Otras ecuaciones relacionadas con la de Bessel

Transcripción

1 Capítulo 10 Otras ecuaciones relacionadas con la de Bessel Funciones de Bessel hiperbólicas La ecuación x d y dx + xdy dx (x + ν )y = 0 (10.1) es parecida a la de Bessel, pero tiene un signo cambiado. Se le llama ecuación de Bessel hiperbólica (o modificada). Podemos empezar de cero el proceso de Frobenius para encontrar la solución o, alternativamente, podemos hacer un valiente cambio de variable t = ix, siendo i = 1, la unidad imaginaria. Esto lleva fácilmente a t d y dy +t dt dt +(t ν )y = 0 (10.) que es de Bessel. La solución es, por tanto, y(t)=c 1 J ν (t)+c Y ν (t) o y(t)=c 1 J ν (t)+ c J ν (t) si ν 0, 1,, Si reemplazamos t = ix y escribimos la serie de J ν (ix) a partir de su definición obtenemos J ν (ix)=i ν I ν (x) siendo una serie real. I ν (x)= m=0 1 ( x ) m+ν (10.3) m!γ(m ν) A I ν (x) se le conoce como función de Bessel hiperbólica (o modificada) de primera especie de orden ν y es una solución (real) de la ecuación (10.1). Si ν 0, 1,,... la otra solución es, sencillamente, I ν (x). Si ν = n = 0,1,,3,... es fácil ver que I n (x)=i n (x), por lo que tenemos que encontrar todavía la segunda solución. Otra vez podríamos hacer todo el proceso que hicimos en la ecuación de Bessel, pero es más sencillo partir de las soluciones de la función de Bessel J n (t), Y n (t) con t = ix. La solución es entonces y(x)=c 1 J n (ix)+c Y n (ix). Aquí conviene separar la parte real de la parte imaginaria

2 7 dándose cuenta de que la llamada 1 a función de Hankel 1 H ν (1) (z)=j ν (z)+iy ν (z) cumple que i ν+1 H ν (1) (ix) es real, lo que lleva a definir la función real K ν (x)= π iν+1 H ν (1) (ix), la función de Bessel hiperbólica (o modificada) de segunda especie, que es una segunda solución de la ecuación de Bessel hiperbólica (o modificada) válida también en el caso ν = n = 0,1,,3, Una definición alternativa es: K ν (x)= π I ν (x) I ν (x) sin(πν) con el correspondiente ĺımite lím ν n cuando sea necesario. La solución de la ecuación de Bessel hiperbólica (o modificada) es pues, y(x) = c 1 I ν (x)+c I ν (x) si ν 0,1,,...,oy(x) =c 1 I ν (x)+c K ν (x) válida siempre y, en particular, cuando ν = n = 0,1,,3... Éstas funciones son un poco más aburridas que las de Bessel: In[179]:= Plot@8BesselI@0, xd, BesselI@, xd, BesselI@, xd<, 8x, -5, 5<D Out[179]= In[180]:= Plot@8BesselI@1, xd, BesselI@3, xd, BesselI@5, xd<, 8x, -5, 5<D In[18]:= Plot@8BesselK@0, xd, BesselK@1, xd, BesselK@, xd<, 8x, 0, 5<D Out[180]= Out[18]= También se define la a función de Hankel: H ν () (z)=j ν (z) iy ν (z).

3 10. Ecuaciones reducibles a la de Bessel Ecuaciones reducibles a la de Bessel Tomemos la ecuación de Bessel para la función w(z): z d w dz + zdw dz +(gz ν )w = 0 Si g = 1 es la ecuación de Bessel usual; si g = 1 es la ecuación de Bessel hiperbólica. La solución para g = 1 es w(z) =c 1 J ν (z)+c K ν (z) o w(z) =c 1 J ν (z)+c J ν (z) si ν n = 0,1,,3,... Para g = 1 la solución es w(z)=c 1 I ν (z)+c K ν (z) o w(z)= c 1 I ν (z)+c I ν (z) si ν n = 0,1,,3,... Hagamos ahora el cambio de variables z = bx c, w = y/x a La ecuación se transforma en: con x d y dx + αxdy dx +(βxδ + γ)y = 0 (10.) α = 1 a β = gb c δ = c γ = a c ν Alternativamente, si tenemos la ecuación (10.), podemos encontrar a, b, c, g, ν: a = (1 α)/ g = signo(β) c = δ/ b = β /δ ν = (1 α) γ c Si (1 α) γ > 0, entonces el cambio anterior de variables la reduce a una ecuación de Bessel (g = 1) o de Bessel hiperbólica (g = 1). La solución es, por tanto, para g = 1, y(x)=c 1 x a J ν (bx c )+c x a K ν (bx c ), etc La ecuación de Airy y = xy se puede escribir en la forma (10.) con α = 0,β = 1,δ = 3,γ = 0. La solución es y(x)=c 1 x 1/ I 1/3 ( 3 x3/ )+c x 1/ I 1/3 ( 3 x3/ ). Otro ejemplo lo ofrece la ecuación: x y + xy +(x n(n + 1))y = 0, (10.5) con n N. Parece de Bessel, pero no lo es (el problema es el termino xy ). Es del tipo (10.), con α =,β = 1,δ =,γ = n(n + 1).

4 La solución es y(x)=c 1 j n (x)+c y n (x), siendo j n (x), y n (x) las funciones de Bessel esféricas: j n (x) = y n (x) = π x J n+ 1 (x) (10.6) π x Y n+ 1 (x) (10.7) Estas funciones se pueden escribir en términos de funciones trigonométricas. Se demostrará por inducción que: ( ) 1 j n (x) = ( 1) n x n d n ( ) sinx x dx x ( ) 1 y n (x) = ( 1) n+1 x n d n (cosx ) x dx x (10.8) (10.9) En particular: j 0 (x) = sinx x y 0 (x) = cosx x J 1/ (x)= πx sinx Y 1/ (x)= πx cosx (10.10) Comportamiento asintótico de las funciones de Bessel Veremos ahora cómo se comportan las funciones de Bessel en los ĺımites de x 0 y x. Para x 0 es muy sencillo, basta con tomar el término dominante en la serie de potencias que define a cada función. El término dominante es el de la potencia más baja. Si hay un término lnx este domina sobre las potencias positivas x α pero no sobre

5 10.3 Comportamiento asintótico de las funciones de Bessel 75 las negativas. Con todo esto es muy sencillo demostrar que: J ν (x) J n (x) Y ν (x) Y 0 (x) I ν (x) I n (x) K ν (x) K 0 (x) j n (x) y n (x) x ν [ 1 + O(x ν ) ], Γ(ν + 1) ν n = 1,, 3,... (10.11) ( 1) n x n [ 1 + O(x n ) ], n! n = 1,,3,... (10.1) ν Γ(ν) x ν [ 1 + O(x ) ], π ν > 0 (10.13) π (lnx + γ ln)+o(x ), (10.1) x ν [ 1 + O(x ν ) ], Γ(ν + 1) ν n = 1,, 3,... (10.15) x n [ 1 + O(x n ) ], n! n = 1,,3,... (10.16) ν 1 Γ(ν) [ 1 + O(x x ν ) ], ν > 0 (10.17) lnx γ + ln + O(x ), (10.18) x n [ 1 + O(x ) ], n = 0,1,,... (10.19) (n + 1)!! (n 1)!!x n 1 [ 1 + O(x ) ], n = 0,1,,... (10.0) Vamos ahora al comportamiento cuando x. Aquí las cosas no son tan rigurosas, pero no son demasiado complicadas. Se trata de hacer el cambio de variables y(x) = v(x)x 1/ para obtener la ecuación: ( ) v + 1 ν 1/ x v = 0. (10.1) Si queremos estudiar el ĺımite x podemos reducir la ecuación a v + v = 0, de solución v(x)=acos(x + φ), siendo A y φ constantes de integración. Esto sugiere que para x la función de Bessel se comporta como J ν (x)=ax 1/ cos(x+φ). Un cálculo auxiliar que utiliza una representación integral de la función de Bessel y la técnica del punto de silla de integración, da algo más concreto: J ν (x) πx cos( x π ), que es suficiente aproxima- Para ν = 0, por ejemplo, tenemos J 0 (x) ción para x, como se ve en la figura. (x πx cos (ν + 1) π ). (10.) Usando la definición (9.5) de la función de Weber Y ν (x) se llega a: Y ν (x) (x πx sin (ν + 1) π ). (10.3)

6 76 Otra vez, una aproximación razonable si x. Por último, mencionaremos los comportamientos asintóticos de K ν e I ν, válidos para cualquier valor de ν: I ν (x) K ν (x) π [ x ex 1 + O(x ) ], (10.) [ πx e x 1 + O(x ) ] (10.5) In[189]:= PlotB:BesselJ@0, xd, p x CosBx - p F>, 8x, 0, 1<F In[190]:= PlotB:BesselY@0, xd, p x SinBx - p F>, 8x, 0, 1<F Out[189]= 0. Out[190]= In[8]:= PlotB:BesselI@0, xd, 1 p x Exp@xD>, 8x, 0, 6<F In[50]:= PlotB:BesselK@0, xd, 1.0 p x Exp@-xD>, 8x, 0, 6<F Out[8]= 30 Out[50]=