Lección 3: Aproximación de funciones. por polinomios. Fórmula de Taylor para

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1 Lección 3: Aproximación de funciones por polinomios. Fórmula de Taylor para funciones escalares 3.1 Introducción Cuando es difícil trabajar con una función complicada, tratamos a veces de hallar una función más sencilla que, en cierto sentido, aproxime a la dada. Es fácil trabajar con funciones lineales y por lo tanto es natural hallar en principio una aproximación lineal de la función dada. Si consideramos la función f(x) derivable en x = a. La ecuación de la recta tangente a la gráfica en (a, f) es y = f + f (x a). Si aproximamos la gráfica de la función por su tangente en x = a, tenemos lo que llamamos aproximación lineal de la función en un entorno de a: f(x) f + f (x a) con x próximo a a Ejemplo Los economistas Samuelson y Swamy estudiaban el comportamiento de la función f(x) = (1 + 3 x + 1 x ) 1 en un entorno de x = 0. Para ello podemos hacer la aproximación lineal en dicho entorno es decir f(x) = f(0) + f (0)(x 0) y como f (x) = 1 (1 + 3 x + 1 ) 1 ( ) 3 x + x f (0) = 3 4 ; f(0) = 1 tenemos que f(x) x. 1

2 Ocurre que la mayoría de las veces las aproximaciones por funciones lineales no son lo suficientemente precisas y por lo tanto parece natural ensayar con aproximaciones mediante polinomios de grado superior, ya que las funciones polinómicas son sencillas en el sentido que para calcular el valor de una función en un punto sólo tenemos que efectuar un número finito de sumas y multiplicaciones. 3. Aproximaciones de funciones por polinomios. Desarrollo de Taylor Dada la función real de variable real y = f(x), la idea consiste en tomar un valor a para el cual sea conocido f y construir un polinomio de grado n, que representaremos por P n (x), cuya gráfica pase por el punto (a, f) y aproxime bien a la gráfica de la función en un entorno de a. Ahora bien, la utilidad de las aproximaciones polinómicas es limitada a menos que sepamos el error a que dan lugar. Parece natural exigir que f(x) P n (x) tienda a cero cuando x tienda a a, pero es una exigencia muy débil. Vamos a exigir que la diferencia f(x) P n (x) se haga pequeña comparada con (x a) n f(x) P n (x) cuando x tienda a a, es decir que lim = 0. x a (x a) n Para comenzar, tomamos en un intervalo de centro x = a el polinomio P n (x) = a 0 + a 1 (x a) + a (x a) + + a n (x a) n y observamos que P n = a 0. Derivando P n (x) y sustituyendo x = a tenemos que P n(x) = a 1 + a (x a) + + na n (x a) n 1 P n = a 1 Derivando P n(x) y sustituyendo x = a tenemos que P n (x) = a + 3 a 3 (x a) + + n(n 1)a n (x a) n P n = a a = P n Derivando y sustituyendo sucesivamente tendríamos que Por tanto podemos escribir P n) n = n(n 1)(n ) a n a n = P n (x) = P n + P n (x a) + P n! P n) n n(n 1)(n ) 1 (x a) + + P n n) (x a) n

3 Podemos generalizar esta idea a una función real de variable real. Definición 3..1 Sea y = f(x) una función real de variable real definida en un intervalo abierto I que contenga a a (f : I IR IR) n veces derivable en a. Llamamos Polinomio de Taylor de la función en a: P n (x) = f + f (x a) + f (x a) + + f n) (x a) n! Teorema 3..1 Sea f : I IR IR n veces derivable en a y tal que la derivada n-ésima de la función sea continua en a. Sea R n (x) = f(x) P n (x), donde P n (x) es el polinomio de Taylor de la R n (x) función en a, entonces lim n (x a) = 0. n A R n (x) se le llama resto o término complementario. Demostración:(T.C.) lim n R n (x) f(x) f + f (x a) = lim n n (x a) + f! Si aplicamos la Regla de L Hopital sucesivamente llegaremos a lim n R n (x) (x a) = lim f n) (x) f n) n n (x a) + + f n) (x a) n (x a) n = 0 = 0 Nota 3..1 En este caso decimos que R n (x) es un infinitésimo de orden (x a) n y lo expresamos R n (x) = θ(x a) n A la expresión f(x) = f + f (x a) + f (x a) + + f n) (x a) n + θ(x a) n! se le llama Fórmula de Taylor con resto en forma infinitesimal. Ejemplo 3..1 Hallar el desarrollo de Taylor hasta grado n de la función f(x) = ln(x) en un entorno de x = 1 dando el resto en forma infinitesimal. Calculamos las derivadas hasta orden n de la función en el punto x = 1 f(x) = ln(x) f(1) = ln(1) = 0 3

4 f (x) = 1 x f (1) = 1 f (x) = 1 x f (1) = 1 Sustituyendo en la fórmula de Taylor Por ejemplo f (x) = x 3 f (1) =. f n) n+1 (n 1)! (x) = ( 1) f n) (1) = ( 1) n+1 (n 1)! x n f(x) = (x 1) 1 (x 1) (x 1)3 + ( 1)n+1 (n 1)! (x 1) n + θ(x 1) n f(x) (x 1) 1 (x 1) + 1 (x 1)3 3 sería una aproximación por un polinomio de grado tres. El teorema que viene a continuación suministra una fórmula explícita para el resto. Teorema 3.. Sea f : [a, b] IR IR y f derivable con continuidad n veces (f es de clase C n ) en un entorno de a y supongamos que exista f n+1), entonces existe c (a, b) tal que f(b) = f + f Demostración:(T.C.) Sea (b a) + f (b a) + + f n) (b a) n + f n+1) (c) (b a)n+1! g(x) = f(b) f(x) n k=1 f n) (x) k! (b x) k λ (b x)n+1 donde λ es tal que g = 0. La función g verifica el Teorema de Rolle, luego c (a, b)/g (c) = 0. Derivando y simplificando en la expresión de g(x) tenemos que Como g (c) = 0, entonces f n+1) (c) g (x) = f n+1) (x) con lo que queda demostrado el teorema. (b x) n + λ (b x)n (b c) n + λ (b c)n = 0 λ = f n+1) (c) 4

5 Nota 3.. El Teorema de Rolle nos dice que si f : [a, b] IR IR y f es (n + 1) veces derivable en (a, b) con f = f(b), entonces c (a, b)/f (c) = 0. Si en la expresión anterior cambiamos b por x, tenemos que f(x) = f + f (x a) + f (x a) + + f n) (x a) n + f n+1) (c) (x a)n+1! con c (a, x). A R n (x) = f n+1) (c) (x a)n+1 le llamamos Resto de Lagrange. Esta fórmula del resto da una pista sobre el límite superior del error que se comete al sustituir f por el polinomio n-ésimo de Taylor. Supongamos, por ejemplo, que para todo x que pertenece a un entorno de a se verifica que f n+1) M, podemos decir que en ese entorno R n (x) M x a n+1 cuando n es grande y x está próximo a a, entonces R n (x) es pequeño ya que es grande y como x a < 1, entonces x a n+1 será pequeño. Definición 3.. (Fórmula de Maclaurin) Al desarrollo de Taylor en a = 0, le llamamos la fórmula de Maclaurin, es decir f(x) = f(0) + f (0) con c (0, x) (de otra manera: c = θx con 0 < θ < 1). x + f (0) x + + f n) (0) x n + f n+1) (c)! xn+1 Ejemplo 3.. Obtener el desarrollo de Maclaurin de f(x) = e x. aplicarlo para calcular con un error menor que una milésima el valor de e. Calculamos las derivadas hasta orden n de la función en el punto x = 0 f(x) = e x f(0) = e 0 = 1 f (x) = e x f (0) = 1 f (x) = e x f (0) = 1 5

6 . f n) (x) = e x f n) (0) = 1 Por tanto f(x) = e x = 1 + x + 1 x xn + e c xn+1 con c (0, x) es el desarrollo pedido con el resto de Lagrange. El error cometido en la aproximación es e c xn+1 Para calcular e debemos tomar primero x = 1 y por tanto el error sería Como c R n ( 1 ) = ( 0, 1 ) y e x es creciente, tenemos que e c ( 1 ) n+1 ( ) ( ) 1 1 e c < e < 3 < ( ) 1 R n < ( 1 ) n+1 Como queremos que el error sea menor que una milésima, entonces dando valores desde n = 1. Por tanto, tomamos 1 n < n > 1000 n 4 e ! + 1 3! ! 4 = Fórmula de Taylor para funciones escalares introducción Ya hemos estudiado las aproximaciones lineales para funciones reales de variable real. Geométricamente hablando, aproximamos la gráfica de la función por su recta tangente. De manera análoga podemos 6

7 construir aproximaciones lineales de funciones de dos variables usando el plano tangente. El plano tangente a la función f : IR IR en un punto (a, b) viene dado por z = f(a, b) + f f (a, b) (x a) + (a, b) (y b) x y Por tanto la aproximación lineal a f(x, y) en un entorno de (a, b) es f(x, y) f(a, b) + f f (a, b) (x a) + (a, b) (y b) x y Pero recordemos que podemos escribir que f (a, b) f(a, b) = x f = D 1 f(a, b) (a, b) D y f(a, b) f(x, y) f(a, b) + t f(a, b) x a y b Recordando,también, la fórmula de Taylor para funciones reales de variable real parece lógico escribir que bajo determinadas condiciones que f(x, y) = f(a, b) + f f (a, b) (x a) + (a, b) (y b) + R x y siendo R el resto que debe tender a cero cuando estemos próximos al punto (a, b) Fórmula de Taylor para funciones escalares Dando rigor al razonamiento que hemos expuesto, enunciamos el siguiente teorema Teorema Sea f : S IR IR con S abierto, tal que existen las derivadas parciales hasta orden m de la función y son continuas en S (f C m (S)) y supongamos, además, que para cualquier x S el segmento que une a y x está contenido en S. Entonces se verifica que: siendo lim x a R m (x) = 0 f(x) = f + m k=1 f (k) (a; x a) k! + R m (x) 7

8 Nota El teorema nos indica que el desarrollo de Taylor en un entorno de a hasta orden dos de una función escalar sería: f(x) = f + t f (x a) + 1 (x a)t Hf (x a) + R (x) En el caso particular de una función de dos variables, tenemos que: x a f(x, y) = f(a, b) + (D 1 f(a, b), D f(a, b)) + y b + 1 (x a, y b) Desarrollando la expresión anterior D 11 f(a, b) D 1 f(a, b) D 1 f(a, b) D f(a, b) x a y b f(x, y) = f(a, b) + D 1 f(a, b) (x a) + D f(a, b) (y b)+ + R (x, y) 1 ( D11 f(a, b) (x a) + D 1 f(a, b) (x a)(y b) + D 1 f(a, b) (y b) + D f(a, b) (y b) ) +R (x, y) Ejemplo Obtener el desarrollo de Taylor de la función f(x, y) = x y en un entorno del punto (1, 1) hasta segundo orden. Aplicar el resultado para calcular (1.1) 1.0. La función es continua en un entorno del punto (1, 1). Calculamos las derivadas parciales hasta segundo orden D 1 f(x, y) = y x y 1 ; D f(x, y) = x y ln(x) que son continuas en un entorno del punto dado. D 11 f(x, y) = y(y 1) x y ; D 1 f(x, y) = D 1 f(x, y) = y x y 1 ln(x)+x y 1 ; D f(x, y) = x y ln (x) que son continuas en un entorno del punto dado. Además D 1 f(1, 1) = 1; D f(1, 1) = 0; D 11 f(1, 1) = 0; D 1 f(1, 1) = D 1 f(1, 1) = 1; D f(1, 1) = 0 Por tanto f(x, y) = 1 + (x 1) + 1 (x 1)(y 1) + R (x, y) f(x, y) = 1 + (x 1) + (x 1)(y 1) + R (x, y) Por tanto (1.1) (1.1 1) + (1.1 1)(1.0 1) = (1.1)

9 3.4 Anexo Regla de L Hôpital Teorema Supongamos que f y g son dos funciones reales de variable real derivables en un intervalo (α, β) centrado en a, excepto posiblemente en a. Supongamos que f(x) y g(x) tienden a 0 cuando x tiende a a. Si g f(x) (x) 0 para todo x a en (α, β) y si x a lim = l siendo l finito o g(x) infinito, entonces f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x) = l La Regla de L Hôpital se puede extender a otros casos a puede ser el extremo del intervalo y se puede sustituir x a por x a + o x a a puede ser a puede ser se puede aplicar a otras formas indeterminadas como ± ± Además otras formas indeterminadas se pueden transformar en expresiones de los tipos que hemos mencionado, por medio de sustituciones o cálculos algebráicos. 9