Derivadas de Orden superior
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- José Miguel Calderón Gil
- hace 7 años
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1 Derivadas de Orden superior Para una función cualquiera f, al tomar la derivada, obtenemos una nueva función f y podemos aplicar la derivada a f. La función f se suele escrbir f y recibe el nombre de derivada segunda de f. Si f existe, se dice que, f es dos veces derivable en a. De manera similar podemos definir f f La notación usual es: f f 1, f f, f f 3,..., +1 f Las distintas funciones f para son a veces llamadas derivadas de orden superior. Podemos tomar f 0 f. Ejemplo.-Si fx a x f x a x lna f x a x ln a f x a x ln 3 a a x n ln n x a > 0 Esta fórmula se puede demostrar por inducción Para la base de la inducción n 1 a x a x lna a x n a x ln n a a x ln n a n+1 a x ln n a n ln n a a x n ln n aa x lna a x ln n+1 a Ejemplo.-Hallar f 17 x para fx a x según la fórmula f 17 x a x 17 a x ln 17 a Ejemplo.-Si fx senx f x cosx sen x + senx cos + sen cosx cosx f x senx sen x + senx cos + sen cosx senx f x cosx sen x + 3 senx cos 3 + cosx sen 3 cosx senx n sen x + n 1
2 Esta fórmula se puede demostrar por inducción Para la base de la inducción n 1 senx cosx sen x + senx cos + sen cosx cosx senx n sen x + n senx n+1 senx n cos x + n }{{} sen x + n + 1 *La última igualdad la justificamos de la siguiente manera sen x + n + 1 sen x + n + sen x + n cos +sen cos x + n cos x + n Ejemplo.-Hallar f 17 x para fx senx según la fórmula f 17 x senx 17 sen x senx cos + cosx sen cosx Ejemplo.-Si fx cosx f x senx cos x + cosx cos sen senx senx f x cosx cos x + cosx cos sen senx cosx f x senx cos x + 3 cosx cos 3 senx sen 3 senx senx n cos x + n Esta fórmula se puede demostrar por inducción Para la base de la inducción n 1 cosx senx cos x + cosx cos sen senx senx cosx n cos x + n cosx n+1 cosx n sen x + n }{{} cos x + n + 1
3 *La última igualdad la justificamos de la siguiente manera cos x + n + 1 cos x + n + cos x + n cos sen sen x + n sen x + n Ejemplo.-Hallar f 51 x para fx cosx según la fórmula f 51 x cosx 51 cos x + 51 f 51 x cosx 51 cos x + 51 Ejemplo.- Si fx x m f x mx m 1 f x mm 1x m f x mm 1m x m 3 Calcular f 8 x para fx x 1 : Ejemplo.- Si fx lnx f x 1 x f x 1 x f x x 3 Calcular f 35 x para fx lnx : 51 cosx cos 51 cosx cos f n x m! m n! xm n senx sen senx sen f 1 x x 1 1 8! 1 8! x x 4 f n x 1n 1 n 1! x n f ! x 1 x35 x senx 51 senx Ejemplo.- Si fx 1 x f x 1 x f x x 3 f x 6 x 4 f n x 1n n! x n+1 3
4 Calcular f 1 x para fx 1 x : f 1 1 1! x 1 x13 x 13 Ejemplo.- Si fx x m f x mx m 1 f x m m 1x m f x m m 1 m x m 3 f n n m + n 1! x 1 m 1! Calcular f 1 x para fx x 5 : Teorema 1. Si f n a y g n a existen, entonces x m n f ! x 1 4! x x 17 f g n a n f a g n a Demostración. La prueba es por inducción, asi que para n 1 se tiene que f g 1 a f g a fag a + f aga por lo tanto es valida para la base de inducción Supóngo valida la propiedad para n f g n a 1 n f a g n a 1 f a g n a y probaremos su validez para n + 1, para esto : n f g n+1 a f g n a n f a g a n n f a g n a n f +1 ag n a + f ag n +1 a 1 1 n+1 n f ag n +1 a + 1 n f +1 ag n a + n f ag n +1 a + f n+1 aga+fag n+1 a n f ag n +1 a 1 n f ag n +1 a n f ag n +1 a
5 fag n+1 a + 1 fag n+1 a + Vamos a comprobar n n + 1 n f ag n +1 a fag n+1 a + n n + 1 f ag n +1 a + f n+1 aga n! 1!n + 1! + n!!n! n f ag n +1 a + f n+1 aga n f ag n +1 a + f n+1 aga n + 1 f ag n +1 a + f n+1 aga n+1 n + 1 f ag n +1 a n! n + 1n! n!n + 1 +!n + 1!!n + 1!!n + 1! n + 1 Ejemplo.-Vamos a hallar la derivada n-ésima de fx x senx, para esto se tiene que según la fórmula x senx n n x sen n n x x senx 0 n n + xsenx 1 n 1 x sen x + n +n sen x + n 1 1 Usaremos lo anterior para hallar f 13 x para fx x senx, para esto se tiene que: f 13 x x senx 13 x sen x sen x + 13 x senx + 13 cosx 5
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