ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES

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1 ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES Alejandro Lugon Ecuaciones De Segundo Orden Consideremos la ecuación: x t+ + ax t+1 + bx t = 0 (1) la cual podemos escribir como: x t+ = ax t+1 bx t De esta última forma nos podemos dar cuenta que si conocemos x 0 y x 1 podemos calcular x = ax 1 bx 0 y luego x 3 = ax bx 1 y de esta manera calcular cualquier x t de forma recursiva. Esto nos lleva a formular: Teorema 1 Dada la ecuación x t+ + ax t+1 + bx t = 0 y los valores iniciales x 0 y x 1, existe una única sucesión {x 0, x 1, x,... } que la resuelve. Entonces la ecuación (??) tiene infinitas soluciones pero si nos dan x 0 y x 1 solo una de estas soluciones cumple con dichas condiciones iniciales. Esta proposición nos asegura que, dadas x 0 y x 1, si encontramos una solución esta es la única. Otro resultado que es fácil probar es: Teorema Dada la ecuación x t+ + ax t+1 + bx t = 0 si tenemos dos soluciones x t = f(t) y x t = g(t), con diferentes condiciones iniciales, entonces x t = Af(t) + Bg(t) es también solución de la ecuación para A, B R. Si juntamos estos dos resultados vemos que basta encontrar dos soluciones independientes, x t = f(t) y x t = g(t). Con estas dos soluciones podemos generar cualquier solución de manera general: x t = Af(t)+Bg(t). Si tenemos x 0 y x 1, podemos encontrar la solución particular para estos valores encontrando A y B tales 1

2 que: x 0 = Af(0) + Bg(0) x 1 = Af(1) + Bg(1) Un punto importante es que las soluciones deben ser independientes para poder resolver este sistema. Entonces el problema se limita a encontrar un par de soluciones. Para empezar probemos si una solución del tipo x t = r t satisface (??). Tenemos: x t = r t x t+1 = r t+1 = r t r 1 x t+ = r t+ = r t r reemplazando: r t+ + ar t+1 + br t = 0 r t r + ar t r + br t = 0 r t (r + ar + b) = 0 vemos que r = 0 haría que se cumpla la ecuación, pero esto nos llevaría a la solución trivial x t = 0. La otra posibilidad es que r cumpla: pero esta ecuación tiene dos soluciones: Estas dos soluciones pueden caer en tres casos: r + ar + b = 0 r 1 = a + a 4b r = a a 4b 1. r 1, r R con r 1. r 1, r R con r 1 = r = r 3. r 1, r C Veamos cada caso por separado Raíces reales diferentes (a 4b > 0) Este es el caso más fácil, tenemos que x t = (r 1 ) t y x t = (r ) t son solución de??, entonces: x t = A(r 1 ) t + B(r ) t

3 también es solución de??. Las dos constantes A y B serán las encargadas de que esta solución cumpla las condiciones iniciales: x 0 = A + B x 1 = Ar 1 + Br 1.. Raíces reales iguales (a 4b = 0) Este caso es un poco más complicado, solo tenemos una solución: x t = r t. Nos faltaría otra para poder aplicar los teoremas vistos. Esta otra es x t = tr t, verifiquemos: x t = tr t x t+1 = (t + 1)r t+1 = tr t r + r t r x t+ = (t + )r t+ = tr t r + r t r reemplazamos en (??): tr t r + r t r + a(tr t r + r t r) + b(tr t ) = 0 t(r t r + ar t r + br t ) + r t r + ar t r = 0 tr t (r + ar + b) + r t r(r + a) = 0 tr t (0) + r t r(0) = 0 donde en el último paso recordamos que r = a/ es raíz de r + ar + b = 0. Con esto podemos formar la solución general: x t = Ar t + Btr t Como antes las dos constantes A y B serán las encargadas de que esta solución cumpla las condiciones iniciales: x 0 = A x 1 = Ar + Br 1.3. Raíces complejas (a 4b < 0) En este caso las raíces son complejos conjugados: r 1 = α + iβ y r = α iβ con α = a/ y β = 4b a /. Para usar estas raíces en la construcción de las soluciones es más conveniente escribirlas de la forma: r 1 = R(Cos(θ) + isen(θ)) 3

4 r = R(Cos(θ) isen(θ)) donde y θ es tal que R = α + β = ( a/) + ( 4b a /) = a /4 + (4b a )/4 = b Cos(θ) = α/r = ( a/)/ b = a/( b) Así tenemos que: (r 1 ) t = R t (Cos(θt) + isen(θt)) (r ) t = R t (Cos(θt) isen(θt)) y podríamos formar la solución x t = C(R t (Cos(θt) + isen(θt))) + D(R t (Cos(θt) isen(θt))) la cual ordenando términos nos da: x t = R t ((C + D)Cos(θt) + i(c D)Sen(θt)) el problema con esta posible solución es el término imaginario i. Podemos deshacernos de este término si pensamos que C y D pueden ser también números complejos conjugados: C = A/ ib/ y D = A/+iB/, con lo cual C + D = A y i(c D) = B. Con lo cual obtenemos finalmente nuestra solución: x t = R t (ACos(θt) + BSen(θt)) con y R = b Cos(θ) = a b Las constantes A y B se determinan con las condiciones iniciales: x 0 = A x 1 = R(ACos(θ) + BSen(θ)). Ecuaciones de dimensión mayor que Sea la ecuación: Su polinomio característico: x t+n + a 1 x t+n 1 + a x t+n + + a n 1 x t+1 + a n x t = 0 r t+n + a 1 r t+n 1 + a r t+n + + a n 1 r + a n = 0 4

5 tiene, tomando en cuenta la multiplicidad, n raíces entre reales y complejas. Las raíces reales pueden ser múltiples. Las raíces complejas se presentan en pares conjugados los cuales también pueden ser simples o múltiples. La solución general del sistema de ecuaciones diferenciales está determinada por una combinación lineal de n soluciones independientes. Estas soluciones corresponden a las raíces del polinomio característico, consideremos que tenemos M raíces reales λ j con multiplicidad m j y N raíces complejas conjugadas por pares (N pares), α l ± iβ l = R(Cos(θ) ± Sen(θ)) con multiplicidad m l cada par 1. La solución se conforma la siguiente manera: Cada raíz real, λ j con multiplicidad m j, genera los m j términos: (λ j ) t, t(λ j ) t, t (λ j ) t,..., t mj 1 (λ j ) t Cada par de raíces complejas conjugadas R(Cos(θ l ) ± Sen(θ l )) con multiplicidad m l, genera los m l términos: R t Cos(θ l t), tr t Cos(θ l t), t R t Cos(θ l t),..., t ml 1 R t Cos(θ l t) R t Sen(θ l t), tr t Sen(θ l t), t R t Sen(θ l t),..., t ml 1 R t Sen(θ l t) De esta manera la solución, x t es una combinación lineal de todos los términos generados. Esta combinación genera n constantes que se pueden determinar a partir de las condiciones iniciales: x 0, x 1,...,x n y x n 1. Si la ecuación no es homogenea, la solución particular se puede encontrar por el mismo método anterior. 1 En ambos casos las raíces simples tienen multiplicidad m = 1 5