Funciones de dos o más variables. Gráficas. Curvas de nivel

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Miguel Herrero Vargas
hace 6 años
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1 Funciones de dos o más variables. Gráficas. Curvas de nivel 1 1 Departamento de Física y Matemáticas. Universidad de Alcalá de Henares.

2 Contenidos Introducción 1 Introducción 2 3 4

3 Índice Introducción 1 Introducción 2 3 4

4 Introducción Hemos estudiado funciones de una única variable independiente: y = f (x) pero muchas relaciones o fenómenos se explican a partir de de dos o más variables. El volumen de un cilindro circular recto, V (r, h) = πr 2 h o la relación entre presión, volumen y temperatura en gases ideales P(V, T ) = nr T V es una función de 2 variables. Si n es una variable más, resulta P(V, T, n) = nr T V que es una función de 3 variables.

5 La notación para las funciones de 2 o más variables es similar a la utilizada para una variable, z = f (x, y) = x 2 + xy w = f (x, y, z) = x + 2y 3z

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7 Definición Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par ordenado (x, y) en D le corresponde un único número real f (x, y), se dice que f es función de x e y. El conjunto D es el dominio de f y el correspondiente conjunto de valores de f (x, y) es el recorrido de f. Para la función z = f (x, y), llamamos variables independientes a x e y, y variable dependiente a z.

8 Definiciones análogas se aplican a funciones de 3, 4 o, en general, n variables. Los dominios estarán constituidos por conjuntos de valores (x 1, x 2,, x n ). Siempre restringiremos nuestro análisis al conjunto R. Al igual que para funciones de una variable real, el dominio es el conjunto de puntos para los que la ecuación que representa a la función tiene sentido. Por ejemplo, el dominio de la función dada por: f (x, y) = x 2 + y 2 es R. Sin embargo, el dominio de la función, es x y R +. f (x, y) = ln(xy)

9 Ejemplos Hayar el dominio de las funciones: x f (x, y) = 2 + y 2 9 x g(x, y, z) = x 9 x 2 y 2 z 2

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11 Introducción Las funciones de varias variables se pueden combinar igual que las de una variable: Suma o diferencia: (f ± g)(x, y) = f (x, y) ± g(x, y) Producto: Cociente: f g (f g)(x, y) = f (x, y) g(x, y) f (x, y) (x, y) =, g(x, y) 0 g(x, y)

12 No se puede formar la composición de funciones de varias variables. Sin embargo, si g es una función de una sola variable, puede formarse la función compuesta, (g h)(x, y) = g(h(x, y))

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14 Al igual que con las funciones de una variable, podemos aprender mucho sobre una función de dos variables dibujando su gráfica. Definición de gráfica La gráfica de una función de 2 variables es el conjunto de puntos (x, y, z) R 3 que satisfacen z = f (x, y) on (x, y) en el dominio de f. Puede interpretarse geométricamente como una superficie en el espacio. Ejemplo: Determinar el dominio y el recorrido de f (x, y) = 16 4x 2 y 2

15 Curvas de Nivel Introducción Dada la función z = f (x, y), para cada valor z 0 de la variable z, una curva de nivel o ĺınea de contorno es el conjunto de valores (x, y) dominio de f tales que f (x, y) = z 0

16 Por su importancia uso, hay curvas de nivel con nsombre propio las isobaras que marcan puntos de presión constante, las isotermas, que marcan puntos de temperatura constante

17 Para representar una función de 2 variables z = f (x, y) 1 Determinar el dominio 2 Representar el corte con los planos 0XZ, 0YZ, es decir, representar z = f (x, 0), z = f (0, y) 3 Representar las curvas de nivel 4 Relacionar los elementos anteriores Ejemplo: representar 1 f (x, y) = x 2 + 4y 2 2 f (x, y) = 64 x 2 y 2

18 Los mapas de contorno suelen utilizarse para representar regiones de la superficie terrestre, con las curvas de nivel correspondiendo a ĺıneas de altura constante sobre el nivel del mar. Los mapas de este tipo se llaman mapas topográficos. En estos mapas, la diferencia de altitud entre dos isoclinas concéntricas es constante. Suelen representarse para variaciones de 10, 20, 50, 100 metros. Un mapa de contorno traduce la variación de z respecto de x e y gracias al espaciado entre las curvas de nivel. Una separación grande entre las curvas significa que z varía lentamente, mientras que curvas de nivel muy juntas quieren decir que z cambia muy deprisa.

19 superficies de nivel Las curvas de nivel pasan a ser superficies de nivel cuando se añade una dimensión. Si f es una función de 3 variables y c una constante, la gráfica de la ecuación f (x, y, z) = c es una superficie de nivel de la función f. Ejemplo: Describir las superficies de nivel de la función. f (x, y, z) = 4x 2 + y 2 + z 2

20 Claudia Neuhaser. Matemáticas para ciencias. Ed. Pearson- Prentice Hall. Paul Blanchard. Ecuaciones Diferencials. Ed. Thomson.

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