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Transcripción

1 Funciones de varias variables Función de dos variables Definición. Es una función f que asigna a cada pareja ordenada (, ) de D un único número real f (, ). El conjunto D es el dominio de f, el correspondiente conjunto de valores f (, ) es el rango. f (,) z = f(, ) Dominio Rango Gráfica de la función de dos variables Es el conjunto de todos los puntos (,, z) para los z f (, ) (, ) el dominio de f. que está en 1

2 Ejemplo. Bosqueje la gráfica de f (, ) 1 Curvas de nivel Una segunda manera de visualizar una función de dos variables es usar un campo escalar en el que el escalar z f (, ) se asigna al punto (, ). Un campo escalar puede caracterizarse por sus curvas de nivel o líneas de contorno a lo largo de los cuales es constante. Las curvas de nivel de igual presión se llaman isobaras. Las curvas de nivel que en mapas climáticos representan puntos de igual temperatura reciben el nombre de isotermas. Las curvas de nivel que representan campos de potenciales eléctricos se llaman líneas equipotenciales. Los mapas de contorno suelen utilizarse para representar regiones de la superficie de la tierra, donde las curvas de nivel representan la altura sobre el nivel del mar. Este tipo de mapas se llama mapa topográfico. Límites continuidad Previo a la definición de límite de una función de dos variables necesitamos definir una serie de conceptos, tales como: 1. Vecindad de un punto : un punto que pertenece a R, cualquier subconjunto de R que posea un abierto que contenga a se llama una vecindad de.

3 . Bola abierta: se llama bola abierta al conjunto representado por B {(, ) : ( ) ( ) } ( ) Bola cerrada: se llama bola cerrada al conjunto dado por B {(, ) : ( ) ( ) } ( ) Punto interior: un punto es un punto interior de un conjunto S si eiste una vecindad de contenida en S. El conjunto de los puntos interiores de S se llama interior de S. 5. Punto frontera: un punto es un punto frontera de un conjunto S si cada vecindad de contiene puntos que están en el interior de S puntos que no están en S. El conjunto de los puntos fronteras recibe el nombre de frontera de S. 6. Un conjunto es abierto si contiene todos puntos interiores es cerrado si contiene todos sus puntos fronteras. Ha conjuntos que no son abiertos ni cerrados. 7. Conjunto acotado; un conjunto S es acotado si eiste un R>0 tal que todas las parejas ordenadas en S están dentro de un círculo de radio R con centro en el origen. Definición límite de una función de dos variables Sea f una función de dos variables en un disco abierto centrado en ( 0,, ecepto posiblemente en ( 0,, sea L un número real. Entonces lim f (, ) L (, ) (, ) 0 0 Si cada 0 eiste 0 tal que f (, ) L siempre que 0 ( ) ( ) 0 0 3

4 Nota: los límites de dos variables tienen las mismas propiedades que cuando es de una sola variable. Ejemplo. Calcular el límite de lim (, ) (0, cos cos cos (( cos lim 1 cos (( cos (, ) (0, Ejemplo. Determine si el límite eiste o no. lim (, ) (0, Solución : lim (, ) (0, (( Acerquemonos a lo largo del eje ( 0 lim lim lim 0 (, (0, (, (0, (, (0, 0 lim 0 (, (0, Pr ocedamos acercarnos a traves de la recta lim lim lim (, ) (0, (, ) (0, (, ) (0, 0 lim lim lim 0 (, ) (0, (, ) (0, (, ) (0, Podemos decir que el límite eiste, porque al acercarnos por caminos diferentes siempre nos da 0, este es el valor del límite. 4

5 Otra forma: Utilizando coordenadas polares podemos determinar si el límite eiste o no. Determine si el siguiente límite eiste o no. lim r cos, rsen (, ) (0, lim r cos r sen lim r cosrsen r cos r sen (, ) (0, r0 r (cos sen ) r (cos sen ) r (cos sen ) r lim r cos sen lim r cos sen r0 r0 lim r cos sen cos sen ( cos sen cos sen 0 r0 Función continua en un punto Definición. Una función f (, ) es continua en el punto (a,b) si se cumple que: 1. f tiene un valor en (a,b). El lίmite f eiste en (a,b) 3. f ( a, b) lim f (, ) (, ) ( a, b) Continuidad en un conjunto Definición. Una función f (, ) es continua en un conjunto S si f (, ) es continua en cada punto del conjunto. 5

6 Teorema. Composición de funciones Si una función g de dos variables es continua en (a,b) una función f de una variable es continua en g( a, b ), entonces la composición f g, definida como ( f g)(, ) f ( g(, ) es continua en (a,b). Derivadas parciales Sea f una función de dos variables (., ) Si se mantiene constante, digamos 0, entonces f (, es una función de la variable simple. Su derivada en 0 es la derivada parcial f respecto de en 0 0 f (, ) 0 0. (, ) se denota por Así f (, ) 0 0 lim 0 f ( 0, f ( 0, De forma análoga, la derivada parcial de f respecto a en ( 0, se denota por f (, ) 0 0 está dada por f (, ) 0 0 lim 0 f ( 0, 0 ) f ( 0, f (, ) f (, ) este símbolo significa la derivada parcial de f (, ) respecto de. este símbolo significa la derivada parcial de f (, ) respecto de. 6

7 Ejemplo. Determine la derivada parcial de z cos( ) z sen( ) z sen( ) cos( ) Derivadas parciales de orden superior Como sucede con las derivadas ordinarias, es posible determinar las segundas, terceras, etc., derivadas parciales de una función de varias variables, siempre que éstas eistan. Las derivadas de orden superior se denotan por el orden en que se hace la derivación. Dada la función z f (, ) tiene las siguientes derivadas parciales de segundo orden. 1. Derivar dos veces respecto a : f f f. Derivar dos veces respecto de : f f f 3. Derivar primero respecto de luego respecto a : f f f 4. Derivar primero respecto de luego respecto a : f f f Los casos tercero cuarto se llaman derivadas parciales mitas (cruzadas). 7

8 Ejemplo. Hallar las derivadas parciales de segundo orden z e tan sen z e tan cos z e tan sen z e sec sen cos z e sec cos z sec tan e sen z e sec sen cos Como se puede observar las derivadas z z son iguales. Teorema. Igualdad de las derivadas parciales cruzadas Si f es una función en (, ) tal que R, entonces, para todo (, ) en R, f f son continuas en un disco abierto f (, ) f (, ) Diferenciales 8

9 Definición de diferencial total Si z f (, ) son los incrementos en en, entonces las diferenciales totales de las variables independientes son d d la diferencial total de la variable dependiente z es z z dz d d f(, ) d f (, ) d Esta definición puede etenderse una función de tres o más variables. Ejemplo. Hallar la diferencial total 3 z ; P(1,1), Q(0.99,1. Aplicando la fόrmula de de diferencial total: z z z d d f(, ) d f (, ) d z z 4, 6 3 d , d dz 4 d 6 d Evaluamos el diferencial total de la función en (1,1) dz 4(1)(1) ( 0.01) 6(1) (1) ( Diferenciabilidad 9

10 Definición. Una función f dada por z f (, ) es diferenciable en 0 0 puede epresarse en la forma (, ) si z z f (, ) f (, ) Donde 1 0 cuando (, ) (0,. La función f es diferenciable en una región R si es diferenciable en todo punto de R. Teorema. Condiciones suficientes para la Diferenciabilidad Si f es una función en (,, ) para la que abierta R, entonces f es diferenciable en R. f f son continuas en una región Teorema. Diferenciabilidad implica continuidad Si una función en (, ) es diferenciable en ( 0,, entonces es continua en ( 0,. Reglas de la cadena para funciones de varias variables Teorema. Regla de la cadena: una variable independiente Sea w f (, ), donde f es una función derivable de e. Si g( t), h( t), donde g h son funciones derivables de t, entonces w es una función diferenciable de t, dw w d w d dt dt dt Ejemplo 1. Determine dw dt mediante la regla de la cadena. 10

11 w ; cos t, sent dw w d w d dt dt dt w w d d, ; sent, cost dt dt Sustituendo cada derivada en la fόrmula tenemos: dw ( )( sent) ( )cos t dt Ahora sustituimos a e por su equivalente para poner el resultado en función de t dw (cos tsent sen t) sent (cos t cos tsent)cost dt dw ( cos tsent sen t) sent (cos t cos tsent)cost dt sent cost sent dw ( sen t sen t) sent (cos t sen t)cost dt Teorema. Regla de la cadena: dos variables independientes Sea w f (, ), donde f es una función derivable de e. Si g( s, t), h( s, t) son tales que las derivadas parciales de primer orden,, s t s t, eisten, están dadas por w w w s s s w w w t t t Ejemplo. Hallar w s w t 11

12 w, s cost, se w w w w w w ~ ( a) ~ ( b) s s s t t t w w t,, cos t, e ~ () s s t Sustituendo () en (a) w (cos t) ( e t ) s Sustituendo a a por su valor: w t t scost(cos t) se ( e ) s w t s cos t se s Ahora derivemos respecto a t : w w w ~ ( b) t t t t ssent, se t t ~ (3) w t ( ssent) ( se ) s Sustituendo (3) en (b) w t t s cos t( ssent) se ( se ) s w t s cos tsent) s e s 1

13 Etremos de funciones de dos variables Definición de etremos relativos Sea f una función definida en una región R que contiene ( 0,. 1. La función f tiene un mínimo relativo en ( 0, si f (, ) f (, ) 0 0 para todo (, ) en un disco abierto que contiene ( 0,.. La función f tiene un máimo relativo en ( 0, si f (, ) f (, ) 0 0 para todo (, ) en un disco abierto que contiene ( 0,. Teorema del valor etremo Sea f una función continua de dos variables e definida en una región acotada cerrada R en el plano. 1. Eiste por lo menos un punto en R, en el que f toma un valor mínimo.. Eiste por lo menos un punto en R, en el que f toma un valor máimo. Definición de los puntos críticos Sea f definida en una región abierta R que contiene ( 0,. El punto ( 0, es un punto crítico de f si se satisface una de las condiciones siguientes: 1. f (, ) 0 f (, ) f (, ) o f (, ) no eiste

14 Teorema. Los etremos relativos se presentan solo en los puntos críticos Si f tiene un etremo relativo en ( 0, 0 ) en una región abierta R, entonces es un punto crítico de f. El criterio de las segundas derivadas parciales Los puntos críticos de una función de dos variables no siempre son máimos o mínimos. Algunos puntos críticos dan puntos sillas que no son ni máimos ni mínimos. Teorema. Criterio de las segundas derivadas parciales Sea f una función con segundas derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene un punto (a,b) para el cual f ( a, b) 0 f ( a, b) 0 Para buscar los etremos relativos de f, considérese la cantidad d f ( a, b) f ( a, b) f ( a, b) Entonces 1. Si d 0 f ( a, b) 0, entonces f tiene un mí min o en ( a, b).. Si d 0 f ( a, b) 0, entonces f tiene un máimo en ( a, b). 3. Si d 0, entonces ( a, b, f ( a, b)) es un punto silla. 4. Si d 0 el criterio no lleva a ninguna conclusión. Nota: Una forma conveniente para recordar el valor de d, es utilizar el determinante f ( a, b) f ( a, b) f ( a, b) f ( a, b) 14

15 Ejemplo 3. Determine todos los puntos críticos. Indique si cada uno de estos puntos da un máimo local o un mínimo local o si es un punto silla. 3 3 f (, ) 6 1. Derivamos a la función respecto de e : f (, ) 3 6 f (, ) 3 6 Igualamos a f (, ) 0, f (, ) Re solvemos el sistema para det er min ar los puntos críti cos : , ( ) 0 entonces 3 0,, : 0, 4 3 Los puntos críti cos son : (0,, 3. Halllemos las derivadas de segundo orden : f (, ) 6 f (, ) 6, f (, ) 6 4. Evaluemos las derivadas en los puntos críticos, para luego hallar el valor de d : f f (0, 6( 0, f (0, 6( 0 (0, d

16 Como d 0 eiste un punto silla f (0, 0 El pto. silla (0,0, f f d f 3 3 4, 6, 6,, d 0, no ha conclusión Multiplicadores de Lagrange Teorema de Lagrange Sean f g funciones con primeras derivadas parciales continuas, tales que f tiene un etremo en un punto ( 0, sobre la curva suave de restricción o ligadura g(, ) c. Si g( 0, 0, entonces eiste un número real tal que f (, ) g(, ) Método de los multiplicadores de Lagrange Si f g son funciones que satisfacen las hipótesis del teorema de Lagrange, sea f una función que tiene un mínimo o un máimo sujeto a la restricción g(, ) c. Para hallar el mínimo o el máimo de f, seguir los pasos descritos a continuación: 1. Resolver simultáneamente las ecuaciones f (, ) g(, ) g(, ) c resolviendo el sistema de ecuaciones siguiente: 16

17 f (, ) g f (, ) g g(, ) c (, ) (, ). Evaluar f en cada punto solución obtenido en el primer paso. El valor maor da el máimo de f sujeto a la restricción g(, ) menor da el mínimo de f sujeto a la restricción g(, ) c. c, el valor Ejemplo. Mediante los multiplicadores de Lagrange encuentre los etremos de la función sujeto a la restricción 1. f (, ) 3 er 1 Paso. Sea g(, ) do Paso. Hallamos las derivadas parciales de f g : f (, ) 3 ~ (1) f (, ) 3 g (, ) g (, ) Construímos el sistema de ecuaciones : f (, ) g (, ) f (, ) g (, ) g(, ) c 3 ~ (1) 3 ~ () 1 ~ (3) 1 Despejando de las ecs. (1) (): 3 3 ~ (4), ~ (5) Igualamos las ecuaciones (4) (5) :

18 Sust. a por su valor en (3) : 1 1 El punto crítico es f , Evaluamos a f en 1, 1 1, 1 : Má 18