Departamento de Matemáticas

Transcripción

1 MA25 Clase 5: Series de potencias. Operaciones con series de potencias. Series de potencias Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos González Cuando estudiamos las series geométricas, demostramos la siguiente fórmula: si r <, entonces ar n = a r. Esto nos dice que la función f(x = a x, puede ser representada como ax n = a+ax+ax 2 +, al menos en el intervalo (, = {x R: x < }. Es natural preguntarnos si podemos expresar de forma parecida a otras funciones como sen x, cos x, e x, ln x, etc, de modo que podamos aproximar mediante polinomios a dichas funciones (observemos, por ejemplo, que es más sencillo calcular la imagen de mediante un polinomio con coeficientes racionales que calcular sen. Definicion Sea (a n una sucesión de números reales cualquiera. Una serie de potencias es una serie de la forma a n x n = a 0 + a x + a 2 x a n x n +, donde x es una variable. Más generalmente, una serie de la forma a n (x c n = a 0 + a (x c + a 2 (x c a n (x c n +, es llamada una serie de potencias centrada en c. Por ejemplo, nx n (x n (x + 2 n, y son series de potencias centradas en 0, y n! n 2, respectivamente. Una serie de potencias en x puede ser vista como una función en x: f(x = a n (x c n, cuyo dominio es el conjunto de todos los valores que puede tomar x para los cuales la serie converge. En particular, el dominio siempre contiene al punto x = c, en el cual vale f(c = a 0.

2 Ejemplo Consideremos la serie de potencias f(x = y el hecho que para x 0 R = lim n (n + 2 n (n + 2 (n + = lim x = x, n (n + 2 n + n +. Usando el criterio del cociente tenemos que la serie converge si R = x < y diverge si x >. Para determinar que ocurre en x =, observemos que lim n n + = lim n n + x n = 0, de modo que diverge en ambos casos. En suma, el dominio de la función f(x = (0, = {x: x < }. n + es Teorema (Convergencia de series de potencias Para una serie de potencias centrada en c, ocurre alguna de las tres siguientes posibilidades: a La serie converge sólo en c. b Existe un número R > 0 tal que la serie converge absolutamente si x c < R y diverge si x c > R. c La serie converge para todo x R. Demostración: Sea a n(x c n una serie centrada en c. Demostraremos sólo el caso particular a n+ en el cual el límite L = lim n existe, el cual es suficiente para los ejemplos y problemas a n que veremos en el curso. Tenemos, en virtud del criterio del cociente, que la serie converge en x siempre que 0 < L <, pues para x c > lim a n+ (x c n+ a n+ n a n (x c n = x c lim n a n. Por lo tanto, la serie converge para todo x tal que x c < y diverge para todo x tal que L x c > L. Podemos considerar R = (caso b. Observemos que si L = 0 entonces siempre se L cumple que > x 0 = 0, con lo cual la serie converge para todo x R (caso c. Finalmente, si L =, como debe cumplirse que > x, la serie diverge para todo x c (caso a; recordemos que siempre converge en x = c. Definicio Dada una serie de potencias centrada en c, definimos el radio de convergencia R como 2

3 a 0 si la serie converge sólo en c. b 0 < R < si la serie converge absolutamente para x c < R y diverge para x c > R. c, si la serie converge para todo x R. Hemos visto que si lim n a n a n+ Ejemplo 2 Consideremos la serie de potencias f(x = n n n!. Entonces, el radio de convergencia está dado por: tiende a algún valor de [0, o a, entonces es igual a R. n n ( R = lim n! n n n (n + n+ = lim = n n + e. (n +! Por lo tanto, la serie converge si x < e y diverge si x > e. Definicion 3 Dada una serie de potencias f(x = a n (x c n, el conjunto de convergencia de f es el intervalo en el cual la serie converge. Dicho intervalo puede ser de las siguientes formas: R = (,, (c R, c + R, [c R, c + R, (c R, c + R], [c R, c + R] y, finalmente, {c} = [c, c]. Ejemplo 3 Dada la serie de potencias (x 5 n, determine su conjunto de convergencia. n3 n Solución: El radio de convergencia está dado por a n R = lim n a n+ = lim n n3 n (n + 3 n+ = lim = 3. n n3 n (n + 3 n+ Por lo tanto, el conjunto de convergencia está dado por el intervalo (c R, c + R = (2, 8 unido ( n posiblemente con uno o ambos extremos. Es fácil ver que la serie en x = 2 es igual a y, n por lo tanto, converge, mientras que la serie en x = 8 es igual a y, por lo tanto, diverge. Así, n el conjunto de convergencia es [2, 8. 3

4 2 Propiedades de las series de potencias A continuación, enunciamos sin demostración un teorema que muestra el comportamiento de las series de potencias bajo la derivada y la integral. Teorema 2 Sea f(x la función definida por una serie de potencias a n (x c n, con radio de convergencia R. Entonces, en el intervalo (c R, c + R, la función f es continua, derivable e integrable. Además, se cumplen las siguientes fórmulas: f (x = a + 2a 2 (x c + + na n (x c n + (x c 2 (x c n+ f(xdx = c + a 0 (x c + a + + a n + 2 n + En cada caso, el radio de convergencia de la serie obtenida es igual a R. Ejemplo 4 Encuentre una serie de potencias la cual represente a la función f(x = el intervalo (,. ( + x 2, en Solución: Observemos que la función g(x = x +, satisface, por una parte, que g (x = f(x y, por otra parte, x + = ( x = ( x n = ( n x n. Así, derivando término a término la serie del último miembro, obtenemos que de lo cual se deduce que (x + = 2 g (x = ( n nx n, (x + = ( n nx n = 2x + 3x 2 + ( n nx n +. 2 Ejemplo 5 Encuentre una serie de potencias la cual represente a la función h(x = ln( + x, en el intervalo (,. Solución: Observemos que la función g(x = x +, satisface, por una parte, que h (x = g(x y, por otra parte, x + = ( x = ( x n = ( n x n. 4

5 Así, integrando término a término la serie del último miembro, obtenemos que ln(x + = c + ( n + n +, para algún c R, el cual se puede calcular evaluando en x = 0, lo cual nos da c = 0. Por lo tanto, ln(x + = ( n + n + = n ( n = x x2 + ( n 3 n +. Proposicion Dadas f(x = a f(kx = b f(x m = a n k n x n ; a n x mn ; c f(x ± g(x = (a n ± b n x n ; ( ( d f(xg(x = c n x n b m x m = m=0 a n x n, g(x = b nx n, son validas las siguientes propiedades: c k x k, donde c k = k=0 n+m=k a n b m = Para las operaciones antes descrita, el conjunto de convergencia puede cambiar. k a n b k n. Ejemplo 6 Encuentre una serie de potencias la cual represente a la función f(x = ln en el intervalo (,. ( + x Solución: Tenemos que f(x = ln = ln( + x ln( x, pero x ln( + x = x x2 + ( n 3 n +, y ln( x = x x2 2 x3 3 n, con lo cual obtenemos que ( + x, x f(x = ln( + x ln( x = (x x2 + ( n 3 n + ( x x2 2 x3 3 n = (x x2 + ( n 3 n + + (x + x n + = 2x + 2 x3 3 + x x2n+ 2n

6 ( + x Es decir, ln = 2 (x + x3 x x2n+ 2n + + x 2n+ =. Dejamos como ejercicio el 2n + cálculo del radio y conjunto de convergencia de esta última serie. 6