seguir probando por otras rectas, por parábolas, por espirales, etc., etc., pero lo importante es que, si el ite eiste, debería valer 0...

8 tema 10: funciones de múltiples variables 8 5. Para demostrar que por todos los caminos posibles el ite vale 0, debemos utilizar la definición f (, ) L = = = 4 2 utilizando la desigualdad Entonces f (, ) L < 4δ para cualquier punto dentro del disco con centro (0, 0), donde 0 < < δ. Si elegimos un número ɛ = 4δ nos queda f (, ) L < ɛ Entonces, por la definición, = 0. Ejemplo 8. Si f (, ) =, eiste el ite f (, )? 1. El dominio de f no inclue la recta = 0, así que no podemos acercarnos por ella al punto (0, 0) Si podemos acercarnos por la recta = 0 = 0 = 0 0 por =0 3. También podemos acercarnos por la recta = = 1 = 1 0 por = 4. Como 1 = 0, resulta que el ite no eiste. Continuidad de funciones Utilizando ites para definir la continuidad de f Definición 10 (continuidad). Una función f (, ) es continua en el punto ( 0, 0 ) sí 1. f está definida en ( 0, 0 ) (o sea, si se puede calcular allí) 2. f (, ) eiste (,) ( 0, 0 ) 3. (,) ( 0, 0 ) f (, ) = f ( 0, 0 ). Se dice que una función es continua (a secas) si es continua en cada punto de su dominio. Ejemplo 9. Mostrar que f (, ) = { sí (, ) = (0, 0) 0 sí (, ) = (0, 0) es una función continua en todo punto, ecepto en el origen.

9 tema 10: funciones de múltiples variables 9 1. La función f es continua en cualquier punto (, ) = (0, 0), a que allí está definida, puede calcularse el ite por substitución, el valor el ite coinciden. 2. En (, ) = (0, 0) la función está definida, toma el valor 2 f (0, 0) = 0; pero resulta que 2 no eiste Si probamos acercarnos a (0, 0) por rectas = m, resulta por =m = 0 2m 2 (1 + m 2 ) 2 2m = 0 (1 + m 2 ) 2m = (1 + m 2 ) Entonces, según sea la pendiente m de la recta, el resultado será un valor distinto... Esto indica justamente que el ite no eiste. Repaso de ideas clave 1. Si f (, ) eiste, entonces debe ser único. (,) ( 0, 0 ) 2. El punto ite ( 0, 0 ) puede no pertencer al dominio de la función f. 3. Una función f será continua en ( 0, 0 ) solamente si se cumple que (,) ( 0, 0 ) f (, ) = f ( 0, 0 )

10 tema 10: funciones de múltiples variables 10 Trabajo práctico 1. Obtenga grafique el dominio de cada función. a) f (, ) = 1 ln (4 2 2 ) b) f (, ) = 2 c) f (, ) = ( 1)( + 2) ( )( 3 ) 2. Para cada función, obtenga bosqueje las curvas de nivel f (, ) = c, para cada valor de c indicado. a) f (, ) = c = 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3 b) f (, ) = c = 0, 1, 4, 9, 16, 25 c) f (, ) = c = 0, 1, 2, 3, 4 3. Determine la ecuación para la superficie de nivel de la función en el punto dado. a) f (,, z) = ln z (3, 1, 1) b) f (,, z) = ln ( z 2) ( 1, 2, 1) c) g(,, z) = z (1, 2 1, ) 2 4. Calcule los siguientes ites a) cos + 1 b) (,) (π/2,0) sin c) (,,z) (π,0,3) ze 2 cos 2 5. Calcule los siguientes ites, replanteando primero las fracciones a) (,) (1,1) 2 2 b) (,) (1,1) c) (,) (2,0) con 2 = 4 6. En cuales puntos (,, z) del espacio R 3 son continuas las siguientes funciones? a) f (,, z) = z 2 1 b) f (,, z) = z 2 2 c) f (,, z) = z 2 1

11 tema 10: funciones de múltiples variables Considerando diferentes caminos de aproimación, demuestre que las funciones siguientes no tienen ite cuando (, ) (0, 0). a) f (, ) = b) f (, ) = c) f (, ) = +

12 tema 10: funciones de múltiples variables 12 Ejemplos con Sage Graficar funciones f (, ) Gráfico de funciones de sus curvas de nivel # las variables independientes son e, = var(",") # crear la función f (, ) = f(,) = 100 -**2 -**2 print f # hacer el gráfico de f (, ) g1 = plot3d(f,(-10,10),(-10,10),color="red") g1.show() # esto es en 3D # hacer el gráfico de las curvas de # nivel c = 0, 51, 75 g2 = contour_plot(f,(,-10,10),(,-10,10), contours=[0,51,75]) g2.show() # esto es en 2D Graficar una función continua f (, ) # las variables independientes son e, = var(",") # crear la función f (, ) = sin( )( ) 1 # que es continua en (0, 0) f(,) = sin(**2+**2)/(**2+**2) print f # hacer el gráfico de f (, ) g1 = plot3d(f,(-3,3),(-3,3),color="green") g1.show() # esto es en 3D # hacer el gráfico de algunas curvas de nivel g2 = contour_plot(f,(,-3,3),(,-3,3)) g2.show() # esto es en 2D El código Sage en los siguientes recuadros puede ser seleccionado, copiado pegado en una hoja de trabajo de Sage, para ejecutarlo así obtener los resultados los gráficos. Puede utilizar estos ejemplos de código Sage como base para comprobar los resultados de los ejercicios del trabajo práctico. Graficar una función discontinua f (, ) # las variables independientes son e, = var(",") # crear la función f (, ) = 1 # que no es continua en (0, 0) f(,) = ***(-1) print f # hacer el gráfico de f (, ) g1 = plot3d(f,(-1,1),(-1,1),color="green") g1.show() # esto es en 3D # hacer el gráfico de algunas curvas de nivel g2 = contour_plot(f,(,-1,1),(,-1,1)) g2.show() # esto es en 2D

13 tema 10: funciones de múltiples variables 13 Graficar una función discontinua f (, ) # las variables independientes son e, = var(",") # crear la función f (, ) = 2( ) 1 # que no es continua en (0, 0) f(,) = 2***(**2+**2)**(-1) print f # hacer el gráfico de f (, ) g1 = plot3d(f,(-1,1),(-1,1),color="green") g1.show() # esto es en 3D # hacer el gráfico de algunas curvas de nivel g2 = contour_plot(f,(,-1,1),(,-1,1)) g2.show() # esto es en 2D