ECUACIONES DIFERENCIALES Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M.

Transcripción

1 Introducción ECUACIONES DIFERENCIALES Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M. En diferentes situaciones que aparecen con frecuencia en las Ciencias Experimentales, es complicado poder escribir directamente la función y = f(x) que expresa una variable Y en términos de otra variable X pero, sin embargo, lo que se tiene a menudo es un conocimiento (quizá aproximado) de la velocidad de variación de Y con respecto a X. Por ejemplo, una hipótesis de trabajo bastante frecuente, cuando se está estudiando la evolución del tamaño de una población, consiste en suponer que la velocidad de crecimiento del número de ejemplares es (aproximadamente) proporcional al número de ejemplares existentes en cada momento. Evidentemente, se trata de una hipótesis de trabajo que no se puede mantener indefinidamente, pero puede ser perfectamente válida para ciertos intervalos de tiempo. El planteamiento general en este tipo de situaciones es el siguiente: Deseamos obtener la función y = f(x) (que no se conoce) a partir de dos piezas de información (que si se conocen):. La velocidad de variación de Y con respecto a X, representada por la función v(x, y). En los casos más sencillos, v(x, y) dependerá solamente de x o de y pero, en general, dependerá de las dos variables. 2. Un dato o valor inicial: cuando X = x 0, Y = y 0. Es decir, y 0 = f(x 0 ) es un punto de la función que se está buscando. También podemos expresarlo diciendo que la función pasa por el punto (x 0, y 0 ). Este tipo de problemas suelen recibir el nombre de ecuaciones diferenciales porque, en la notación que se utiliza para plantearlos, aparecen las diferenciales que fueron ya utilizadas en el capítulo de Integración (sugeridas por la Figura 8 del capítulo de Funciones de Una Variable): y = dy dx En la Sección 2, veremos cómo se pueden buscar soluciones exactas en el caso de ecuaciones difeerenciales con variables separables. En la Sección 3, estudiaremos métodos para obtener soluciones aproximadas.

2 2 Soluciones exactas Existe una gran cantidad de métodos para la obtención de soluciones exactas de las ecuaciones diferenciales, pero vamos a explicar solamente el procedimiento que se sigue en el caso más sencillo, que es el de las ecuaciones con variables separables. Ecuaciones con variables separables El planteamiento del problema de una ecuación diferencial con variables separables es el siguiente: Deseamos obtener la función y = f(x) que expresa la variable Y en términos de la variable X, conociendo:. La velocidad de variación de Y con respecto a X que, en este caso, supondremos que es de la forma v(x, y) = g(x)h(y). Es decir, la función que expresa la velocidad de variación se puede separar en un producto de dos funciones: una función g(x) que depende sólo de x y otra función h(y) que depende sólo de y. Esta separación es la que motiva el nombre técnico de ecuación diferencial de variables separables. 2. Un dato o valor inicial: cuando X = x 0, Y = y 0. A grandes rasgos, el procedimiento para resolver esta ecuación diferencial con variables separables se puede esbozar de la siguiente forma: a) En primer lugar, plantearemos la ecuación diferencial: Velocidad de variación de Y con respecto a X = y = dy dx dy dx = g(x)h(y) b) A continuación, separamos las variables e integramos: h(y) dy = g(x)dx h(y) dy = = v(x, y) = g(x)h(y) g(x)dx Después, resolvemos las integrales indefinidas (si es posible), e intentamos despejar y en función de x, para conseguir algo del tipo: y = F (x) + C, 2

3 donde C es la constante aditiva de integración que surge al obtener las integrales indefinidas. c) Finalmente, determinamos el valor de la constante C. Esto se consigue sustituyendo el dato o valor inicial en la función y = F (x) + C que hemos obtenido, y despejando C. Es muy conveniente ver algunos ejemplos de este procedimiento que se acaba de esbozar de manera muy general. Los dos primeros ejemplos van dirigidos a explicar la técnica. El tercer ejemplo va dirigido a estudiar un modelo muy utilizado en la dinámica de poblaciones. Ejemplo.- La velocidad de variación de P en función del tiempo t viene dada por v(t) = t( t). Además, se sabe que cuando t = 0, P = 2. Hallar la función P = f(t) que expresa P en función del tiempo. a) En primer lugar, planteamos la ecuación diferencial: P = dp dt = v(t) = t( t) dp dt = t( t) b) A continuación, separamos las variables (lo cual es especialmente sencillo en este caso), e integramos: dp = t( t)dt dp = t( t)dt Ahora, resolvemos las integrales indefinidas (la primera con respecto a P, y la segunda con respecto a t): dp = P Por tanto, tenemos: P = t2 2 t3 3 + C. t( t)dt = (t t 2 )dt = t2 2 t3 3 c) Finalmente, tenemos que determinar el valor de la constante C. Para esto, utilizaremos el dato o valor inicial: cuando t = 0, P = 2. Tenemos: 2 = C C = 2 En definitiva, la función que expresa P en función de t sería: P = t2 2 t

4 Ejemplo 2.- La velocidad de variación de Y en función de X viene dada por v(x, y) = xy. Además, se sabe que cuando X = 0, Y =. Hallar la función y = f(x). a) En primer lugar, planteamos la ecuación diferencial: y = dy dx = v(x, y) = xy dy dx = xy b) A continuación, separamos las variables, e integramos: y dy = xdx y dy = Ahora, resolvemos las integrales indefinidas (la primera con respecto a y, y la segunda con respecto a x): Por tanto, tenemos: y dy = ln y xdx = x2 2 ln y = x2 2 + C y = e(x2 /2)+C = e C e x2 /2 y = ±e C e x2 /2 = C e x2 /2 c) Finalmente, tenemos que determinar el valor de la constante C. Para esto, utilizaremos el dato o valor inicial: cuando X = 0, Y =. Tenemos: xdx = C e 0 = C En definitiva, la función que expresa Y en función de X sería: y = e x2 /2 Ejemplo 3.- La velocidad de crecimiento del número de bacterias presentes en un cultivo es (aproximadamente) proporcional al número de bacterias existentes en cada momento. Cuando se efectuó la primera observación, el cultivo contenía 00 bacterias por mililitro, y una hora más tarde contenía 50. Se pide: a) Expresar el número N de bacterias en función del tiempo t (en horas). b) Cuánto tiempo tardaría en duplicarse el número de bacterias? 4

5 a) Queremos hallar la función N(t) que expresa el número de bacterias existentes en el cultivo a lo largo del tiempo (en horas), a partir de su velocidad de variación. En este caso, tenemos que plantear la ecuación diferencial a partir de la información de que la velocidad de variación es proporcional al número de bacterias existente en cada momento; esto es sencillo: Velocidad de variación de N = N = dn dt = KN dn dt = KN, donde K es una constante de proporcionalidad, que tendremos que determinar. A continuación, separamos las variables e integramos: N dn = Kdt N dn = Kdt Ahora, resolvemos las integrales indefinidas (la primera con respecto a N, y la segunda con respecto a t): N dn = ln N Kdt = Kt Por tanto, tenemos: ln N = Kt + C N = e Kt+C = e C e Kt N = ±e C e Kt = C e Kt En este ejemplo, nos queda por determinar el valor de dos constantes: la constante de proporcionalidad K (que aparece al plantear la ecuación diferencial) y la constante C (que surge al integrar). Por eso, en este caso, necesitamos dos datos o valores iniciales. En primer lugar, tenemos que cuando t = 0, N = 00: 00 = C e K(0) = C N = 00e Kt En segundo lugar, tenemos que cuando t =, N = 50: 50 = 00e K() e K =, 5 K = ln, 5 = 0, 4055 En definitiva, la función que expresa N en función de t sería: N(t) = 00 e 0,4055t b) Ahora utilizamos la función obtenida para hallar (aproximadamente) el tiempo que tardaría en duplicarse el número de bacterias: queremos calcular el valor de t que verifica que N(t) = 200. Tenemos: 5

6 N(t) = e 0,4055t = 200 e 0,4055t = 2 0, 4055t = ln 2 t = ln 2, 7 horas 0, Soluciones aproximadas Volvemos a considerar el problema general, en el que se desea obtener o reconstruir la función y = f(x) (que no se conoce) a partir de dos piezas de información (que si se conocen):. La velocidad de variación de Y con respecto a X, representada por la función v(x, y). 2. Un dato o valor inicial: cuando X = x 0, Y = y 0. En muchas situaciones, nos conformaremos con obtener una solución aproximada para el problema anterior. En concreto, vamos a ver las soluciones aproximadas que nos proporcionan los polinomios de Taylor y el método de Euler. Polinomios de Taylor Recordemos que, en el capítulo de Funciones de Una Variable, dijimos que la ecuación de la recta tangente a la función y = f(x) en el punto (x 0, f(x 0 )) la podíamos utilizar para obtener valores aproximados de la función y = f(x) en puntos cercanos a x 0 : f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Recordemos también que la aproximación anterior se podía mejorar (utilizando más derivadas) mediante los llamados polinomios de Taylor: Definición.- El polinomio de Taylor de grado n, que aproxima la función y = f(x) en puntos cercanos a x 0, se define de la siguiente forma: f(x) f(x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ) 2 (x x 0) f (n (x 0 )... n (x x 0) n = f(x 0 ) + f (x 0 )! siendo n! = 2... n. (x x 0 ) + f (x 0 ) 2! 6 (x x 0 ) f (n (x 0 ) (x x 0 ) n n!

7 En el contexto actual, reemplazaríamos f(x 0 ) por y 0 (es decir, usaríamos el dato o valor inicial), y reemplazaríamos también f (x 0 ) por v(x 0, y 0 ) (es decir, utilizaríamos la información sobre la velocidad de variación que no es otra cosa que la derivada), quedando la expresión del polinomio de Taylor de grado n de la siguiente forma: f(x) y 0 + v(x 0, y 0 )! (x x 0 )+ v (x 0, y 0 ) 2! (x x 0 ) v(n (x 0, y 0 ) (x x 0 ) n n! Cuantas más derivadas utilicemos, mejor será la aproximación, pero el polinomio será también menos manejable y, sobre todo, más pesado de obtener. La idea es encontrar un equilibrio entre la bondad de la aproximación y la sencillez del proceso. La obtención de derivadas será especialmente delicada en los casos en los que en v(x, y) aparecen x e y. En estos casos, es más sencillo recurrir al método de Euler que se expone a continuación. Método de Euler El método de Euler constituye otra herramienta sencilla para obtener soluciones aproximadas para la función y = f(x). La idea es la siguiente: Se va a aproximar la función y = f(x) (que no se conoce) por una poligonal formada por pequeños segmentos. Cada segmento se construye mediante un polinomio de Taylor de grado (es decir, la recta tangente) en cada uno de los siguiente valores de X: x 0, x = x 0 + h, x 2 = x + h,... x i+ = x i + h,... Para que la aproximación sea buena, es conveniente que estos valores de X estén próximos unos a otros. Por este motivo, lo habitual es tomar h como un valor positivo próximo a cero. El valor de h suele recibir el nombre de tamaño de paso. Para el valor (exacto) de Y en X = x 0, usamos el dato o valor inicial: y 0 = f(x 0 ). Para el valor (aproximado) de Y en X = x, usamos el polinomio de Taylor de grado alrededor de x 0 (es decir, la recta tangente) y la información sobre la velocidad de variación: y = f(x ) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) = y 0 + v(x 0, y 0 )h. 7

8 Para el valor (aproximado) de Y en X = x 2, usamos el polinomio de Taylor de grado alrededor de x (es decir, la recta tangente) y la información sobre la velocidad de variación: y 2 = f(x 2 ) f(x ) + f (x )(x 2 x ) = y + v(x, y )h. En general, para el valor (aproximado) de Y en X = x i+, usamos el polinomio de Taylor de grado alrededor de x i (es decir, la recta tangente) y la información sobre la velocidad de variación: y i+ = f(x i+ ) f(x i ) + f (x i )(x i+ x i ) = y i + v(x i, y i )h. Todo esto se puede resumir en la siguiente tabla de valores de X e Y : X Y x 0 y 0 x y y 0 + v(x 0, y 0 )h x 2 y 2 y + v(x, y )h.. x i+ y i+ y i + v(x i, y i )h.. Naturalmente, a medida que nos vamos alejando del dato inicial x 0, la aproximación va empeorando, de modo que este método es válido para construir la solución (aproximadamente) en valores no demasiado alejados de x 0. Los valores obtenidos se pueden unir mediante segmentos, obteniendo una poligonal que aproxima la función y = f(x). La gran ventaja de este método es su sencillez de cálculo, ya que no es necesario obtener sucesivas derivadas, que sí necesitábamos para los polinomios de Taylor. 8