Juan Ruiz Álvarez. Matemáticas (Grado en Biología)

Transcripción

1 Método de las isóclinas. 1 1 Departamento de Matemáticas. Universidad de Alcalá de Henares.

2 Contenidos Introducción 1 Introducción 2 3 4

3 Índice Introducción 1 Introducción 2 3 4

4 Introducción Desafortunadamente, muchas veces es imposible obtener una solución expĺıcita a una ecuación diferencial. Es decir, es imposible obtener una fórmula que relacione x e y. A pesar de esto, podemos llegar a conocer mucho acerca de la solución mediante métodos gráficos y mediante métodos numéricos.

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6 Tal y como su nombre indica, los campos de pendientes nos muestran el valor de las pendientes de las rectas tangentes a la solución de una ecuación diferencial. Para cada valor de (x, y), obtendríamos el valor de una pendiente. Este método nos permite encontrar las soluciones de una ecuación diferencial de forma gráfica. Para ello, para cada valor de (x, y) representamos el valor de la pendiente a través de un peque o segmento. ejemplo y = x + y, y(0) = 1

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9 Una isóclina es una linea que une los puntos con igual pendiente de una función. De esta manera, el método de las isoclinas nos permite encontrar gráficamente las posibles soluciones de una ecuación diferencial.

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12 Método de Euler La idea básica de este método es que los campos de pendientes pueden usarse para encontrar aproximaciones numéricas de las soluciones de ecuaciones diferenciales. Por lo tanto, podemodecir que el método de Euler es un método numérico para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. Se basa en la discretización de la derivada a través del desarrollo en Serie de Taylor: f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) f (x 0 ) = f (x) f (x 0) x x 0 = y y 0 x x 0

13 Método de Euler Una vez obtenida una aproximación de la derivada cerca del punto x 0, podemos sustituir dicha expresión en la ecuación diferencial que queremos resolver. Si esta ecuación es, por ejemplo, de la forma: Sustituimos dy dx dy dx = g(x, y) por su valor discretizado: y y 0 x x 0 = g(x, y) y n+1 y n x n+1 x n = g(x, y) y n+1 = y n + x g(x n, y n ) De esta forma, podemos obtener el valor de y para cualquier valor de x, siempre y cuando dispongamos de un valor inicial que sustituir en la ecuación recursiva anterior.

14 Método de Euler Ejemplo Utiliza el método de Euler para aproximar el problema de valor inicial dy dx = x y 2, con y(1) = 0, en x = 1,2. Para ello utiliza x = 0,1.

15 Claudia Neuhaser. Matemáticas para ciencias. Ed. Pearson- Prentice Hall.