UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Escuela Politécnica Superior Departamento de Matemáticas

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1 UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Escuela Politécnica Superior Departamento de Matemáticas a t e a t i c a s PROBLEMAS, CÁLCULO I, er CURSO. FUNCIONES DE VARIABLE REAL GRADO EN INGENIERÍA EN: SISTEMAS AUDIOVISUALES SISTEMAS DE COMUNICACIÓN TELEMÁTICA Colección elaborada por Arturo de PABLO Elena ROMERA

2 Funciones de variable real.. Funciones de variable real... La recta real. Problema.. i) Sean los números reales 0 < a < b, k > 0. Demuestra las desigualdades ) a < ab < a + b < b, ) a b < a + k b + k. ii) Demuestra que a + b = a + b ab 0. Demuestra la desigualdad a b a b, para todo a, b IR. iv) Demuestra que: a) má{, y} = + y + y, b) mín{, y} = + y y. v) Epresa con una sola fórmula la función f() = () + = { si > 0 0 si 0. Problema.. Descompón las epresiones en n en producto de factores para demostrar que para todo n IN se tiene i) n n es par; ii) n 3 n es múltiplo de 6; n es múltiplo de 8 si n es impar. Problema..3 Utiliza el método de inducción para demostrar las siguientes fórmulas: i) n j = j= n(n + ) ; ii) n (j ) = n ; j= n j = j= n(n + )(n + ). 6 Problema..4 i) suma geométrica: Demuestra por inducción n j=0 r j = rn+, para todo n IN, r ; r ii) desigualdad de Bernoulli: ( + h) n + nh, para todo n IN, h >. Problema..5 Demuestra por inducción que para todo n IN se tiene i) 0 n es múltiplo de 9; ii) 0 n ( ) n es múltiplo de. Problema..6 i) Demuestra que un número es múltiplo de 4 si y sólo si sus dos últimas cifras forman un número múltiplo de 4. ii) Demuestra que un número es múltiplo de k si y sólo si sus k últimas cifras forman un número múltiplo de k.

3 Funciones de variable real. Demuestra que un número es múltiplo de 3 (ó 9) si y sólo si la suma de sus cifras es N N múltiplo de 3 (ó 9). Es decir, n = a j 0 j es múltiplo de 3 (ó 9) si y sólo si a j es múltiplo de 3 (ó 9). j=0 iv) Demuestra que un número es múltiplo de si y sólo si la suma de sus cifras colocadas en lugar par menos la suma de sus cifras colocadas en lugar impar es múltiplo de, es N decir, ( ) j a j es múltiplo de. j=0 Indicaciones: ii) escribe el número en la forma n = 0 k a + b, con a 0, 0 b < 0 k ; y iv) utiliza el problema..5. j=0 Problema..7 n IN se tiene Demuestra por inducción y utilizando el binomio de Newton, que para todo i) n 3 n es múltiplo de 6; ii) n 5 n es múltiplo de 5. Problema..8 Prueba que: i) si n IN no es un cuadrado perfecto, n / Q; ii) + 3 / Q. Indicación: i) escribe n = z r, donde r no contiene ningún factor cuadrado. Problema..9 Encuentra el conjunto de los IR que verifican: i) A = { 3 8 }, ii) B = { 0 < < / }, C = { }, iv) D = { 3 ( + 3)( 5) < 0 }, v) E = { > 0 }, vi) F = { 4 < }, vii) G = { 4 < }, v H = { < }, i) I = { + = 0 }, ) J = { + > }. Problema..0 Dados dos números reales a < b, definimos, para cada t IR el número (t) = ( t)a + tb. Describe los siguientes conjuntos de números: i) A = { (t) : t = 0,, / }, ii) B = { (t) : t (0, ) }, C = { (t) : t < 0 }, iv) D = { (t) : t > }. Problema.. Halla el supremo, el ínfimo, el máimo y el mínimo (caso de eistir), de los siguientes conjuntos de números reales: i) A = { } [, 3); ii) B = {3} {} { } [0, ];

4 Funciones de variable real. 3 C = { = + /n : n IN }; iv) D = { = (n + )/n : n IN }; v) E = { IR : }; vi) F = { IR : ( a)( b)( c)( d) < 0 }, vii) G = { = p + 5 q : p, q IN }; v H = { = ( ) n + /m : n, m IN }. con a < b < c < d fijados; Problema.. Representa en el plano IR los siguientes conjuntos: i) A = { y < }, ii) B = { < y < }, C = { + y ZZ }, iv) D = { + y = }, v) E = { ( ) + (y + ) < 4 }, vi) F = { = y }, vii) G = { 4 + y 4, y 0 }, v H = { + y < 9, y 0 }. Problema..3 Demuestra que las rectas y = m+b, y = n+c son ortogonales si mn =. Problema..4 con a, b, c > 0. Sea el triángulo en el plano formado por los puntos (a, 0), ( b, 0) y (0, c), i) Calcula el punto de corte de las tres alturas. ii) Calcula el punto de corte de las tres medianas. Cuándo coinciden estos dos puntos? Problema..5 i) Sea la parábola G = {y = }, y el punto P = (0, /4). Halla λ IR tal que los puntos de G equidistan de P y de la recta horizontal L = {y = λ}. ii) Inversamente, el conjunto G tal que sus puntos equidistan de un punto P = (a, b) y de una recta L = {y = λ}, es la parábola y = α + β + γ. Halla α, β, γ. Problema..6 i) Halla el conjunto de puntos del plano cuya suma de distancias a los puntos F = (c, 0) y F = ( c, 0) es a, (a > c). ii) La misma cuestión sustituyendo suma por diferencia (con a < c).

5 Funciones de variable real. 4.. Funciones elementales. Problema.. Problema.. Encuentra el dominio de las siguientes funciones: i) f() = 5 + 6, ii) f() = +, f() =, iv) f() = v) f() = 4, log, vi) f() = log( ), 5 vii) f() =, v f() = arc sen(log ). log i) Si f y g son dos funciones impares, cómo son f + g, f g y f g? ii) Y si f es par y g impar? Problema..3 Estudia la simetría de las siguientes funciones: i) f() =, ii) f() = +, f() = sen, iv) f() = (cos 3 )(sen )e 4, v) f() = Indicación: vi) es impar. +, vi) f() = log( + ). Problema..4 Para qué números a, b, c, d IR se tiene que la función f() = a + b c + d satisface f f = I (la identidad) en el dominio de f? Problema..5 Comprueba que la función f() = + 3 es biyectiva definida de IR { /} + en IR {/} y calcula su inversa. Problema..6 i) Estudia cuáles de las siguientes funciones son inyectivas, hallando su inversa en caso de que lo sean, o un ejemplo de dos puntos con la misma imagen en caso de que no lo sean. a) f() = 7 4, b) f() = sen(7 4), c) f() = ( + ) 3 +, d) f() = + +, e) f() = 3 +, f) f() = +., g) f() = e, h) f() = log( + ).

6 Funciones de variable real. 5 ii) Demuestra que la función f() = 3 + sí es inyectiva en (3/, ). Demuestra que la función f() = + sí es inyectiva en (, ) y encuentra f ( /3). iv) Estudia si las funciones anteriores son sobreyectivas y si son biyectivas definidas en su dominio D(f) en IR. Demuestra que a sen + b cos se puede escribir como A sen( + B), y en- Problema..7 cuentra A y B. Problema..8 Calcula i) arc tg + arc tg 3, ii) arc tg + arc tg 3, arc tg + arc tg 5 + arc tg 8. Indicación: utiliza la fórmula de la tangente de la suma y estudia los signos. Problema..9 Simplifica las siguientes epresiones i) f() = sen(arc cos ), ii) f() = sen( arc sen ), f() = tg(arc cos ), iv) f() = sen( arc tg ), v) f() = cos( arc tg ), vi) f() = e 4 log. Problema..0 Resuelve el sistema de ecuaciones, para, y > 0, { y = y y = 3. Problema.. Describe la función g en términos de f en los siguientes casos (c IR es una constante). Dibújalas para f() = y f() = sen. i) g() = f() + c, ii) g() = f( + c), g() = f(c), iv) g() = f(/), v) g() = f( ), vi) g() = f(), vii) g() = /f(), v g() = (f()) + = má{f(), 0}. Problema.. Esboza, con los mínimos cálculos posibles, la gráfica de las siguientes fun-

7 Funciones de variable real. 6 ciones: i) f() = ( + ), ii) f() = 4, f() = + /, iv) f() = /( + ), v) f() = mín{, }, vi) f() = e, vii) f() = [], v f() = /[/], i) f() =, ) f() = e, i) f() = log( ), ii) f() = sen(/). Indicación: [] = n denota la parte entera de, es decir, el mayor entero n. Problema..3 Definimos las funciones hiperbólicas senh = e e, cosh = e + e. i) Estudia su simetría. ii) Demuestra las fórmulas a) cosh senh =, b) senh = senh cosh. Simplifica la función f() = senh. iv) Esboza la gráfica de las funciones senh y cosh. Problema..4 Esboza las siguientes curvas dadas en coordenadas polares: i) r =, θ [0, π], ii) θ = 3π/4, r, r = sen θ, θ [0, π], iv) r = θ, θ [0, π], v) r = e θ, θ [ π, π], vi) r = sec θ, θ [0, π/], vii) r = sen θ, θ [0, π], v r = (cos θ) +, θ [0, π], i) r = cos θ, θ [0, π], ) r = (sen 3θ) +, θ [0, π/3]. Problema..5 Esboza los siguientes conjuntos en el plano dados en coordenadas polares: i) A = { < r < 4 }, ii) B = { π/6 θ π/3 }, C = { r θ, 0 θ 3π/ }, iv) D = { r sec θ, 0 θ π/4 }.

8 Funciones de variable real Límites de funciones. Problema.3. Utilizando la definición ε δ de ite prueba que: i) = 4, ii) 3 (5 ) 6, + sen = 0, iv) = 3. 9 Problema.3. aparecer: Calcula los siguientes ites simplificando los factores comunes que puedan n a n a i), ii) a a a a, , iv) 4, v) h 0 ( h) 3 h (, vi) ). Problema.3.3 ites: Utilizando los ites sen =, e i) (sen 3 ) 6, ii) cos, =, calcula los siguientes tg + sen( + a) sen a +, iv), log( + ) v), vi) ( + ) /, vii) i) i) log( ) sen e e sen sen, v ( + sen ) /, tg sen, ) 3, ( ) sen sen, ii) (cos ) /, sen sen(/) a b π ( π), iv). Indicación: será preciso utilizar algún cambio de variables y el ite de la composición.

9 Funciones de variable real. 8 Problema.3.4 Calcula los siguientes ites: i) , ii) sen , + ( +, iv) + 4 ), v) e e, vi) e e, vii) Problema.3.5, v 4 + Calcula los ites laterales: ( ) [t], ( ) [t], i) ii) t 0 + t t 0 t 4 +. t 0 e/t, iv) + t 0 e/t. Problema.3.6 Calcula los ites ( + 7 ) 4 i) + 3 e /t, ii) 6 t 0 + e /t Problema.3.7 i) Determina la relación entre a y b para que a/( ) = (cos ) b/. ii) Si f() = log(log ) y α > 0, halla (f() f(α)) y (f() f(α )). Problema.3.8 i) Demuestra que si f() = 0 entonces f() sen / = 0. ii) Calcula + sen /..4. Continuidad Problema.4. i) Prueba que si f es continua en un punto a y g lo es en f(a), entonces g f es continua en a. ii) Demuestra que si f es continua, entonces f también lo es. Es cierto el recíproco? Qué puede decirse de una función continua que toma valores sólo en Q?

10 Funciones de variable real. 9 Problema.4. Halla λ IR para que la función b() = i) IR, ii) [0, ]. λ λ + sea continua en: Problema.4.3 Estudia la continuidad de las siguientes funciones: i) f() = e 5 + cos 8 + ; ii) g() = e 3/ + 3 9; h() = 3 tg(3 + ); iv) j() = 5 + 6; v) k() = (arc sen ) 3 ; vi) m() = ( 5) log(8 3); Problema.4.4 Estudia la continuidad de las siguientes funciones: i) f() = []; { ii) f() = sen(/) si 0 0 si = 0; tg si > 0 f() = 0 si = 0 e / si < 0; { si Q iv) f() = si / Q. Problema.4.5 Demuestra los siguientes teoremas de punto fijo: i) Sea f : [0, ] [0, ] una función continua. Entonces eiste c [0, ] tal que f(c) = c. ii) Sean f, g : [a, b] IR dos funciones continuas tales que f(a) > g(a), f(b) < g(b). Entonces eiste c (a, b) tal que f(c) = g(c).